8868. Положительно заряженному тяжелому маленькому шарику, подвешенному на тонкой шелковой нити к потолку, сообщили такую скорость, что он стал двигаться по окружности в горизонтальной плоскости. Если шарику этого маятника сообщить ту же скорость в пространстве, где есть однородное магнитное поле, индукция которого B=0,2 Тл направлена вертикально вверх, и постоянное электрическое поле, напряженность которого E = 4 B/м направлена вертикально вниз, то период и направление его обращения не изменятся. Пренебрегая потерями энергии, найти угловую скорость щ движения шарика.
Дано: B=0,2 Тл; E = 4 B/м; g=10 м/с2
Найти: щ=?
Решение. После того как шарику сообщили некоторую скорость, он, по условию задачи, стал двигаться по окружности в горизонтальной плоскости. Поскольку иное в условии задачи специально не оговорено, будем ее решать, считая выполненными следующие стандартные предположения: потолок, к которому прикреплена нить маятника, покоится относительно некоторой инерциальной системы отсчета, нет электромагнитного взаимодействия заряженного шарика с потолком, нить маятника нерастяжима, а ее массой можно пренебречь.
Для решения задачи, как это и делается обычно в подобных случаях, воспользуемся той инерциальной декартовой системой координат, у которой начало координат (точка O) совпадает с центром шарика в данный момент, ось OZ направлена вертикально вниз, ось OY направлена по касательной к траектории в сторону движения шарика, а ось OX— к центру окружности, по которой движется шарик. В соответствии с условием задачи не будем учитывать потерь энергии маятником. Тогда угловая скорость щ движения шарика должна быть постоянной, а уравнение его движения в проекциях на указанные оси будет иметь вид:
где m — масса шарика, R — радиус окружности, по которой он движется, Ti — проекция силы натяжения нити на i-ю ось, g — величина ускорения свободного падения. При составлении этих уравнений было учтено, что шарик по вертикали не перемещается. Из этих уравнений видно, что Ty=0, а потому нить располагается в вертикальной плоскости, проходящей через точку ее крепления к потолку. Если угол между нитью и вертикалью обозначить б, то первое и последнее из приведенных уравнений можно представить в виде:
где L=R/sin б — длина нити маятника. Следовательно, угловая скорость движения шарика
При движении шарика в постоянном электрическом и магнитных полях на него наряду с силой тяжести mg и силой натяжения нити T1 будет действовать сила Лоренца
В соответствии с условием задачи из этого выражения следует, что электрическая компонента qE силы Лоренца совпадает по направлению с силой тяжести, а магнитная компонента
будет совпадать с направлением центростремительного ускорения шарика, если он движется по часовой стрелке, и будет направлена противоположно, если шарик движется против часовой стрелки (см. рисунок, где силы обозначены своими модулями). Поэтому уравнение движения шарика в проекциях на оси используемой системы координат можно записать в виде:
При составлении этих уравнений было учтено, что период обращения и величина скорости шарика, а потому и угол наклона нити к вертикали по условию задачи должны быть такими же, как и при B=0 и E=0. Из системы уравнений (4) с учетом соотношения (3) получим
Поскольку все входящие в это соотношение величины положительны, то из этого выражения следует, что задача имеет решение только в том случае, если в правой части первого уравнения системы (4) стоит знак минус. Таким образом, искомая угловая скорость
причем задача имеет решение, если шарик движется против часовой стрелки.
Ответ.
