Пример 1. Дана матрица . Показать, что умножение данной матрицы слева на матрицу приводит к перестановке 2-й и 3-й строк матрицы , а умножение данной матрицы справа на матрицу приводит к перестановке 2-го и 4-го столбцов.

Решение. Матрица имеет размеры , т. е. . Матрица получена из единичной матрицы третьего порядка при помощи перестановки 2-й и 3-й строк. Находим произведение матрицы на матрицу слева:

Сравнивая результат с исходной матрицей , замечаем, что 2-я и 3-я строки поменялись местами.

Матрица получена из единичной матрицы четвертого порядка при помощи перестановки 2-го и 4-го столбцов. Умножим матрицу справа на

Сравнивая результат с исходной матрицей , замечаем, что 2-й и 4-й столбцы поменялись местами.

Пример 1.34. Дана матрица . Показать, что умножение данной матрицы слева на матрицу приводит к умножению всех элементов 1-й строки матрицы на число 2; умножение матрицы справа на матрицу приводит к умножению 3-го столбца матрицы на матрицу на число 3.

Решение. Матрица имеет размеры , т. е. . Матрица получена из единичной матрицы второго порядка умножением первой строки на число 2. Матрица получена из единичной матрицы третьего порядка умножением 3-го столбца на число 3. Находим произведения:


что и требовалось показать.

Пример 1.35. Дана матрица . Показать, что умножение данной матрицы слева на матрицу приводит к прибавлению к элементам второй строки соответствующих элементов первой строки, умноженных на (-2).

Решение. Матрица имеет размеры , т. е. . Матрица получена из единичной матрицы второго порядка путем прибавления к элементам 2-й строки соответствующих элементов 1-й строки, умноженных на число (-2). Находим произведение:

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?


что и требовалось показать.

Приведение матрицы к ступенчатому виду (методом Гаусса) или к простейшему виду (методом Гаусса-Жордана) сводится к последовательному умножению данной матрицы на элементарные матрицы.

Пример 1.36. Привести матрицу к простейшему виду 2 4 5 при помощи умножения на элементарные матрицы.

Решение. При помощи элементарных преобразований эта матрица в примере 1.32 была приведена к простейшему виду. Запишем последовательность преобразований, представляя их как умножения на матрицы специального вида.

На первом шаге ко второй строке прибавляли первую, умноженную на (- 2). Этому преобразованию соответствует умножение матрицы слева на матрицу (см. пример 1.35):

Затем ко второму столбцу прибавили первый, умноженный на (-2), а к третьему — первый, умноженный на (-3). Эти действия соответствуют последовательному умножению данной матрицы справа на матрицы

Матрица получена из единичной матрицы третьего порядка путем прибавления к элементам 2-го столбца соответствующих элементов 1-го столбца, умноженных на число (-2). Матрица получена из единичной матрицы третьего порядка путем прибавления к элементам 3-го столбца соответствующих элементов 1-го столбца, умноженных на число (-3). Находим произведения

Последний шаг — умножение последнего столбца на (-1) и перестановка его на место второго. Этим действиям соответствует последовательное умножение преобразуемой матрицы справа на матрицы

Матрица получена из единичной матрицы третьего порядка путем умножения элементов 3-го столбца на число (-1). Матрица получена из единичной матрицы третьего порядка при помощи перестановки 2-го и 3-го столбцов. Находим произведения

Таким образом, исходная матрица с помощью умножения на элементарные матрицы приведена к простейшему виду (см. рис. 1.6).

Пример 1.37. Привести матрицу к ступенчатому виду при помощи умножения на элементарные матрицы.

Решение. При помощи элементарных преобразований эта матрица в примере 1.30 была приведена к ступенчатому виду, причем преобразования выполнялись только над ее строками. Запишем последовательность преобразований, представляя их как умножения матрицы слева на элементарные матрицы. Первое преобразование — прибавление ко второй строке первой, умноженной на (-1), — соответствует умножению матрицы слева на матрицу

Действительно,

Второе преобразование — прибавление к третьей строке первой, умноженной на (-2), что соответствует умножению матрицы слева на матрицу

Действительно,

Третье преобразование — прибавление к четвертой строке первой, умноженной на (-4), что соответствует умножению матрицы слева на матрицу

Действительно

Далее были использованы следующие преобразования: к третьей строке прибавляли вторую; умножили третью строку на 0,5; к четвертой строке прибавили третью, умноженную на (-2). Этим преобразованиям соответствует умножение матрицы слева на матрицы:


Действительно, выполняя умножения, получаем ступенчатый вид