Определение положения центра тяжести плоской фигуры

МИНИСТЕРСТВО ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

, ,

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛОЖЕНИЯ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ.

ЗАДАЧА  С 6.

Методические указания к выполнению расчетно-графических работ

теоретической механики.

РАЗДЕЛ СТАТИКА.

Ростов-на-Дону

- 2000 -

УДК 534.014

Определение положения центра тяжести плоской фигуры. Методические указания к выполнению расчетно-графических работ раздела статика теоретической механики. / , , ; Ростовский государственный университет путей сообщения. Ростов-на-Дону, 2000, 10 с.

Определение положения центра тяжести плоской фигуры. Задача С6

Методические указания к выполнению расчетно-графических работ теоретической механики. Раздел статика.

Ответственный за выпуск 

Адрес университета: 344038, г. Ростов н/Д, пл. им. Ростовского Стрелкового полка народного ополчения, 2

© Ростовский государственный университет путей сообщения. Ростов-на-Дону, 2000.

СОДЕРЖАНИЕ

Краткая теория

Пример

Условие задачи

Таблица исходных данных

Приложение

КРАТКАЯ ТЕОРИЯ

Известно несколько наиболее распространенных методов определения положения центра тяжести.

1. Метод симметрии. Если однородное тело имеет центр (или ось) симметрии, то центр тяжести этого тела находится в его центре (или на оси) симметрии.

2. Опытный метод. Этим методом, например, определяется, что центр тяжести однородного треугольника находится на пересечении его медиан.

3. Метод интегрирования. С помощью этого метода, например, можно определить расстояние от центра однородного сектора до его центра тяжести:

Здесь α - половина угла, в створе которого находится сектор. OC лежит на его биссектрисе.

4. Метод разбиения. Если тело удается расчленить на такие элементы, центры тяжести которых известны, то положение центра тяжести тела может быть найдено.

Приведем формулы для определения координат центра тяжести однородного плоского тела:

 

Здесь xC, yC - координаты центра тяжести однородного плоского тела, xk, yk - координаты центров тяжести элементов этого тела, Sk - площади этих элементов.

5. Метод дополнения. Применяется тогда, когда тело удается дополнить такими элементами, центры тяжести которых известны, до формы, центр тяжести которой может быть найден.

В этом случае для определения координат центра тяжести однородного плоского тела можно использовать формулы метода разбиения, в которых площади отсутствующих элементов считать отрицательными.

ПРИМЕР

Условие задачи.

Определить положение центра тяжести однородной плоской фигуры, состоящей из сегмента и прямоугольного треугольника, размеры которых заданы на рисунке.

Решение:

Разобьем фигуру на две части: 1 – сегмент, 2 – прямоугольный треугольник, - и определим прежде положение центра тяжести сегмента.

При решении задачи воспользуемся методом симметрии, проведя ось Oy вдоль оси симметрии сегмента – биссектрисы. Получаем, что xС1 = 0. (xС1, yС1 - координаты центра тяжести сегмента).

Для определения yС1 воспользуемся методом дополнения, дополняя сегмент равнобедренным треугольником 3 до сектора 4.

Методом интегрирования определяем расстояние от центра сектора 4 до его центра тяжести:

м,

а затем и координату yC4 его центра тяжести:

yC4 = - OO1 + O1C4 = = -0.688м.

Из опытного метода определяем координату yC3 центра тяжести равнобедренного треугольника:

yC3 = - OO1/3 = -3 cos 30° /3 = -0.866м.

Найдем площади сектора S4 и равнобедренного треугольника S3:

S4 = π 32/6 = 4.712м2, S3 = 3 OO1 /2 = 3.897м2.

Теперь по формуле метода дополнения определим координату центра тяжести сектора:

= (-4,712*0,688 + 3,897*0,866)/0,815 = 0,163м.

Далее во введенной системе координат найдем xC2, yC2 - координаты центра тяжести прямоугольного треугольника 2:

xC2 = 3/2 - 3/3 =0.5м, yC2 = -2/3 = -0,667м,

так как точка пересечения медиан треугольника делит их в отношении 1:2.

Вычислим площади S1 - сектора и S2 - прямоугольного треугольника:

S1 = S4 - S3 = 0.815м2, S2 = 3*2/2 = 3м2.

Теперь по формулам метода разбиения определим xC, yC координаты центра тяжести всей фигуры:

= 3*0,5/(3 + 0,815) = 0,393м.

= (0,815*0,163 – 3*0,667)/( 3 + 0,815) = -0,498м.

Ответ: xC = 0,393м, yC = -0,498м.

УСЛОВИЕ ЗАДАЧИ

Плоская однородная фигура представляет собой прямоугольник, к которому добавлены (или вырезаны) сегмент и прямоугольный треугольник.

В таблице заданы угол  φ, в створе которого лежит сегмент, R – радиус сегмента, H, a, b –размеры прямоугольников и треугольников.

Определить положение центра тяжести этой плоской фигуры, считая её однородной.

ТАБЛИЦА ИСХОДНЫХ ДАННЫХ

N	φ, град	R, м	H, м	a, м	b, м
1	150	3	10	0,5	1
2	60	4	8	1	2
3	120	1	4	0,2	0,5
4	60	2	5	0,4	0,8
5	90	3	7	0,4	1,2
6	150	4	8	0,5	1,5
7	90	1	3	0,2	0,6
8	120	2	4	0,3	0,9
9	60	3	6	0,7	1,4
10	90	2	6	0,5	1,5

ПРИЛОЖЕНИЕ

Рис. С6-1.	Рис. С6-2.
Рис. С6-3.	Рис. С6-4.
Рис. С6-5.	Рис. С6-6.
Рис. С6-7.	Рис. С6-8.
Рис. С6-9.	Рис. С6-10.
Рис. С6-11.	Рис. С6-12.
Рис. С6-13.	Рис. С6-14.
Рис. С6-15.	Рис. С6-16.
Рис. С6-17.	Рис. С6-18.
Рис. С6-19.	Рис. С6-20.
Рис. С6-21.	Рис. С6-22.
Рис. С6-23.	Рис. С6-24.
Рис. С6-25.	Рис. С6-26.
Рис. С6-27.	Рис. С6-28.
Рис. С6-29.	Рис. С6-30.