Расчет статически неопределимой рамы
на устойчивость
методом перемещений.
Дано.
Рис.1
Определение степени статической неопределимости системы.
N = Nугл. + Nлин. , где
Nугл. – число жестких узлов. В узлы вводим заделку, которая не дает узлу поворачиваться. (В нашем случае это узлы В и С, следовательно Nугл.=2)
Nлин. – число неизвестных линейных перемещений. Во все жесткие узлы и опоры (заделки) вводим шарниры. Число неизвестных линейных перемещений равно числу опорных связей, которые необходимо ввести в систему, чтобы она стала геометрически неизменяемой.
В нашем случае:
W.= 2У - Д - Со = 2·8 - 7 – 8 = 1, где
W – степень свободы системы.
У – количество узлов. У = 5
Д = количество жестких дисков. Д = 4
Со – количество опорных стержней Со = 6
Рис.2
Так как степень подвижности шарнирной схемы равна единице, то связей достаточно для её неизменяемости, следовательно Nлин = 1
Тогда, N = Nугл + Nлин = 1 + 1 = 2
Следовательно, заданная система два раза кинематически неопределима.
За неизвестные метода перемещений принимаем угол поворота Z1 узла 1 и линейное перемещение ригеля 1- 5 – 2 Z2.
Основная система метода перемещений.Образуем основную систему метода перемещений. В жестком узле 1 ставим плавающую заделку и задаем узлу 1 углы поворота Z1. В узел 2 вводим подвижно – шарнирную связь и задаем узлу 2 линейное перемещение Z2.
Рис.3
Составляем систему канонических уравнений.Так как на раму действует узловая нагрузка (сосредоточенные силы), то система канонических уравнений будет:
Тогда
Раскрывая определитель, получаем:
Погонные жесткости стержней
Принимаем EJ = 12, тогда
Найдем соотношения между параметрами н1, н2, н3.
Тогда,
Следовательно:
Строим эпюру изгибающих моментов от поворота плавающей заделке в узле А на единицу (Z1 = 1)
Рис.4
В ненагруженном узловой нагрузкой стержне 6 изгибающие моменты возникают только от поворота плавающей заделки в узле А. Эпюру в этом стержне строим с использованием таблиц готовых решений метода перемещений. В стержнях 1 и 2 изгибающие моменты возникают от поворота плавающей заделки в узле А и от действия продольных сил Р1 и Р2. Эпюры изгибающих моментов для этих стержней имеет криволинейное очертание. Строим их по таблицам готовых решений для устойчивости метода перемещений.
Строим эпюру моментов от горизонтального смещения ригеля А – В на единицу влево (Z2 = 1).
Рис.5
Горизонтальное смещение ригеля А – В вызовет изгиб стержней 1,2,3,4 и 5.
В стержнях 4 и 5 эпюры изгибающих моментов будут иметь прямолинейное очертание, так как они не загружены вдоль оси. Эпюры в этих стержнях строим с использованием таблиц готовых решений метода перемещений.
В стержнях 1, 2 и 3, нагруженных продольными силами Р1, Р2 и Р3, эпюры изгибающих моментов имеют криволинейные очертания и строятся с использованием таблиц готовых решений для устойчивости метода перемещений.
7. Находим коэффициенты при неизвестных канонических уравнений
- по эпюре М1
- по эпюре М2
Подставляем найденные коэффициенты в уравнение :
Получим:
Это уравнение решаем путем постепенного приближения путем нескольких попыток.
Попытка | н1 | Результат |
1 | 3,9 | -17,1 |
2 | 3,7 | -1,98 |
3 | 3,68 | -0,54 |
4 | 3,672 | 0,107 |
5 | 3,6734 | 0,0057 |
Таким образом, уравнение удовлетворяется значением н1 = 3,6734 и значения критических сил в стойках будут:
Для стойки 1
Для стойки 2
Для стойки 3
