Задачи

№46

Основание равнобочной трапеции ABCD равно 8, высота равна 3, а углы, прилежащие к этому основанию, равны р/4. Принимая за ось абсцисс основание AD, аза ось ординат ось симметрии трапеции, направленную от большего основания к меньшему, найти в этой прямоугольной системе координаты вершин трапеции, точки М пересечения ее диаго­налей и точки S пересечения ее боковых сторон.

Решение

1)

Т. к. ось ординат  - ось симметрии трапеции, то  точки имеют координаты

А(-4,0) и  D(4,0). Найдем координаты других вершин. Т. к.  ВС расположена то АD на расстоянии 3, то В(хв,3) и С(хс,3).

Из равенства треугольников АВВ’ и DCC’(треугольники  - прямоугольные, АВ=CD в силу того, что трапеция равнобочная) следует, что AB’=C’D

Из треугольника АВВ’ найдем AB’:

Значит, C’D=3

Т. к. , то

.

Таким образом, координаты точек В (-1,3) и С(1,3).

2) Составим уравнение диагонали АС, используя формулу уравнения прямой, проходящей через 2 точки:

теперь получим общее уравнение:

Аналогично, найдем уравнений второй диагонали ВD:

Тогда точку М найдем, решив систему уравнений:

3) Составим уравнение стороны АВ:

Составим уравнение стороны CD:

Тогда точку S найдем, решив систему уравнений:

Ответ: М(0,12/5) и S (0,4)

№76

Луч, выходящий из начала координат образует с осями углы  . Найти направляющие косинусы проекции этого луча на  плоскость Оху.

Решение

Проекция луча на ось Оху

Направляющие косинусы:

№ 000

Найти координаты центра тяжести проволочного треугольника, длины сторон которого 3, 4 и 5, направляя ось абсцисс по меньшему, а ось ординат по большему катету треугольника.

Решение

Данный треугольник является прямоугольным, т. к. .

Сделаем рисунок.

Из рисунка видно, что С(0,0), А(3,0) и В(0,4).

Центр тяжести расположен в точке пересечения медиан треугольника.

Найдем координаты  точки М – середины АВ:

Запишем уравнение медианы СМ, используя формулу уравнения прямой, проходящей через 2 точки:

Аналогично находим уравнение второй медианы, например АК.

Тогда центр тяжести треугольника найдем, решив систему уравнений:

Ответ: (1,4/3)

№ 000

Найти сумму векторов, являющихся ортогональными проекциями вектора а на стороны треугольника АВС.

Решение

Ведем прямоугольную систему координат, принимая за начало координат точку А и за базисный вектор а оси абсцисс вектор АВ. Сделаем чертеж.

Сумму проекций:

Проекция на АВ равна самому вектору а:

Проекция на АС равна 0:

Проекция на ВС равна самому А’В:

Таким образом, сумма векторов, являющихся ортогональными проекциями вектора а на стороны треугольника АВС:

Ответ:

№ 000

Даны две противоположные вершины квадрата А= (—3, 2), В = (5, —4). Найти две другие его вершины C и D.

Решение

Найдем координаты  точки М:

Тогда координаты вектора МВ=(4,-3)

Так как векторы МС, МА, МD получены преобразованием МВ на углы . Тогда координаты МС, МА и МD получаются из координат вектора МВ матрицей преобразования:

Находим координаты векторов:

По правилу сложения векторов находим координаты вершин:

Ответ: С(4,3) и D(-2,-5)

№ 000

Даны точки А=(-3,1) и В =(5,4) и прямая . Установит, пересекает ли данная прямая отрезок АВ или его продолжение за точку А или за точку В.

Решение

1)Составим уравнение прямой АС, используя формулу уравнения прямой, проходящей через 2 точки:

теперь получим общее уравнение:

2) Найдем точку пересечения, решив систему уравнений:

Точка (13,7) не принадлежит отрезку АВ. Заданная прямая пересекает продолжение отрезка АВ за точкой В.

№ 000

Найти центр С и радиус r круга, вписанного в тре­угольник со сторонами

Решение

1) Центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис.

Найдем уравнение двух биссектрис. Если стороны треугольника заданы уравнениями и , то уравнение биссектрисы имеет вид:

Для сторон, заданных уравнениями биссектриса имеет вид:

Для сторон, заданных уравнениями биссектриса имеет вид:

Найдем центр вписанной окружности, решая систему уравнений:

Радиус окружности равен расстояния от точки С до одной из сторон.

Возьмем сторону

Тогда нормирующий множитель равен:

И нормальное уравнение стороны:

Подставляем в данное уравнение координаты точки С:

Т. е. радиус равен 2

Ответ: С(-2,-6), 

№ 000

Найти условия, необходимые и достаточные  для того, чтобы прямая

1)  пересекала плоскость Оху;

2) была параллельна ей;

3) лежала в этой плоскости.        

Решение

1) Уравнение плоскости Оху имеет вид:

Чтобы прямая пересекала плоскость, они не должны быть параллельны, т. е.

2) Прямая параллельна плоскости, если.

В данном случае необходимо учитывать, что

3) Условие принадлежности прямой плоскости:

№ 000

Определить положение точек А = (2, 5, 1), В=(2, 1,0), С=(0, 0,1), D=(0,1,-9), Е=(-1,-3,0) относительно плоскости .

Подставим координаты каждой точки в уравнение плоскости:

1)

Точка А не принадлежит данной плоскости

2)

Точка В не принадлежит данной плоскости

3)

Точка С не принадлежит данной плоскости

4)

Точка D не принадлежит данной плоскости

5)

Точка E не принадлежит данной плоскости

Заданные точки не принадлежат данной плоскости, точки А, В, С лежат по одну сторону от плоскости, а D и Е по другую.

№ 000

Провести через точку пересечения плоскости с прямой прямую, лежащую в этой плоскости и перпендикулярную к данной прямой.

Решение

Найдем точку пересечения прямой и плоскости

Тогда прямая, лежащая в этой плоскости и перпендикулярная к данной прямой будет иметь вид: