Календарный план учебных занятий по обязательной дисциплине «Теория функций комплексного переменного», привязанной к семестрам

Российский Университет Дружбы народов Факультет физико-математических и естественных наук   Кафедра нелинейного анализа и оптимизации

117198, Москва, ул. Орджоникидзе, д. 3, кк. 511-514,

КАЛЕНДАРНЫЙ ПЛАН

учебных занятий по обязательной дисциплине «Теория функций комплексного переменного», привязанной к семестрам.

Направление подготовки «Математика. Прикладная математика»

I семестр

виды и содержание учебных занятий в I семестре:

Неделя	Лекции	Число часов	Практические занятия	Число часов
1	Комплексная плоскость. Комплексные числа и алгебраические действия над ними. Комплексная плоскость как геометрическая интерпретация множества комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа. Расширенная комплексная плоскость, стереографическая проекция. Топология на комплексной плоскости и на расширенной комплексной плоскости.	2	Решение задач по теме "Комплексная плоскость"	2
2	Функции комплексного переменного. Понятие функции комплексного переменного. Предел и непрерывность. Свойства непрерывных функций. Кривые на комплексной плоскости.	2	Решение задач по теме "Функции комплексного переменного (степенные функции и корни)".	2
3	Дифференцирование функций комплексного переменного. Производная функции комплексного переменного. Условия Коши – Римана. Формальные частные производные. Понятие голоморфности.	2	Решение задач по теме "Функции комплексного переменного (показательная функция и логарифм)".	2
4	Дифференцирование функций комплексного переменного. Геометрический смысл модуля и аргумента производной. Понятие о конформном отображении. Примеры функций комплексного переменного. Степенная функция и её свойства. Корень, риманова поверхность для корня.	2	Решение задач по теме "Функции комплексного переменного (тригонометрические функции)".	2
5	Примеры функций комплексного переменного. Показательная функция и её свойства. Логарифм, риманова поверхность для логарифма. Общая степенная функция. Тригонометрические и гиперболические функции, их свойства.	2	Решение задач по темам "Дифференцирование функций комплексного переменного".	2
6	Интегрирование функций комплексного переменного. Определение интеграла от функции комплексного переменного. Теорема существования и простейшие свойства интеграла. Первообразная функции комплексного переменного и её простейшие свойства	2	Решение задач по темам "Интегрирование функций комплексного переменного"	2
7	Интегрирование функций комплексного переменного. Необходимые и достаточные условия существование первообразной в произвольной области. Интегральные теоремы Коши. Интегральная теорема Коши для односвязной области, Теорема о составном контуре.	2	Решение задач по теме "Разложение функций комплексного переменного в степенные ряды".	2
8	Интегральные теоремы Коши. Обобщённая теорема Коши для звёздной области. Интегральная формула Коши. Теорема о среднем. Степенные ряды с комплексными членами. Простейшие свойства рядов с комплексными членами.	2	Контрольная работа №1.	2
9	Коллоквиум №1.	2	Решение задач по теме "Ряды Лорана"	2
10	Степенные ряды с комплексными членами. Круг сходимости степенного ряда с комплексными членами. Теорема Коши – Адамара. Равномерная сходимость степенного ряда, непрерывность и голоморфность суммы.	2	Решение задач по теме "Ряды Лорана"	2
11	Степенные ряды с комплексными членами. Теорема о разложении голоморфной функции в ряд Тейлора и следствия из неё. Разложение в степенные ряды основных элементарных функций и простейших многозначных функций.	2	Решение задач по теме "Изолированные особые точки"	2
12	Свойства голоморфных функций. Неравенство Коши, теорема Лиувилля, основная теорема алгебры. Теорема Мореры. Теорема Вейерштрасса о рядах из голоморфных функций. Эквивалентные определения голоморфности функции в точке.	2	Решение задач по теме "Изолированные особые точки"	2
13	Свойства голоморфных функций. Теорема единственности для голоморфных функций, изолированность нуля голоморфной функции. Теорема о порядке нуля голоморфной функции.	2	Решение задач по теме "Нахождение вычетов".	2
14	Ряды Лорана, изолированные особые точки. Ряды Лорана и их свойства. Теорема о разложении в ряд Лорана функции, голоморфной в кольце. Классификация изолированных особых точек.	2	Решение задач по теме "Нахождение вычетов".	2
15	Ряды Лорана, изолированные особые точки. Критерии существования устранимой особой точки, полюса и существенно особой точки. Порядок полюса, теорема о порядке полюса.	2	Решение задач по теме "Вычисление контурных интегралов".	2
16	Ряды Лорана, изолированные особые точки. Теорема Сохоцкого. Вычеты. Вычеты в конечных особых точках. Теорема о вычетах для ограниченной области. Формулы для нахождения вычетов в конечных особых точках.	2	Решение задач по теме "Вычисление контурных интегралов".	2
17	Гармонические и голоморфные функции. Гармонические функции на плоскости и их связь с голоморфными функциями.	2	Контрольная работа №2.	2
18	Обзорная лекция.	2	Консультации по подготовке к итоговому контролю знаний.	3
19 – 20	ИТОГОВЫЙ КОНТРОЛЬ ЗНАНИЙ – ЗАЧЕТ

II семестр

виды и содержание учебных занятий во II семестре:

Неделя	Лекции	Число часов	Практические занятия	Число часов
1	Основные понятия конформных отображений. Определение конформного отображения в конечных и бесконечной точках. Необходимое и достаточное условие конформности.	2	Решение задач по теме "Вычисление определённых и несобственных интегралов".	3
2	Дробно-линейные функции и их свойства. Взаимнооднозначность и конформность отображений, задаваемых дробно-линейными функциями. Групповое и круговое свойства, сохранение симметрии. Теорема об отображении тройки точек на расширенной комплексной плоскости.	2	Решение задач по теме "Вычисление определённых и несобственных интегралов".	3
3	Дробно-линейные функции и их свойства. Канонические дробно-линейные отображения. Примеры конформных отображений. Конформные отображения, задаваемые степенной, показательной, тригонометрическими, гиперболическими функциями и функцией Жуковского.	2	Решение задач по теме "Вычисление определённых и несобственных интегралов".	3
4	Примеры конформных отображений. Конформные отображения, задаваемые простейшими многозначными функциями. Геометрические свойства голоморфных функций Логарифмическая производная и теорема о логарифмическом вычете.	2	Решение задач по теме "Вычисление определённых и несобственных интегралов".	1 2
Контрольная работа №3.
5	Геометрические свойства голоморфных функций. Принцип аргумента и теорема Руше. Принцип сохранения области, критерий локальной однолистности, конформность обратного отображения. Принцип максимума модуля и лемма Шварца.	2	Решение задач по теме "Дробно-линейные отображения".	3
6	Геометрические свойства голоморфных функций. Принцип максимума модуля и лемма Шварца. Конформная эквивалентность. Понятие конформной эквивалентности областей. Теорема Римана (без док-ва) и следствия из неё. Конформная классификация односвязных областей.	2	Решение задач по теме "Дробно-линейные отображения".	3
7	Конформная эквивалентность. Соответствие границ при конформных отображениях. Принцип симметрии. Лемма об аналитическом продолжении по непрерывности.	2	Решение задач по теме "Отображения, задаваемые степенными функциями".	3
8	Принцип симметрии.  Принцип симметрии Римана – Шварца при конформных отображениях.	2	Решение задач по теме  "Отображения, задаваемые  функцией Жуковского".	3
9	Коллоквиум №2	2	Решение задач по теме  "Отображения, задаваемые  функцией Жуковского".	1 2
Контрольная работа №4.
10	Преобразование Лапласа. Определение преобразования Лапласа и его простейшие свойства. Голоморфность изображения.	2	Решение задач по теме  "Отображения, задаваемые  экспонентой".	3
11	Преобразование Лапласа. Теорема обращения преобразования Лапласа. Операционный метод. Аналитические элементы и аналитическое продолжение. Понятие аналитического элемента. Непосредственное аналитическое продолжение.	2	Решение задач по теме  "Отображения, задаваемые  тригонометрическими функциями".	3
12	Аналитические элементы и аналитическое продолжение. Аналитическое продолжение по цепи и аналитическое продолжение вдоль пути, связь между ними. Свойства аналитического продолжения.	2	Решение задач по теме  "Отображения, задаваемые  логарифмом".	3
13	Аналитические элементы и аналитическое продолжение.  Теорема о продолжении вдоль гомотопных путей. Понятие многозначной аналитической функции. Определение аналитической функции. Область определения и множество значений.	2	Решение задач по теме  "Принцип симметрии".	3
14	Понятие многозначной аналитической функции. Теорема о монодромии. Теорема Пуанкаре – Вольтерры.	2	Решение задач по теме  "Принцип симметрии".	3
15	Понятие многозначной аналитической функции. Корень и логарифм как примеры многозначных аналитических функций.	2	Решение задач по теме  "Преобразование Лапласа".	3
16	Особые точки аналитических функций. Изолированные особые точки аналитических функций и их классификация. Особые точки на границе аналитического элемента. Теорема об особых точках на границе круга сходимости степенного ряда.	2	Решение задач по теме  "Преобразование Лапласа".	3
17	Целые и мероморфные функции. Целые и мероморфные функции и их простейшие свойства. Теорема Миттаг-Леффлёра. Разложение мероморфных функций. Разложение целых функций в бесконечные произведения. Теорема Вейерштрасса.	2	Решение задач по теме  "Преобразование Лапласа".	1 2
Контрольная работа №5.
18	Обзорная  лекция.	2	Консультации по подготовке к итоговому контролю знаний.	3
19 – 20	ИТОГОВЫЙ КОНТРОЛЬ ЗНАНИЙ – ЭКЗАМЕН

Заведующий кафедрой нелинейного анализа и оптимизации, проф. ______