Содержание
Введение…………………………………………………………………………..2 Глава I. Кривые Безье………………………………………………………….....4
I.1. Основы векторной графики…………………………………………..4
I.2. Кривые Безье - оптимальное представление линий в компьютерном моделировании…………………………………………………………………….6
I.3. Принципы построения кривых Безье………………………………...8
Глава II. Использование инструмента "Кривые Безье" для моделирования векторной графики………………………………………………………………12
II.1. Работа №1. Учимся чертить цифры………………………………..12
II.2. Работа №2. Рисунок из фото………………………………………..15
Заключение……………………………………………………………………….20
Литература……………………………………………………………………….22
Введение
Тема курсовой работы была выбрана не случайно. Кривые Безье относятся к разделу «Компьютерное моделирование», относительно молодому направлению в прикладной математике, выделившемуся в 60-70-х годах ХХ века. Это направление объединило некоторые идеи из геометрии и вычислительной математики на базе компьютерных технологий. В геометрическом моделировании изучаются методы построения кривых, поверхностей и тел, а также способы выполнения над ними различных операций.
Компьютерное моделирование, возникшее как одно из направлений математического моделирования, с развитием информационных компьютерных технологий стало самостоятельной и важной областью применения компьютеров. В настоящее время компьютерное моделирование в научных и практических исследованиях является одним из основных методов познания. Без компьютерного моделирования сейчас невозможно решение крупных научных и экономических задач. Выработана технология исследования сложных проблем, основанная на построении и анализе с помощью вычислительной техники математической модели изучаемого объекта.
В компьютерной графике кривые Безье занимают чуть ли не главное место. Это не только основа векторной графики, но и способ описания шрифтов, универсальный способ передачи выделения.
Для данной работы выбран редактор Photoshop, потому что Photoshop – это удивительная многоцелевая программа, лидер в индустрии графики и дизайна, это безграничные возможности, сотни инструментов, тысячи функций, миллионы эффектов.
Целью работы является приобретение навыков исследовательской деятельности в процессе самостоятельного изучения и анализа теоретических сведений, освоения практических навыков геометрического моделирования с помощью инструмента "Кривые Безье" в графическом редакторе Photoshop.
Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:
– изучить научно-методическую литературу по теме исследования;
– приобрести навыки построения кривых Безье в Photoshop;
– показать примеры применения приобретенных знаний и умений на практике.
Для подготовки данной курсовой работы использовались такие методы как: изучение теоретического материала, аннотирование, реферирование, цитирование.
Глава I. Кривые Безье
I.1. Основы векторной графики
Кривые Безье — основа векторной графики. Это самый эффективный способ векторного представления произвольных кривых, широко применяемый для построения плавных мягких линий и контуров, а также для рисования фигур неправильной формы с плавным контуром в векторных редакторах, таких как Illustrator и Flash. Кривые Безье используются и в растровых приложениях, особенно в Photoshop, для создания отсеченных областей, масок и выделений, а также векторных фигур, комбинируемых с растровыми изображениями. Существуют отличия между растровой и векторной графиками. Растр - это массив элементарных точек, пикселей, из которых составляется изображение. Векторная графика основана на математических формулах, описывающих неровности контуров и способ заливки. В PhotoShop, например, есть целая группа инструментов для работы с векторами, основой которой является Pen. Подобные инструменты есть в любом редакторе векторной графики и в большинстве хороших растровых программ. Причина этому проста: во всех продуктах векторы создаются и редактируются по одному принципу, так как в их основе лежит одно понятие - кривые Безье. Создателем их еще в 1968 году стал французский ученый, математик и инженер Пьер Безье. Однако кривые Безье или кривые Бернштейна-Безье были разработаны в 60-х годах XX века независимо друг от друга Пьером Безье (Pierre Bйzier) из автомобилестроительной компании «Рено» и Полем де Кастельжо (Paul de Faget de Casteljau) из компании «Ситроен», где применялись для проектирования кузовов автомобилей. Несмотря на то, что открытие де Кастельжо было сделано несколько ранее Безье (1959), его исследования не публиковались и скрывались компанией как производственная тайна до конца 1960-х.
Тогда это все делалось для необходимости тяжелой промышленности. При конструировании кузова автомобиля Рено Пьеру была поставлена задача: научиться минимальными машинными ресурсами максимально просто и обобщенно описывать любые сложные плоскостные формы. Это нужно было для машин по обработке листового металла, которые вырезали из него необходимые детали. Безье справился не просто хорошо, а гениально. Его система кривых, основанная на тригонометрических формулах, оказалась настолько простой и удачной, что легла в основу не только графических, но и многих других программ.
Свойства векторной графики
Каждый контур представляет собой независимый объект, который можно перемещать, масштабировать, изменять до бесконечности. Векторную графику часто называют также объектно-ориентированной графикой. У векторной графики достаточно много достоинств. Она экономна в плане объемов дискового пространства, необходимого для хранения изображений: это связано с тем, что сохраняется не само изображение, а только некоторые основные данные, используя которые программа всякий раз воссоздает изображение заново. Кроме того, описание цветовых характеристик не сильно увеличивает размер файла. Объекты векторной графики легко трансформируются и ими несложно манипулировать, что не оказывает практически никакого влияния на качество изображения. В тех областях графики, где принципиальное значение имеет сохранение ясных и четких контуров, например, в шрифтовых композициях, в создании фирменных знаков, логотипов и прочего, векторные программы совершенно незаменимы. Векторная графика максимально использует возможности разрешающей способности любого выводного устройства (изображение всегда будет выглядеть настолько качественно, насколько позволяет данное устройство). Векторная графика может включать в себя и изображения точечной графики, причем редакторы векторной графики предлагают все более разнообразные возможности по их обработке. Важным преимуществом программ векторной графики являются развитые средства интеграции изображений и текста, единый подход к ним, и как следствие — возможность создания конечного продукта (в отличие от программ точечной графики). Поэтому программы векторной графики незаменимы в области дизайна, технического рисования, для чертежно-графических и оформительских работ. Однако, с другой стороны, векторная графика может показаться чрезмерно жестковатой, «фанерной». Она действительно ограничена в чисто живописных средствах, в программах векторной графики практически невозможно (или необыкновенно трудоемко) создавать фотореалистические изображения. Кроме того, векторный принцип описания изображения не позволяет автоматизировать ввод графической информации, как это делает сканер или цифровая фотокамера для точечной графики. Элементы векторной графики начали использоваться в программах точечной графики в качестве вспомогательного средства для построения сложного контура выделенной области, для создания обтравочного контура.
I.2. Кривые Безье – оптимальное представление линий в компьютерном моделировании
Что же такое кривые Безье?
С математической точки зрения кривые Безье относятся к сплайнам. Сплайн (от англ. "spline", гибкая металлическая линейка) — гладкая кривая, которая проходит через две или более контрольных точек, управляющих ее формой.
Кривая Безье — параметрическая кривая, задаваемая выражением
где 
- функция компонент векторов опорных вершин, а 
(t) - базисные функции кривой Безье, называемые также полиномами Бернштейна.
, где n — степень полинома, i — порядковый номер опорной вершины.
Виды кривых Безье
1.Линейные кривые.
При n = 1 кривая представляет собой отрезок прямой линии, опорные точки P0 и P1 определяют его начало и конец. Кривая задаётся уравнением:
2.Квадратичные кривые.
Квадратичная кривая Безье (n = 2) задаётся 3-мя опорными точками: P0, P1 и P2
Квадратичные кривые Безье в составе сплайнов используются для описания формы символов в шрифтах TrueType и в SWF файлах.
3.Кубические кривые.
В параметрической форме кубическая кривая Безье (n = 3) описывается следующим уравнением:
.
Четыре опорные точки P0, P1, P2 и P3, заданные в 2-х или 3-мерном пространстве определяют форму кривой.
Кривая Безье представляет собой векторную линию либо замкнутую форму, состоящую из сегментов и вершин, каждая из которых имеет управляющие маркеры. Этими маркерами задается кривизна прилегающих сегментов. Управление кривизной осуществляется простым перемещением точки маркера, расположенного на конце выходящего из вершины рычага-вектора. При этом инструменты, существующие в программе, предоставляют для более точной настройки кривизны два способа такого управления. В первом случае перемещение одного из маркеров повлечет за собой центрально-симметричное перемещение и другого маркера этой вершины. Во втором случае может происходить независимое перемещение маркеров.
Если кривая лежит в выпуклой оболочке, создаваемой управляющими линиями, это свидетельствует о стабильности кривой. Кривая Безье симметрична, то есть она сохраняет свою форму, если изменить направление вектора кривой на противоположный («поменять местами» начальную и конечную опорные точки). Применение это свойство находит при создании составных контуров. Кривая Безье сохраняет свою форму при масштабировании. На этом свойстве зиждется вся свобода векторной графики. Изменение положения хотя бы одной из контрольных точек ведет к изменению формы всей кривой Безье. Это свойство — источник бесконечного разнообразия форм векторных объектов. Из множества таких элементарных кривых составляется контур произвольной формы и произвольной сложности (ограничения появляются в конкретных приложениях и конкретных технических системах).
I.3. Принципы построения кривых Безье
Для работы с контурами используют инструменты:
перо;
свободное перо;
добавить узловую точку;
удалить узловую точку;
преобразовать узловую точку;
выбрать контур (черная стрелка используется для перемещения контура);
редактирование контура (белая стрелка).
Перо применяется как основной инструмент для создания контуров и векторных объектов методом поточечного вычерчивания. Режим создания определяется на панели параметров. Для начала нужно запомнить следующее: если просто щелкать этим инструментом по холсту, то образуется ломаная линия, состоящая из прямых отрезков и угловых точек (узлов). А если нажать Левой Кнопкой Мыши (ЛКМ) и протянуть – получится кривая Безье с возможностью настройки ее кривизны. В данном случае узлы будут гладкими. Кривые Безье – задаются с помощью положения узлов и касательных (рычагов), которые соединяют направляющие и узловые точки.
Процесс создания кривой Безье: сначала устанавливают начальную точку, а затем, двигая мышь, создают направляющие точки и рычаги, с помощью перемещения которых можно задавать кривизну и направление изгиба линии.
Рис. 1
При вычерчивании контура инструментом "перо", можно добавлять узлы привязки или удалять их. Для этого в процессе создания контура нужно подвести инструмент к ранее созданному узлу, будет виден значок “минус”, щелкнув им на узле, можно удалить ненужную точку (перо с минусом не разрывает контур). Для разрыва контура нужно выделить узел и нажать Delete). Чтобы добавить узел привязки, нужно щелкнуть "пером" в нужном месте сегмента (возле значка перо появляется “плюс”).
В нарисованных контурах различают узлы: гладкий, угловой и узел стыка.
ГЛАДКИЙ узел – обеспечивает плавный переход от одного сегмента к другому в виде единой дуги.
УГЛОВОЙ узел – представляет угол между двумя прямыми сегментами и не имеет настроечных балансировочных точек (их еще называют маркеры Безье). Такой узел может только перемещаться. Балансировочные точки позволяют изменять степень кривизны сегментов, соединяющихся в узловой точке, сглаживать углы контуров, точно обводить криволинейные поверхности.
Узел СТЫКА (ОСТРЫЙ узел) – используется в тех местах, когда нужно сделать резкую смену направления кривой или соединить прямолинейный сегмент и криволинейный с резким переходом.
Рис. 2
Чтобы работать с узлами, необходимы инструменты редактирования и перемещения контуров:
, 
,
.
Черная стрелка используется для перемещения всего контура. Для этого нужно щелкнуть черной стрелкой на линии контура – все узлы выделятся, взять любой узел или за саму кривую и переместить контур в нужное место. При перемещении с клавишей Alt контур будет дублироваться.
Чтобы передвинуть только один или несколько узлов – нужно включить белую стрелку, щелкнуть сначала на контур – появятся узлы. Затем кликнуть на нужный узел или обвести стрелкой несколько узлов – таким образом, узлы выделяются (Выделенные узлы помечаются инверсным цветом по отношению к фону, не выделенные выглядят как не заполненные квадратики). После этого нужно ухватить выделенный узел и перетащить его в нужное место. При перемещении вид стрелки изменится. Белой стрелкой можно изменять и сами сегменты. Если сегмент криволинейный – при его перемещении он будет изменяться (вытягиваться и/или гнуться). Если контур прямолинейный – он будет просто перенесен.
Преобразователь узлов применяется для изменения свойств узловых точек, принимает форму острого угла. Например, если нужно изменить гладкий узел в узел стыка. При щелчке на гладком узле образуется угловой узел, а при протягивании углового узла – образуется гладкий узел.
Глава II. Использование инструмента "Кривые Безье" для моделирования векторной графики
II.1. Работа №1. Учимся чертить цифры.
Начнем с самых простых чисел – 1 и 4. Вспомним, что если пером просто щелкать – будут образовываться прямые отрезки, которые складываются в ломаную линию. А если нажать и протягивать указатель мыши – будут рисоваться дуги. Сначала разберемся с одиночными дугами. Дуга имеет одно свойство – она настраивается. Самое главное – не спешить, протягивая, отпустить кнопку мыши, повертеть, покрутить, пока не добьетесь нужного результата.
Ниже показан пример. Строго горизонтальные, вертикальные или под 45° прямолинейные сегменты поможет сделать клавиша Shift, которую нужно удерживать, когда это требуется. А чтобы не запутаться, следует начать с первого узла.
криволинейный
сегмент прямолинейный
сегмент
Рис. 3
Далее начертим две «гладкие» цифры – 6 и 9. Первый узел щелкнуть, остальные протянуть. После создания контура, не нужно забывать нажимать Esc. Рисуются эти цифры одинаково, только одна сверху вниз, а другая снизу вверх. Чтобы поправить нарисованный контур, нужно использовать белую стрелку (двигать узлы и поправлять балансировочные точки).
Рис. 4
У цифр 2, 3, 7 и 5 – есть точки стыка и нужно научиться ими управлять.
Рис. 5
Ну и оставшиеся цифры 8 и 0. Они обе замкнутые и гладкие и состоят из трех узлов. Во всех узлах выполняется протягивание. 1 и 3 точки накладываются друг на друга.
Рис. 6
Работа № 2
Рисунок из фото
Выбирается фото с разрешением примерно 880x1267 пикселей, сохраняя пропорции.
Уже на начальном этапе сделать фото немного похожим на рисунок, используя фильтр «штриховка» (Filter —> Brush Strokes —> Crosshatch...) со следующими настройками либо «на глаз».
Рис. 7
Вот что получилось.
Рис. 8
Теперь фото сделать черно-белым, настроить контраст и яркость.
Рис. 9
Перед тем, как обводить основные черты лица, создать новый слой, непрозрачность которого уменьшить до 30 %. Слой залить белым цветом.
Фото теперь должно стать затуманенным (теперь, обводя основные черты лица в следующем пункте, линии не будут сливаться с темными участками на лице и волосах), вот таким:
Рис. 10
Теперь можно работать с кривыми Безье.
Сперва обвести контур лица. То, что получилось – всего лишь «путь» (вспомогательная линия). Что бы она стала частью рисунка, ее нужно обвести с помощью кисти (Brush Tool). В качестве профиля кисти выбрать обычную кисть круглого профиля. Настройки кисти нужно немного изменить (при разрешении фотографии как у меня, нужна кисть размером 3 пикселя).
Перейти на вкладку Shape Dynamics, в пункте Size Jitter изменить параметр Control на Pen Pressure (линия на образце станет сужающейся к краям).
Теперь вернуться на вкладку Paths, кликнуть правой клавишей по эскизу созданного пути и в появившемся меню выбирать пункт Stroke Path... (обвести путь).
Создавая новые пути (кривые Безье) и выполняя их обводку (вышеописанным способом), обвести основные черты лица, волос, одежды, украшений и т. п. Вот мой результат.
Рис. 9
Рис. 11
Теперь нужно закрасить все лишнее белым цветом, оставив лишь силуэт девушки. Выбирать инструмент «кисть» (Brush Tool), в качестве профиля кисти выбрать мягкую кисть (с мягкими краями), размер – 100 пикселей (может быть и больше). Непрозрачность кисти (Opacity) уменьшить до 10%.
Создать новый слой, разместить его сразу над слоем с изображением девушки (т. е. вторым снизу) и начать закрашивать все лишнее белым цветом, накладывая мазки кистью друг на друга. Можно слегка закрасить волосы, осветлить черные контуры.
Вот результат.
Рис 12
Заключение
При выполнении этой работы я смогла решить проблему, связанную с моделированием кривых Безье. Я выяснила, что благодаря простоте задания и манипуляции, кривые Безье нашли широкое применение в компьютерной графике для моделирования гладких линий. Я научилась создавать очень точные формы и безупречные кривые с помощью инструмента Pen. В ходе исследовательской деятельности я поняла, что кривые Безье обладают рядом свойств.
Кривая целиком лежит в выпуклой оболочке своих опорных точек. Это свойство кривых Безье с одной стороны значительно облегчает задачу нахождения точек пересечения кривых (если не пересекаются выпуклые оболочки опорных точек, то не пересекаются и сами кривые), а с другой стороны позволяет осуществлять интуитивно понятное управление параметрами кривой в графическом интерфейсе с помощью её опорных точек. Кроме того аффинные преобразования кривой (перенос, масштабирование, вращение и др.) также могут быть осуществлены путём применения соответствующих трансформаций к опорным точкам.
Наибольшее значение имеют кривые Безье второй и третьей степеней (квадратичные и кубические). Кривые высших степеней при обработке требуют большего объёма вычислений и для практических целей используются реже. Для построения сложных по форме линий отдельные кривые Безье могут быть последовательно соединены друг с другом в сплайн Безье.
Кривые Безье удобно использовать в программах художественной графики, так как они обладают рядом полезных свойств. Во-первых, после небольшой практики можно без труда придать кривой желаемую форму.
Во-вторых, кривой Безье очень удобно управлять. Некоторые сплайны не проходят ни через одну из задающих их точек, кривая же Безье всегда закреплена двумя конечными точками. Кроме того, у некоторых сплайнов есть особые точки, в которых кривая разворачивается в бесконечность (что редко бывает желательно в компьютерной графике). Кривая Безье ведет себя намного лучше. Фактически она никогда не выходит за пределы четырехугольника (называемого выпуклой оболочкой), образованного линиями, соединяющими конечные и управляющие точки (способ соединения конечных и управляющих точек при образовании этого четырехугольника зависит от формы конкретной кривой).
Третье свойство кривых Безье касается связи между конечными и управляющими точками. Если провести из конечной точки луч через первую управляющую точку, то он всегда будет проходить по касательной к кривой Безье в ее конечной точке и будет направлен в ту же сторону, что и кривая. Это последние предпосылки для вывода формул Безье.
В-четвертых, кривые Безье часто принимают эстетичные формы, на которые приятно смотреть. Понимаю, что этот критерий субъективен, но многие находят кривые Безье весьма изящными.
Делая вывод из всего вышесказанного, считаю, что цель данной курсовой работы выполнена, поставленные задачи решены.
Литература
– Photoshop CS. Самоучитель.– Кудиц-Образ – Москва,2004 г.–594 с. Д. Блатнер – Реальный мир Adobe Photoshop CS2. – "Вильямс" – 2007 г.– 976 с. А. Тайц, А. Тайц, . – Эффективная работа: Photoshop 7. – "Питер" – 2003 г.– 768 с. Д. Мак-Клелланд, Б. Обермайер. – Photoshop 7 для "чайников".–Диалектика – 2002 г.– 448 с.
