Задания

Какую абсциссу имеет точка М, лежащая на прямой, проходящей через точки, , и имеющая ординату, равную 22?

Решение:

Составим уравнение прямой, проходящей через точки А и В:

Поскольку точка М лежит на прямой АВ, то ее координаты удовлетворяют уравнению Подставив вместо  число 22, найдем абсциссу :

Ответ:

Найдите высоту параллелепипеда, построенного на векторах    опущенную на грань, построенную на векторах и  .

Решение:

Поскольку , то .

Площадь – это модуль векторного произведения векторов и  .

Ищем модуль вектора:

Высота, опущенная на грань, которая построена на векторах и  , будет:

Ответ:

Составить уравнение плоскости, проходящей через точку и прямую

Решение:

Прямая задана в параметрическом виде. Пускай , тогда , получили точку , принадлежащую прямой и отличную от точки .

Подставим вместо число 1 и получим: , получаем еще одну точку прямой . Составим уравнение плоскости, проходящей через три точки:

 

- искомое уравнение плоскости.

Ответ: .

Решите систему линейных алгебраических уравнений методом Крамера:

Решение:

Ищем определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных:

Определитель отличен от нуля, значит уравнение имеет единственное решение.

Вместо первого столбца подставляем свободные члены:

Вместо второго столбца подставляем свободные члены:

Вместо третьего столбца подставляем свободные члены:

Ищем неизвестные:

Ответ:

Исследуйте функции на непрерывность, укажите типы точек разрыва. Постройте графики функций:

а)   б) 

Решение:

а) Функция определена на всей числовой прямой, но при этом она не является непрерывной, поскольку

, то есть правый и левый пределы в точке не равны между собой. Поскольку пределы конечные, то это разрыв  рода.

 

Пределы не равны, поэтому точка является точкой разрыва. Пределы конечны, значит разрыв рода.

Ответ: , точки разрыва рода.

б) Функция определена всюду, кроме точки .

Поскольку пределы не равны и бесконечны, то точка является точкой разрыва рода.

Ответ: точка разрыва рода.

Вычислите пределы, используя преобразования функций и замечательные пределы:

а) ;  б)    в)

a) 

Решение:

Ответ: 0.

б) 

Решение:

Ответ: 2.

в)

Решение:

Применяя второй замечательный предел  получим:

Ответ: .

Найдите производные функции от заданных функций:

а) ;  б) ;  в)

г)   д)

а) ;

Решение:

Применили:

Ответ:

б)

Решение: Применили:  

Ответ:

в)

Решение:

Применили:

Ответ:

г)

Решение:

Ищем и :

Ответ:

д)

Решение:

Применили:

Ответ:

Проведите полное исследование функции и постройте ее график.

Решение:

Область определения: Ось график не пересекает.

Пересечение с осью решения не имеет.

Поскольку то функция является ни четной, ни нечетной. Интервалы монотонности и точки экстремума:

   

Знак производной.

Функция возрастает на промежутке и убывает на промежутке

Точка является точкой минимума

Интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба.

  решения не имеет.

поэтому функция вогнута на всей области определения.

Точек перегиба нет.

Наклонная асимптота:

Наклонная асимптота отсутствует.