Золотое сечение

Реферат

Золотое сечение

Из многих пропорций, которыми издавна пользовался человек при создании гармонических произведений, существует одна, единственная и неповторимая, обладающая уникальным свойствами. Она отвечает такому делению целого на две части, при котором отношение большей части к меньшей равно отношению целого к большей части. Эту пропорцию называли по-разному – “золотой”, “божественной”, “золотым сечением”, “золотым числом”.

Древнейшие сведения о золотой пропорции относятся ко времени расцвета античной культуры. О ней упоминается в трудах великих философов Греции Пифагора, Платона, Евклида. Платон привел формулировку золотого сечения, одну из самых древних, дошедшую до нашего времени. Сущность её сводится к тому, что для соединения двух частей с третьей совершенным образом необходима пропорция, которая бы “скрепила” их в единое целое. При этом одна часть целого должна так относиться к другой, как целое к большей части. Античные скульпторы и архитекторы широко использовали ее при создании своих произведений. В этом легко убедиться при изучении шедевров древнегреческого искусства.

В эпоху итальянского Возрождения золотая пропорция возводится в ранг главного эстетического принципа. Леонардо да Винчи именует ее “Sectio autea”, откуда и получил начало термин “золотое сечение”.

Иоганн Кеплер говорит о ней как о “бесценном сокровище”, как об одном из двух сокровищ геометрии.

       еплера золотое сечение было предано забвению, и около 200 лет о нем никто не вспоминал. Лишь в 1850 году немецкий ученый Цейзинг открыл её снова. В своих “Эстетических исследованиях” он пишет: “Для того чтобы целое, разделенное на две неравные части, казалось прекрасным с точки зрения формы, между меньшей и большей частями должно быть такое же отношение, что между большей частью и целым”. Он называет это законом пропорций и обнаруживает его проявление в пропорциях человеческого тела и животных, в некоторых храмах, в ботанике и музыке.

       Характерно, что золотая пропорция отвечает делению целого на две неравные части, следовательно, она  отвечает асимметрии. Почему же она так привлекательна? Очевидно, эта пропорция обладает каким-то особым свойством. По-видимому, в этой пропорции скрыта одна из фундаментальных тайн природы, которую ещё предстоит открыть.

Золотая пропорция – понятие математическое, ее изучение – это прежде всего задача науки. Но она же является критерием гармонии и красоты, а это уже категории искусства. В итоге можно сказать, что искусство не противник, а союзник науки.

ОЗАРЕНИЕ ПИФАГОРА

Сейчас уже невозможно точно установить человека, открывшего золотую пропорцию. Очевидно, её неоднократно открывали, забывали и открывали заново в разное время и в разных странах. Многие исследователи считают первооткрывателем золотой пропорции греческого математика и философа Пифагора.

С именем Пифагора мы со школьной скамьи связываем теорему о сторонах треугольника – «теорему квадратов».  Кроме знаменитой этой теоремы и золотой пропорции Пифагору, по свидетельствам историков, принадлежат фундаментальные работы в теории музыки, открытие иррациональных чисел. Пифагором была создана модель Солнечной системы, основанная на аналогии в расположении планет и звуков музыкальной октавы.

Пифагор искал закономерности в небольших числах, придавая каждому из них особую, часто мистическую роль. Многие математические закономерности, как говорится «лежали на поверхности», их нужно увидеть человеку с аналитическим умом, мыслящему логически. Рассмотрим, например простейший треугольник с отношением катетов 1:2 (рис. 1).

В этом треугольнике величина малого катета равна 1, а большого – 2. по теореме Пифагора длина гипотенузы в нём равна . Этот треугольник был хорошо известен в древнем мире, во многих сооружениях того периода преобладают пропорции, равные отношениям катетов и гипотенузы прямоугольного треугольника со сторонами 1:2:.

Рассмотренный треугольник был, конечно, хорошо известен и Пифагору и мог послужить основой для развития различных математических идей или для их подтверждения.

Соотношения сторон a, b, c данного треугольника очень простые и понятные каждому, знающему основы геометрии: a/b=1:2, с/a=/2. Однако из этих величин следует и ещё одно отношение (a+b)/c=(1+)/2, равное 1,618033.…Это и есть золотая пропорция, которую обычно обозначают буквой .

Чтобы построить золотую пропорцию достаточно построить треугольник с соотношением катетов 1:2. Таким образом, известный в древнем мире простой треугольник мог послужить основой для открытия теоремы квадратов, золотой пропорции и несоизмеримых величин – великих открытий Пифагора. Изложенная последовательность раскрытия закономерностей треугольника с отношением сторон 1:2 является безусловно сугубо предположительной, но не лишенной внутренней логики. Конечно, в действительности последовательность рассуждений Пифагора, приведшая его к великим математическим открытиям, была иной. Известен один замечательный треугольник в котором проявляется золотая пропорция. В этом треугольнике углы равны 90о,54о и 36о, а их отношение составляет 5:3:2. В этом прямоугольном треугольнике отношение большого катета к гипотенузе равно половине золотой пропорции /2. Это отношение отвечает равенству /2=Cos 36о. отсюда вытекает формула, связывающая золотую пропорцию с числом :

:

Эта простая и по-своему красивая формула связывает число «пи» с золотой пропорцией.

Мы рассмотрели проявление золотой пропорции, но остался неясным вопрос об авторстве. Если сомнительно авторство Пифагора в теореме квадратов. То тем более сомнительным является открытие им золотой пропорции. В своих длительных путешествиях по странам Востока Пифагор мог позаимствовать и это открытие. Ведь и звездчатый пятиугольник, ставший символом пифагорейцев, можно увидеть на древних вавилонских рисунках.

Эстафета знаний древности ведет от Греции к Египту, а от него к Вавилону. Но ведь и знания народов Двуречья не возникли на пустом месте, их корни также уходят в другие эпохи и другие страны.

В поисках истоков золотой пропорции следует, прежде всего, направится в Древний Египет, к его загадочным пирамидам – хранилищам неразгаданных тайн.

ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ В АРХИТЕКТУРЕ И В СКУЛЬПТУРЕ

Известно, что еще в древности основу скульптуры составляла теория пропорций. Отношения частей человеческого тела связывались с формулой золотого сечения. Пропорции “золотого сечения” создают впечатление гармонии красоты, поэтому скульпторы использовали их в своих произведениях.

Работы Фидия в оригиналах не сохранились, поэтому для иллюстрации возьмем произведение его младшего современника скульптора Поликлета (5 век до нашей эры). В своём трактате “Канон” он стремился установить законы пропорциональности человеческого тела. Теория пропорций Поликлета ярко воплотилось в статуе “Дорифор” – копьеносец. В этой статуе мы встречаем много раз примененное число ц. Так, пупок делит высоту статуи в отношении золотого сечения. Значит, если высоту АВ принять за 1, то АО=, но тогда ОВ=1-. Однако на рис. 2 показано расстояние ОВ берётся за ц. Нет ли здесь противоречия? Проверим: если считать, что 1-ц=ц, то приходим к уравнению ц+ц-1=0.

Откуда ц=, т. е. получилось то же самое число ц.

Анализируя другие пропорции знаменитой статуи, получим:

расстояние от подошвы копьеносца до его колена равно ц; высота шеи вместе с головой - ц; длина шеи до уха - ц; расстояние от уха до макушки - ц.

Таким образом, в статуе мы видим геометрическую прогрессию со знаменателем ц: 1, ц, ц, ц, ц, ц, ц.

Греческий скульптор Леохар создал знаменитую статую Аполлона Бельведерского воплотившую представление древних греков о красоте (рис 3).

Если высоту статуи разделить в отношении золотого сечения и то же самое проделать с каждой частью, то точки деления придутся на талию, каленую чашечку, адамово яблоко. Та же закономерность распространяется в отдельности на лицо, руку, кисть. Статуя полна спокойной уверенности, гармония линий, уравновешенность частей олицетворяют могущество физической силы.

Примером совершенства человеческого тела может служить знаменитая статуя - «Давид» (рис. 4). Широкие плечи почти равны высоте туловища, половина высоты тела приходится на лонное сращение, высота головы 8 раз укладывается в высоте тела, а золотой пропорции отвечает положение пупка на теле атлета.

Одним из красивейших произведений древнегреческой архитектуры является Парфенон (V в. до н. э.) (рис. 5).

Это древнее сооружение с его гармоничными пропорциями дарит нам такое эстетическое наслаждение как и  нашим далёким предкам. Парфенон имеет 8 колонн по коротким сторонам и 17 по длинным. Выступы сделаны целиком из квадратов пентилейского мрамора. Благородство материала, из которого построен храм, позволило ограничить применение обычной в греческой архитектуре раскраски, она только подчеркивает детали и образует цветной фон (синий и красный) для скульптуры. Отношение высоты здания к его длине равно 0,618. Приняв за 1 ширину торцевого фасада здания, можно получить геометрическую прогрессию, состоящую из восьми членов: расстояние между второй и седьмой колоннами равно , между третьей и шестой - 2, между четвёртой и пятой - 4. Аналогичные закономерности мы видим и в построении здания по высоте. Объединив их, мы получим прогрессию: 1,,2,3,4,5.

Большой загадкой до сегодняшнего времени остаются египетские пирамиды.

Почему из всех геометрических тел именно пирамиду выбрали древнеегипетские зодчие для того, чтобы в веках прославить фараонов? Скорее всего, причина кроется в том, что такая конструкция – одна из самых устойчивых. Ведь с увеличением высоты пирамиды масса ее верхней части уменьшается, а это – главный принцип надежности постройки. В пирамидах чувствуется надежность и устремленность ввысь. Так и должно было быть. Они служили символами величия и могущества фараонов, Свидетельствами богатства страны.

Среди грандиозных пирамид Египта особое место занимает великая пирамида фараона Хеопса. С ней и сейчас связано много таинственного. Обнаружено, например, что пирамида способствует возникновению у человека особого психического возбуждения. В литературе описано много невероятных явлений, связанных с пребыванием у пирамиды Хеопса. Нас, правда, больше интересуют геометрические отношения, которые скрыты в великом памятнике древней архитектуры.

Не исключено, что основным, исходным элементом, определяющим главные пропорции пирамиды, является треугольник SMN в ее осевом сечении (рис. 6). Установлено, что отношение катетов SM и MN равно отношению гипотенузы SN к катету SM. Причём SN:MN = Ф.

       Если мы примем меньший катет MN за x, то из отношения SN:x = Ф получим, что SN = Ф x. Тогда пропорция SM:MN = SN:SM даёт:

.

Тогда:

       Итак, стороны треугольника SMN составляют геометрическую прогрессию: , знаменатель которой равен .

В Древнем Египте измерениями занимались специальные ремесленники, которых древнегреческие авторы называли “гарпедонапты” – натягивающие веревку. Для древних египтян постройка пирамиды была делом священным, гарпедонапты производили измерения, соблюдая торжественные обычаи, так что погрешность в работе здесь не могла иметь место

ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ В ЖИВОПИСИ

Переходя к примерам “золотого сечения” в живописи, нельзя не остановить своего внимания на творчестве Леонардо да Винчи. Его личность – одна из загадок истории. Сам Леонардо да Винчи говорил: “Пусть никто, не будучи математиком, не дерзнет читать мои труды”.

Леонардо да Винчи писал справа налево неразборчивым почерком и левой рукой. Это самый известный из существующих образец зеркального письма. Портрет Монны Лизы (Джоконды)  (рис. 7) долгие годы привлекает внимание исследователей, которые обнаружили, что композиция рисунка основана на золотых треугольниках, являющихся частями правильного звездчатого пятиугольника.

Однажды Леонардо да Винчи получил заказ от банкира Франческо де ле Джокондо написать портрет молодой женщины, жены банкира, Монны Лизы. Женщина не была красива, но в ней привлекала простота и естественность облика. Леонардо согласился писать портрет. Его модель была печальной и грустной, но Леонардо рассказал ей сказку, услышав которую, она стала живой и интересной.

Кончив сказку, Леонардо взглянул на Монну Лизу, ее лицо озарилось светом, глаза сияли. Потом, точно пробудившись от сна, она вздохнула, провела по лицу рукой и без слов пошла на свое место, сложила руки и приняла обычную позу. Но дело было сделано – художник пробудил равнодушную статую; улыбка блаженства, медленно исчезая с ее лица, осталась в уголках рта и трепетала, придавая лицу изумительное, загадочное и чуть лукавое выражение, как у человека, который узнал тайну и, бережно ее храня, не может сдержать торжество. Леонардо молча работал, боясь упустить этот момент, этот луч солнца, осветивший его скучную модель.

Трудно отметить, что замечали в этом шедевре искусства, но все говорили о том глубоком знании Леонардо строения человеческого тела, благодаря которому ему удалось уловить эту, как бы загадочную, улыбку. Говорили о выразительности отдельных частей картины и о пейзаже, небывалом спутнике портрета. Толковали о естественности выражения, о простоте позы, о красоте рук. Художник сделал еще небывалое: на картине изображен воздух, он окутывает фигуру прозрачной дымкой. Несмотря на успех, Леонардо был мрачен, положение во Флоренции показалось художнику тягостным, он собрался в дорогу. Не помогли ему напоминания о нахлынувших заказах.

Портрет Моны Лизы привлекает тем, что композиция рисунка построена на "золотых треугольниках" (точнее на треугольниках, являющихся кусками правильного звездчатого пятиугольника).

ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ В ПРИРОДЕ

Все, что приобретало какую-то форму, образовывалось, росло, стремилось занять место в пространстве и сохранить себя. Это стремление находить осуществление в основном в двух вариантах – рост вверх или расстилание по поверхности земли и закручивание по спирали. Раковина закручена по спирали (рис. 8), если ее развернуть, то получается длина, немного уступающая длине змеи. Небольшая десятисантиметровая раковина имеет спираль длиной 35 см. Спирали очень распространены в природе.

Представление о золотом сечении будет неполным, если не сказать о спирали (рис. 9). Винтообразное и спиралевидное расположение листьев на ветках деревьев подметили давно. Спираль увидели в расположении семян подсолнечника, в шишках сосны, ананасах, кактусах и т. д. Совместная работа ботаников и математиков пролила свет на эти удивительные явления природы. Выяснилось, что в расположении листьев на ветке (филлотаксис), семян подсолнечника, шишек сосны проявляет себя ряд Фибоначчи, а стало быть, проявляет себя закон золотого сечения. Паук плетет паутину спиралеобразно. Спиралью закручивается ураган. Испуганное стадо северных оленей разбегается по спирали. Молекула ДНК закручена двойной спиралью. Гете называл спираль “кривой жизни”.

Среди придорожных трав растет ничем не примечательное растение – цикорий (рис. 10). Приглядимся к нему внимательно. От основного стебля образовался отросток. Тут же расположился первый листок. Отросток делает сильный выброс в пространство, останавливается, выпускает листок, но уже короче первого, снова делает выброс в пространство, но уже меньшей силы, выпускает листок еще меньшего размера и снова выброс. Если первый выброс принять за 100 единиц, то второй равен 62 единицам, третий – 38, четвертый – 24 и т. д. Длина лепестков тоже подчинена золотой пропорции. В росте, завоевании пространства растение сохраняло определенные пропорции. Импульсы его роста постепенно уменьшались в пропорции золотого сечения. 

Оказалось, что каждое растение  характеризуется своим листорасположением. Так, у липы, вяза, бука, злаков листорасположение описывается формулой 1/2, у дуба и вишни – 2/5, у малины, груши, тополя, барбариса – 3/8, у миндаля, облепихи – 5/13 и т. д. Нетрудно видеть, что в формулах листорасположения встречаются числа Фибоначчи, расположенные через одно.

       Посмотрим на сосновую шишку (рис. 11). Чешуйки на ее поверхности расположены строго закономерно -  по двум спиралям, которые пересекаются приблизительно под прямым углом. Число таких спиралей у сосновых шишек равно 8 и 13  или 13 и 21 . Такие же спирали видны в поперечных разрезах почек; здесь числа спиралей относятся как  числа 3/5, 5/8, 8/13. В корзинках подсолнечника семена также расположены по двум спиралям, их число составляет обычно 34 и 55, 55 и 89. Здесь вновь мы видим закономерное сочетание чисел Фибоначчи, расположенных рядом: 2/3, 3/5, 5/8, 13/21 и т. д. Их отношение в пределе стремится к числу φ = 0,61803…

В ящерице с первого взгляда улавливаются приятные для нашего глаза пропорции – длина ее хвоста так относится к длине остального тела, как 62 к 38 (рис. 12).

И в растительном, и в животном мире настойчиво пробивается формообразующая тенденция природы – симметрия относительно направления роста и движения. Здесь золотое сечение проявляется в пропорциях частей перпендикулярно к направлению роста. Природа осуществила деление на симметричные части и золотые пропорции. В частях проявляется повторение строения целого.

СПОСОБЫ ПОСТРОЕНИЯ ЗОЛОТОГО СЕЧЕНИЯ

Золотым сечением называется такое деление отрезка, при котором большая часть так относится к целому, как меньшая часть к большей.

В древней Греции были выработаны способы точного построения  золотого сечения, хотя иррациональные числа, которые  ныне применяются  для его выражения, древним были неизвестны.

Рассмотрим первый способ точного построения  золотого сечения с помощью циркуля и линейки по данному прямоугольному треугольнику с отношением катетов 1:2.

Пусть дан прямоугольный треугольник с катетами и . Тогда его гипотенуза . Построим отрезки, длины которых находятся в отношении ц.

Построение (рис. 13):

а) из точки В как из центра проведем окружность радиусом , которая пересечет гипотенузу АВ в точке D, а её продолжение – в точке М, тогда ;

б) из точки А проведем окружность радиусом , которая пересечет отрезок АМ в точке К, тогда и АК=АС=2.

В таком случае МК:КА=.

Следовательно, точка К (как и точка D) делит отрезок АМ в золотом отношении.

Рассмотрим второй способ построения отрезка длиной Ф=. Это число является обратным по отношению к числу ц.

В самом деле:

. Построение (рис. 14):

а) отложим отрезок АВ=1; из точки В восстановим перпендикуляр к отрезку АВ и отложим на нем отрезок ВС=1;

б) разделим отрезок АВ пополам точкой О, ОС=;

в) из точки О проведем окружность радиусом , пересекающую луч АВ в точке D, .

ЗОЛОТОЕ ЧИСЛО И ДРУГИЕ МЕТАЛЛИЧЕСКИЕ ЧИСЛА

Семейство металлических чисел включает в себя все иррациональные алгебраические числа, которые являются положительным решением алгебраических уравнений вида

, где n

Самое выдающееся число этого семейства – это хорошо известное «Золотое число». Так же имеем серебряное, бронзовое, медное, никеливое и др. Золотое число широко использовалось большим числом очень древних народов, как основа пропорций для создания скульптур, рисунков, для построения храмов, дворцов.

Свойства металлических чисел:

Являются положительным корнем уравнения , откуда . (при n=1 получаем золотое число) При делении уравнения на x (x0) и заменой x в правой части на мы получим после N шагов наше выражение в виде бесконечной дроби , если N, то

При n=1 получаем золотое число;

Очевидно, золотое число носит самое простое выражение бесконечной дроби из всех металлических чисел .

Аналогично, при n=2 решением квадратного уравнения , есть серебряное число, записанное в виде периодической бесконечной дроби .

При n=3 решением уравнения является бронзовое число .

Аналогично, положительное решение алгебраического уравнения вида , где n, является семейством металлических чисел, которое выражается периодической бесконечной дробью [m,]

Заключение

Золотая пропорция – понятие математическое, ее изучение – это прежде всего задача науки. Но она же является критерием гармонии и красоты, а это уже категории искусства. В итоге можно сказать, что искусство не противник, а союзник науки.

Список литературы

Азевич уроков гармонии. М.: Школа-Пресс, 1998. Анищенко по геометрии. Красноярск. Изд. КГПУ., 1995. Васютинский пропорция. М.,1990. Волошинов . М.: Просвещение, 1992. Глейзер математики в школе 7-8 классы. М., 1982 За страницами учебниками алгебры. М.: Просвещение, 1990 В мире многогранников. М.: Просвещение, 1995. , , Шмелев сечение. Три Взгляда на природу гармонии. М., 1990. Vera W. De Spinadel

Center of Mathematics and Desing MayDI

Faculty of Architecture, Design and Urbanism

University of Buenos Aries.

Humanistic Mathematics Network Journal # 19

March 1999.