Вычисление объёмов тел

Вычисление объёмов тел

Вычисление объема тела по известным площадям параллельных сечений

Пусть требуется найти объем V тела, причем известны площади S сечений этого тела плоскостями, перпендикулярными некоторой оси, например оси Ох: S = S(x), а ≤ х ≤ b.

Пусть через произвольную точку х є [a;b] проведена плоскость ∏, перпендикулярная оси Ох (см. рис. 188). Обозначим через S(x) площадь сечения тела этой плоскостью; S(x) считаем известной и непрерывной функцией на [a;b]. Тогда объём части тела, находящейся между плоскостями x=a и x=b вычисляется по формуле

Полученная формула называется формулой объема тела по площади параллельных сечений.

Пример 1. Найти объем эллипсоида 

Решение: Рассекая эллипсоид плоскостью, параллельной плоскости Oyz и на расстоянии х от нее (-а≤х≤a), получим эллипс (см. рис. 189):

Площадь этого эллипса равна 

Поэтому, по формуле (1), имеем

Объем тела вращения

Пусть вокруг оси Ох вращается криволинейная трапеция, ограниченная непрерывной линией у=ѓ(х) (), отрезком а ≤ x ≤ b и прямыми х = а и х = b (см. рис. 190). Полученная от вращения фигура называется телом вращения. Сечение этого тела плоскостью, перпендикулярной оси Ох, проведенной через произвольную точку х оси Ох (х ϵ [а; b]), есть круг с радиусом у= ѓ(х). Следовательно, S(x)=рy2.

Применяя формулу (1) объема тела по площади параллельных сечений, получаем

Если криволинейная трапеция ограничена графиком непрерывной функции х=ц(у) (ц(у) ≥ 0) и прямыми х = 0, у = с, у = d (с < d), то объем тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси Оу, по аналогии с формулой (2), равен

Пример 2. Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями   вокруг оси Оу (см. рис. 191).

Решение: По формуле (3) находим: