Задача № 1
по разделу «Теоретическая механика»
Стальная стержневая конструкция находится под действием сил, моментов и распределенной нагрузки.
Определить реакции опор твердого тела.
Схема 0; P=15; q=1; M=2
Определяем опорные реакции:
Знак минус показывает что предварительное направление На задано неверно.
Задача № 2
по разделу «Теоретическая механика»
Определить для заданного положения скорости всех точек механизма и угловые скорости звеньев с помощью плана скоростей. Сделать проверку найденных значений с помощью мгновенных центров скоростей.
Дано: 
= 60°, 
= 150°, 
=90°, 
= 30°, 
= 30°, AD = DB, l1= 0,4 м, l2 = 1,2 м, l3=1,2м, l4= 1,4 м, 
= 2 с-1, 
= 7 с-2 (направления 
и 
- против хода часовой стрелки).
1. Строим положение механизма в соответствии с заданными углами.
2. Определяем 
. Точка В принадлежит стержню АВ. Чтобы найти 
, надо знать скорость какой-нибудь другой точки этого стержня и направление 
. По данным задачи, учитывая направление 
, можем определить 
; численно
, l1 = 0,8 м/с; 
. 
а) б)
Направление 
найдем, учитывая, что точка В принадлежит одновременно ползуну, движущемуся вдоль направляющих поступательно. Теперь, зная 
и направление 
, воспользуемся теоремой о проекциях скоростей двух точек тела (стержня АВ) на прямую, соединяющую эти точки (прямая АВ). Сначала по этой теореме устанавливаем, в какую сторону направлен вектор 
(проекции скоростей должны иметь одинаковые знаки). Затем, вычисляя эти проекции, находим
VBcos 30° = VAcos 60° и VB = 0,46 м/с.
3. Определяем 
. Точка Е принадлежит стержню DE. Следовательно, по аналогии с предыдущим, чтобы определить 
, надо сначала найти скорость точки D, принадлежащей одновременно стержню АВ. Для этого, зная 
и 
, строим мгновенный центр скоростей (МЦС) стержняАВ; это точка С3, лежащая на пересечении перпендикуляров к 
и 
, восстановленных из точек А и В (к 
перпендикулярен стержень 1). По направлению вектора 
определяем направление поворота стержня АВ вокруг МЦС С3. Вектор 
перпендикулярен отрезку C3D, соединяющему точки D и С3, и направлен в сторону поворота. Величину VD найдем из пропорции
.
Чтобы вычислить С3D и C3E, заметим, что 
прямоугольный, так как острые углы в нем равны 30° и 60°, и что C3B= АВsin 30° = 0,5АВ = BD. Тогда 
является равносторонним и C3B=C3D
=
= 0,46 м/с; 
.
Так как точка Е принадлежит одновременно стержню O2E, вращающемуся вокруг O2, то 
. Тогда, восстанавливая из точек Е и D перпендикуляры к скоростям 
и 
, построим МЦС С2 стержня DE. По направлению вектора 
определяем направление поворота стержня DEвокруг центра С2. Вектор 
направлен в сторону поворота этого стержня. Из рис. 64,б видно, что 
, откуда С2E = C2D. Составив теперь пропорцию, найдем, что
, 
=
= 0,46 м/c.
4. Определяем 
. Так как МЦС стержня 2 известен (точка С2) и
, то 
5. Определяем 
. Точка В принадлежит стержню АВ. Чтобы найти 
, надо знать ускорение какой-нибудь другой точки стержня АВ и траекторию точки В. По данным задачи можем определить 
, где численно
м/с2; 
м/с2.
Вектор 
направлен вдоль AO1, a 
- перпендикулярно AO1; изображаем эти векторы на чертеже. Так как точка В одновременно принадлежит ползуну, то вектор 
параллелен направляющим ползуна. Изображаем вектор 
на чертеже, полагая, что он направлен в ту же сторону, что и 
.
Для определения 
воспользуемся равенством
.
Изображаем на чертеже векторы 
(вдоль ВА от В к А) и 
(в любую сторону перпендикулярно ВА); численно 
. Найдя 
с помощью настроенного МЦС С3 стержня 3, получим
и 
=0,61 м/с2.
Чтобы определить 
, спроецируем обе части равенства на направление АВ (ось х), перпендикулярное неизвестному вектору 
. Тогда получим
.
= 0,72 м/с2 .
Так как получилось 
> 0, то, следовательно, вектор 
направлен. Определяем 
. Чтобы найти 
, сначала определим 
. Для этого обе части равенства (88) спроецируем на направление, перпендикулярное АВ (ось у). Тогда получим
= -3,58 м/c2. Знак указывает, что направление 
противоположно.
Теперь из равенства 
получим
Ответ: VB= 0,46 м/с; VE=0,46 м/с; 
=0,67 c-2; 
= 0,72 м/с2; 
= 2,56 c-2.
Задача № 3
по разделу «Сопротивление материалов»
Стальной стержень находится под действием продольных сил. Построить эпюры внутренних продольных сил F и нормальных напряжений σ, найти перемещение Δl сечения I–I. Влиянием собственного веса стержня пренебречь. Модуль упругости стали Ест равен 215000 МПа.
А=12 см2
a=2,1 м
b=3 м,
с=1,1 м
F=120 кН
Порядок расчета:
1. Намечаем характерные сечения, нумеруя их от свободного конца стержня к заделке.
Определяем продольную силу
в каждом характерном сечении. При этом рассматриваем всегда ту отсеченную часть, в которую не попадает жесткая заделка: N1-1 = -4F = -4Ч120 = -480 кН
N2-2 = -4F = -4Ч120 = -480 кН
N3-3 = -4F + 2F = -2F = -2Ч120 = -240 кН
N4-4 = -4F + 2F = -2F = -2Ч120 = -240 кН
N5-5 = -4F + 2F +3F = F = 120 кН
N6-6 = -4F + 2F +3F = F = 120 кН
По найденным значениям строим эпюру
. Положительные значения откладываются (в выбранном масштабе) слева от оси эпюры, отрицательные - справа:
Определяем величину нормальных напряжений в каждом характерном сечении:
уI = NI / AI = - 480 кН / 2Ч12 см2 = - 48Ч104 Н / 24Ч102 мм2 = - 200 МПа
уII = NII / AII = - 240 кН / 2Ч12 см2 = - 24Ч104 Н / 24Ч102 мм2 = - 100 МПа
уIII = NIII / AIII = 120 кН / 12 см2 = 12Ч104 Н / 12Ч102 мм2 = 100 МПа
По найденным значениям строим эпюру уz
Положительные значения откладываются (в выбранном масштабе) слева от оси эпюры, отрицательные - справа:
Перемещение сечения I – I определяем по формуле:
Дl I – I = Дl a + Дl b + Дl c,
где
Дl a = NI Ч a / (E Ч AI) = - 48Ч104 Н Ч 21Ч102 мм /(21Ч104 МПаЧ24Ч102 мм2) = -2 мм
Дl b = NII Ч b/ (EЧAII) = -24Ч104 Н Ч 3Ч103 мм /(21Ч104 МПаЧ24Ч102 мм2) = -1,43 мм
Дl с = NIII Ч c/ (EЧAIII) = 12Ч104 Н Ч 11Ч102 мм /(21Ч104 МПаЧ12Ч102 мм2) = 0,52 мм
Отсюда
Дl I – I = Дl a + Дl b + Дl c = -2 мм – 1,43 мм + 0,52 мм = -2,91 мм
По найденным значениям строим эпюру Дl z
Таким образом, сечение I-I переместится в сторону заделки на 2,91 мм
Задача № 4
по разделу «Сопротивление материалов»
Для двухопорной балки, нагруженной равномерно распределённой нагрузкой интенсивностью q, силой F и парой сил с моментом М определить реакции опор, построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов. Найти максимальный изгибающий момент и, исходя из условия прочности, подобрать необходимые размеры "b" и "h" деревянной балки прямоугольного сечения, приняв h = 2b и [
] = 10 Н/мм2.
Дано: F = 18 кН; М = 4кН·м; q = 19кН/м; а = 0,6м.
Решение: Делим балку на 4 участка по точкам приложения нагрузок. Определяем опорные реакции, отбрасывая связи и заменяя их действие реакциями.
Т. к. опорой в точке В является каток, а в точке А – неподвижный шарнир, то реакции катка RB направим перпендикулярно опорной поверхности – вверх, а реакцию шарнира разложим на составляющие ХА и УА по осям координат вертикально вверх.
Из условия равновесия моментов в точках А и В определим RB, ХА и УА, для чего распределённую нагрузку заменим сосредоточенной нагрузкой:
Q = q·2а = 19·2·0,6 = 22,8 кН,
приложенной в центре участка IV. Составим три уравнения равновесия:
Отсюда:
Отсюда:
Проверочное уравнение:
Для построения эпюр в произвольном сечении каждого участка определяем поперечные силы и изгибающие моменты.
Участок I: 
Участок II: 
Участок III: 
Участок IV: 
Участок V: (справа)
На участке с распределённой нагрузкой момент изменяется по параболе, выпуклой вверх. Экстремум момента на этом участке имеет место при Q4 = 0.
Тогда экстремум момента на этом участке:
Эпюра поперечных сил в масштабе mQ = 1кН/мм и эпюра изгибающих моментов в масштабе mМ = 1кНм/мм показаны на рисунке.
Т. о. наибольший изгибающий момент Мmax = 17,94 кН·м действует на участке распределённой нагрузки.
Из условия прочности при изгибе имеем:
Для прямоугольного сечения момент сопротивления:
Т. к. h = 2b, то 
отсюда:
Т. о. следует использовать деревянную балку при допускаемой прочности на изгиб 
с размерами h = 28 см; b = 14см.
Задача 5
Этап 1. Приведение внешней нагрузки к центру тяжести на плоскости стыка
S – сдвигающее усилие,
Q – отрывающее усилие,
Прикладываем в центр тяжести стыка систему взаимно уравновешивающихся сил, равных величинам S и Q.
, 
, 
;
; 
Отметим силы, которые будут создавать момент, опрокидывающий стойку:
M = S⋅H - Q⋅e
S→ силовые факторы действующие на стойку.
Q↑
.
Противодействовать этим силовым факторам будит усилие предварительной затяжки болтов - V.
Этап 2. Определение V из условия не раскрытия стыка
,
где А – площадь основания стыка А = (а⋅b)/2;
σV – напряжение от предварительной затяжки.
Под действием опрокидывающего момента стойка будет поворачиваться вокруг оси (через с′), т. к. момент опрокидывания будет иметь, относительно этой оси, минимальное значение.
Момент сопротивления подсчитывается для геометрической формы стыка. Результатирующая эпюра должна иметь вид Ι.
Основные условия не раскрытия стыка:
(1)
(2)
q – допускаемое удельное давление на фундамент.
Из (1) ⇒ 
;
,
KV – коэффициент предварительной затяжки, зависящий от характера действующей нагрузки KV = 1,4 ÷ 2, принимаем KV = 1,7.
Этап 3. Определение σQ и σM
σQ распределяется между болтами и деталями соединения таким образом, что ее дополнительно нагружает болты, а оставшаяся часть разгружает стыки ослабляя затяжку.
χQ – нагружает болт;
(1-χ)Q – разгружает стык.
χ - коэффициент основной внешней нагрузки χ = 0,2 ÷ 0,3.
- напряжение разгружающее стык,
.
Точно также с опрокидывающим моментом:
χM – нагружает болт;
(1-χ)M – разгружает болт.
,
Wст – момент сопротивления, подсчитанный для геометрической формы стыка
;
.
Рис. 2. Эпюры напряжений.
Этап 4. Определение усилия предварительной затяжки V из условия несдвигаемости стойки под действием усилия S
где Kc – коэффициент запаса по несдвигаемости, не менее 1,5, Kc = 1,8.
;
,
;
Окончательно применяется большее 
.
Этап 5. Определение расчетного усилия на фундаментный болт и его расчетного диаметра
- нагрузка на болт от силы Q;
.
Усилие на болт от опрокидывающего момента М (крайний болт)
где l1 = 0,5l расстояние от крайнего болта до оси сс1, l2 = l1 – 50 мм;
, 
;
Суммарная внешняя нагрузка на наиболее нагруженный болт
FBH = F1M + FQ;
FBH = 4506 + 825 = 5331 Н.
Расчетное усилие на болт
;
.
Полагаем, что стойка может подтягиваться под нагрузкой.
Допускаемое разрывные напряжения для материала болта
где σт – предел текучести материала болта,
ST – допускаемый запас прочности;
.
Расчетный диаметр резьбы болта
;
.
Выбор метрической резьбы по СТСЭВ 172-75:
dр ≥ dр* с крупным и мелким шагом,
М24×1,5; dр = 22,59 мм, d1 = 22,376 мм, d2 = 23,026 мм P = 1,5 мм,
Ар = 4,01мм, Н1 = 0,812 мм, Ψ = 1° 11′, Нг = 19 мм.
М24×2; dр = 22,12 мм, d1 = 21,835 мм, d2 = 22,701 мм, P = 2 мм,
Ар = 3,84мм, Н1 = 1,082 мм, Ψ = 1° 11′, Нг = 19 мм.
Этап 6. Проверка резьбы на смятие и срез и выполнение эскиза резьбовой пары в М 10:1
Рабочими поверхностями резьбы являются боковые поверхности витков. На них действует контактное напряжение смятия σсм, действует между размерами d и d1, наклонная кольцевая плоскость.
Рис. 3. Эскиз резьбовой пары.
Проверка резьбы на прочность по напряжению смятия
где z – количество витков резьбы, витков гайки;
Асм – площадь боковой поверхности витка на смятие;
Кн – коэффициент неравномерности распределения нагрузки между витками резьбы Кн = 0,65…0,75.
= 
мм из ГОСТа 5915-70
Нг – высота гайки нормальной точности.
Н/мм2
σсм – напряжение смятия.
.
Условие прочности винта на срез
КП⋅P – высота поверхности среза;
КП – коэффициент полноты резьбы, для метрической резьбы КП = 0,87;
Аср – площадь поверхности среза;
τCB – напряжение среза для винта.
,
Допустимое напряжение на срез принять 
= 42…63 Н/мм2.
Все условия прочности выполнились.
Если условие прочности не выполняется по какому либо условию можно действовать по следующему: переход на более высокие гайки; использование двух нормальных гаек; переход на более большой диаметр; замена материала на более прочный.
