Комбинаторика (стр. 7 )

Благоприятный исход – это пятёрка вытащенных шариков, среди которых ровно 2 белых и ровно 3 чёрных. Чтобы найти количество благоприятных исходов, сначала возьмём 2 белых шарика из 60, затем 3 черных из 4-х. Количество способов взять 2 белых шарика из 60 равно . Количество способов взять 3 чёрных шарика из 4-х равно . По правилу произведения, общее количество благоприятных исходов равно

Ответ:

Дополнение. Условная вероятность.

Определение. Условная вероятность – это вероятность одного события при условии, что второе событие уже произошло.

Прежде чем написать формулу для условной вероятности, поясним это понятие на простом примере. Пусть в мешке лежат 10 белых кубиков, 20 белых шариков, 30 черных кубиков и 40 чёрных шариков. Достанем из мешка случайным образом один предмет. Какая вероятность того, что этот предмет – белый? Среди всех предметов, являющихся элементами события (этих предметов 100), белых предметов будет 30, таким образом, вероятность достать белый предмет – 30/100 = 0,3.

Но в отличие от цвета,  форму предмета можно пощупать, и даже с закрытыми глазами определить, шарик это или кубик. Достанем из мешка один предмет. Пусть это будет кубик. Какая вероятность того, что он – белый? Решая данную задачу, мы можем «забыть», что в мешке кроме кубиков ещё были шарики –  их наличие и цвета нас не интересуют. Таким образом, можно предположить, что в мешке были только кубики. Всего кубиков (элементы события) – 40, из них белых – 10, таким образом, искомая вероятность равна 1/4.

Однако, как можно «забыть» про шарики? Для этого достаточно просто ввести вспомогательное событие «предмет – кубик».

Пусть А – это событие «вытащенный предмет – белый», а B – событие «вытащенный предмет – кубик».

Нас интересует вероятность того, что вытащенный предмет – белый, если уже известно, что этот предмет – кубик. Это как раз и будет являться примером условной вероятности и будет обозначаться как (читается как «вероятность события A при условии события B»)

Теперь перейдем к формуле для . Из всех событий нас интересуют только элементы события, которые благоприятствуют («кубики»). Пусть таких элементов – штук. А «хорошими» будут только те из элементов событий, которые кроме события B благоприятсвуют ещё и событию A. Эти элементы благоприятствуют одновременно обоим событиям, A и B, что эквивалентно пересечению этих событий, . В случае мешка с предметами это будут «белые кубики», т. е. пересечение событий «предмет – белый» и «предмет – кубик».

Пусть таких элементов будет штук, тогда вероятность события A при условии события B будет равна . Разделим числитель и знаменатель на общее количество элементов события , тогда,

В числителе получилось отношение элементов события, благоприятствующих пересечению событий к общему количеству элементов событий – это по определению равняется вероятности пересечения событий A и B, т. е . Аналогично, знаменатель в точности равен .

Таким образом, вероятность события А при условии события B равняется отношению вероятности пересечения событий А и B к вероятности события B,

В вышеописанном примере, вероятность события «белый кубик» равняется 10/100 = 0,1. Вероятность события «кубик» равняется 40/100 = 0,4. Таким образом, вероятность вытащить белый предмет при условии, что вытащенный предмет – кубик, равна 0,1/0,4 = 1/4. Это число уже было получено ранее.

Пример «Парадокс Монти-Холла» Представьте, что вы стали участником игры, в которой вам нужно выбрать одну из трех дверей. За одной из дверей находится автомобиль, за двумя другими дверями — козы. Вы выбираете одну из дверей, например, номер 1, после этого ведущий, который знает, где находится автомобиль, а где — козы, открывает одну из оставшихся дверей, например, номер 3, за которой находится коза. После этого он спрашивает вас, не желаете ли вы изменить свой выбор и выбрать дверь номер 2. Увеличатся ли ваши шансы выиграть автомобиль, если вы примете предложение ведущего и измените свой выбор?»

На самом деле, шансы действительно увеличатся, что, возможно, на первый взгляд противоречит здравому смыслу, но легко показывается при помощи понятия условной вероятности.

Пусть, для простоты, в начале игры игрок действительно открывает первую дверь, как и описано в условии, а ведущий затем – дверь №3 (иначе – перенумеруем двери). Самое главное в этой задаче – описать равновероятные элементы события. С одной стороны, можно полагать, что их будет 3 – по количеству дверей, за которыми может скрываться автомобиль. Но, с другой стороны, ведущему, возможно, придется делать выбор между козами, т. е. элементов события должно быть больше, чем 3.

Поэтому, пронумеруем коз – теперь у нас будут не 2 одинаковых козы, а коза №1 и коза №2. Ведущий, если ему придется выбирать из двух дверей с козами, откроет дверь с козой №1; игрок же коз различать не будет. Тогда, элементы события – это все возможные перестановки трёх объектов, их будет 6.

Найдем вероятность того, что за первой дверью будет автомобиль при условии того, ведущий открыл третью дверь после того, как игрок указал на первую.

Воспользуемся формулой где - «за первой дверью автомобиль», – «ведущий открыл третью дверь после того, как игрок указал на первую».

Рассмотрим все 6 вариантов перестановок автомобиля и двух коз:

1 дверь	2 дверь	3 дверь
1	Автомобиль	Коза №1	Коза №2	-	-
2	Автомобиль	Коза №2	Коза №1	+	+
3	Коза №1	Автомобиль	Коза №2	+	-
4	Коза №2	Автомобиль	Коза №1	+	-
5	Коза №1	Коза №2	Автомобиль	-	-
6	Коза №2	Коза №1	Автомобиль	-	-

Из всех 6 перестановок только в трёх случаях ведущий откроет третью дверь: в двух из этих случаев (3 и 4) т. к. во второй двери – автомобиль. В третьем случае за обеими дверьми находятся козы, из которых он, по договоренности, должен открыть дверь с козой №1. Таким образом, вероятность события .