УДК 517.946
О продолжении решения однородной системы уравнения Максвелла
,
Самаркандский государственный университет
*****@***ru
Ключевые слова: уравнений Максвелла, некорректные задачи, регулярное решение, матрицы Карлемана.
Key words: Maxwell equations, ill-posed problem, regular solution, Carleman matrix.
Аннотация: Рассматривается задача продолжения решения системы уравнений Максвелла по ее значениям на части границы этой области.
Abstract: We consider the problem of continuation of a solution to the system of Maxwell equations from data on part of the boundary of the domaэn.
В теории электромагнитных методов, применяемых различных геофизических исследованиях классическая формула Стрэттона-Чу играет важный роль. Эти представления позволяет решить различные краевые задачи. В данной работе рассматриваются вопросы регуляризации задачи Коши для уравнений Максвелла.
Рассмотрим однородную систему уравнений Максвелла
;
,
где 
, 
и 
- электромагнитные постоянные (диэлектрическая постоянная и проницаемость); 
и 
- напряженностью электрического и магнитного поля, 
- частота электромагнитного колебания.
Пусть 
-трехмерное вещественное евклидово пространство: 
, 
, 
, 
, 
, 
.
- односвязная ограниченная область в 
с границей 
, состоящей из части поверхности конуса 
и гладкого куска поверхности 
, лежащего в конусе 
. Случай 
предельный. В этом случае 
- плоскость 
и 
- полупространство 
, 
- односвязная ограниченная область в 
с границей, состоящей из части плоскости 
и гладкого куска поверхности 
, лежащей в полупространстве 
; 
- внутренние точки поверхности (
- поверхность 
, из которой удален край).
Через 
обозначим пространство вектор функций класса 
удовлетворяющих системы уравнений Максвелла в 
Задача 1.
;
(1)
, 
,
(2)
По заданным 
и 
на 
вычислить 
.
Задача 2. Пусть на 
заданы функции
и 
. Указать условия на 
и 
, необходимые и достаточные для того, чтобы существовало решение системы (1) класса 
, удовлетворяющее условию (2).
Задача (1), (2) относится числу некорректно поставленных задач. В настоящее время теория некорректных задач разработана достаточно хорошо. Различные методы решения изложены в [1-4].
Ж. Адамар [5] заметил, что решение задачи 1 неустойчиво. Чаще всего в приложениях вместо вектор-функций 
и 
задаются на 
их приближения 
и 
соответственно с заданным уклонением 
и требуется по 
и 
построить решение в точках области 
с заранее заданной точностью. Поскольку решение задачи неустойчиво, то построение приближенного решения невозможно.
Для того чтобы построить устойчивое решение, необходимо сузить класс рассматриваемых решений [1,2-3,6]. Чаще всего это компакт в известных функциональных пространствах. Если известно число характеризующее компакт (размеры компакта которому принадлежат решения, то речь идёт о построении семейства вектор-функции 
, 
(регуляризация), зависящих от положительного параметра 
(параметр регуляризации). При подходящем выборе параметра 
в зависимости от 
и размера компакта сходится к решению задачи, когда 
. Введение положительного параметра 
в зависимости от погрешности исходных данных здесь обусловлено свойством задачи. Это обстоятельство впервые было замечено [13]. Явная формула для регуляризации задачи (1), (2) дана в [7]. Мы приводим решение задачи 1 и 2, когда 
и 
задаются на 
заданы точной формулой.
Доказываемые ниже формулы продолжения, представляющие решения задачи 1 и 2, основаны на построении матрицы фундаментальных решений системы (1), зависящей от положительного параметра 
и исчезающей при 
вместе со своими производными на конусе 
, когда полюс фундаментальной матрицы лежит внутри конуса. Фундаментальная матрица решений системы (1) с указанными свойствами называется матрицей Карлемана [1].
Функцию 
при 
, 
определим
(3)
где 
.
Здесь 
- целая функция Миттаг-Леффлера, который определяется интегральной формулой ([8], § 3, гл.3). Обозначим 
, 
, 
контур в комплексной плоскости 
пробегаемый в направлении неубывания 
и состоящий из следующих частей:
1) луч 
, 
; 2) дуга 
окружности 
;
3) луч 
, 
.
Контур 
разбивает комплексную плоскости на две односвязные бесконечные области 
и 
, лежащие слева и справа от 
соответственно. Будем предполагать 
, 
.
В этих условях справедливы следующие интегральные представления
, 
, (4)
, 
, 
, (5)
где
, 
(6)
Лемма 1. Функция 
определенная при 
, 
равенством (3) представима в виде
,
где 
- некоторая функция, определенная для всех значений 
и удовлетворяющая уравнению Гельмгольца 
по переменному 
при любом 
.
Определим матрицы 
где 
, 
- символ Кроникера и
Лемма 2. Матрицы 
, 
представимо в виде
,
, 
,
где 
- симметричная и антисимметричная матрицы целых решений системы (1) в 
соответственно вектора 
; 
-матрицы фундаментальных решений системы (1) в 
:
, 
, 
,
где 
.
Предложение. Пусть 
, где 
. Тогда справедлива формула Стрэттона – Чу [9]:
(7)
здесь 
- направление внешней нормали.
Теорема 1. Пусть 
и 
, 
, где 
- заданные на 
вектор функции класса 
. Тогда справедливы следующие эквивалентные формулы продолжения:
(8)
(9)
где 
(10)
,
, 
.
Теорема 2. Пусть 
, 
. Для того чтобы существовало решений 
такой, что 
, 
, 
, необходимо и достаточно, чтобы
, 
(11)
выполняется равномерно на каждом компакте 
, 
. Если эти условия выполнены, то продолжение осуществляется двумя эквивалентными формулами (8) и (9).
Список литературы
1. О некоторых некорректных задачах математической физики. Новосибирск. 1962.
2. Латтес Р., Лионс квазиобращения и его приложения. М. : Мир, 1970.
3. , Арсенин решения некорректных задач. М.: Наука, 1979.
4. 7. , , Танана линейных некорректных задач и ее приложения. М. :Наука, 1978.
5. адача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболичекого типа. М.: Наука, 1978.
6. О задаче Коши для уравнения Лапласа // Изв. АН СССР Сер. Мат. 1956. Т. 20, №6. С. 819-842.
7. Мардонов Дж. Задача Коши для системы уравнений Максвелла // Сиб. Матем. Журн. 2003. Т.44, №4. С.
8.Джарбашян преобразование и представление функции в комплексной области. М.: Наука, 1966.
9. Stratton J. A., Chu L. J. Diffraction theory of electromagnetic waves // Phys. Repav. 1939. V. 56. P.99-107
