Разработка Упражнений для организации итогового повторения в 11 классе по теме Логарифмы

Разработка

Упражнений для организации итогового повторения в 11 классе

по теме

Логарифмы.

Учитель

  СОДЕРЖАНИЕ

Введение………………………………………………………………………….3

Глава 1. Основные определения и теоремы…………………………………………………4

Глава 2. Система упражнений для организации итогового повторения по теме «Логарифмы»…………………………………………………………………………………...8

  2.1. Вычисления с использованием  определения логарифма и основных свойств логарифма……………………………………………………………………………………….8

  2.2. Свойства логарифмической функции……………………………………………..10

  2.3. Решение логарифмических уравнений и систем…………………………………12

  2.4. Решение логарифмических неравенств…………………………………………...14

Список литературы…………………………………………………………….. 15

  Введение

  Данная работа состоит из двух глав. Первая глава – это подробная теоретическая часть. Вторая глава – различные упражнения, которые позволят провести уроки обобщающего повторения по теме: «Логарифмическая функция, уравнения, неравенства и системы уравнений».

  Тема «Логарифмы» ежегодно встречается на выпускных и вступительных экзаменах, на экзамене в форме ЕГЭ. Однако в обязательной школьной программе на изучение этой темы отводится минимальное количество часов. Поэтому при решении задач на логарифмы учащиеся достаточно часто допускают ошибки.

  Упражнения, предложенные в работе, помогут обобщить и закрепить понятие логарифма числа, повторить основные свойства логарифмов, свойства логарифмической функции.

  Закрепить умения применять эти понятия при решении уравнений, неравенств и систем уравнений. И как результат, не допускать ошибок при сдаче экзаменов.

  1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ТЕОРЕМЫ

  Начнём с определения. Пусть a > 0, b > 0, a ≠ 1. Тогда есть такое число с, что . Можно записать это определение и так:

  , a > 0, b > 0, a ≠ 1.  (1.1)

  Логарифмические уравнения и неравенства, так же как показательные и тригонометрические, приводятся к простейшим с помощью формул преобразования логарифмов. Вот эти формулы:

  >0,a ≠ 1.  (1.2)

  a, b, c > 0, a≠1.  (1.3)

  a, b, c >0, a≠1.  (1.4) 

  a, b > 0, a≠1.  (1.5)

(1.6) (1.7) (1.8) (1.9) (1.10)

  Решение всех задач на логарифмы должно начинаться с нахождения ОДЗ. В процессе преобразований необходимо постоянно следить за ОДЗ и равносильностью преобразований. При решении уравнений и неравенств полезно применять следующие вариации формул (1.3) и (1.4):

    (1.11)

    (1.12)

  Рассмотрим теперь простейшие логарифмические уравнения и неравенства и эквивалентные переходы, позволяющие избавляться от логарифмов.

  (1.13)

  В частности, если а есть положительное число, не равное единице, то

  (1.14)

  Заметим, что в формулах (1.13) и (1.14) вместо неравенства  g(x)>0 можно было в каждой из систем записать неравенство h(x)>0 – это всё равно, так как g(x) = h(x); можно при желании записать в систему оба эти неравенства. Конечно же, разумней решать поменьше неравенств и, поскольку всё равно, какое из двух записать в систему, лучше взять то, которое проще.

  Покажем, как избавляться от логарифмов  в простейших неравенствах.

  (1.15)

  (1.16)

  (1.17)

  (1.18)

  Формулы  (1.15) – (1.18) строятся по одной схеме: надо рассмотреть два случая – когда основание больше единицы с сохранением неравенства и когда оно лежит между нулём и единицей с заменой его на противоположное.

  Приведу ещё несколько формул, которые заслуживают отдельного запоминания.

если a, b – числа и a>0, a≠1, то   (1.19)

если a>0, a≠1, то   (1.20)

если a>0, a≠1, то   (1.21)

если a>0, a≠1, то   (1.22)

если a>0, a≠1, то   (1.23)

  В следующей главе будут предложены задания, при решении которых необходимо знать и уметь применять изложенный выше теоретический материал.

  2. Система упражнений для организации итогового повторения по  теме «Логарифмы»

  2.1. Вычисления с использованием определения логарифма и основных свойств логарифма.

  Этот параграф содержит задания на вычисление значений логарифмов и задания, для решения которых необходимо знание свойств логарифмов (формулы логарифма произведения, частного и степени, формула перехода от одного основания логарифма к другому основанию).

ВАРИАНТ 1 Вычислить 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7).   ВАРИАНТ 1 2. Определите , если известно, что

ВАРИАНТ 2 Вычислить 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7)   ВАРИАНТ 2 2. Определите , если известно, что

  2.2. Свойства логарифмической функции.

  В этот раздел включены задания для проверки усвоения учащимися понятий «область определения», «область значения», «возрастание и убывание» применительно к логарифмической функции.

ВАРИАНТ 1 Найдите область определения функции   а)     б) Сравните числа 3.Найдите область значений   функции   если     ВАРИАНТ 1 4. Найдите наименьшее значение   функции   , если

ВАРИАНТ 2 Найдите область определения функции   а)   б) Сравните числа   3.Найдите область значений   функции   , если     ВАРИАНТ 2 4. Найдите наименьшее значение   функции   если

  2.3. Решение логарифмических уравнений и систем.

  Для выполнения заданий необходимо не только использование свойств логарифмов, но и установления области определения логарифмической функции – некоторые «решения» уравнений могут оказаться вне области определения.

ВАРИАНТ 1 Решить уравнения:   а)   б)   в)   г)   д)   е)   ж)   з)   и)   к)   ВАРИАНТ 1 2. Найдите сумму решений уравнения: Решить системы: а) б) в) г) д)

ВАРИАНТ 2 Решить уравнения:   а)   б)   в)   г)   д)   е)   ж)   з)   и)   к)   ВАРИАНТ 2   2. Найдите сумму решений   уравнения:     3. Решить системы:   а)   б)    в)   г)   д)

  2.4. Решение логарифмических неравенств.

  Для выполнения заданий этого параграфа используются свойства логарифмов, возрастание логарифмической функции (или её убывания). Кроме того, необходимо чёткое установление области определения логарифмической функции.

ВАРИАНТ 1 Решите неравенства: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8)

ВАРИАНТ 2 Решите неравенства: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8)

  Список литературы

Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк./ , , и др. Под редакцией . – М.: Просвещение, 1992. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк./ , , и др. – М.: Просвещение, 1992. Башмаков и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк. – М.: Просвещение, 1991. и др. Алгебра и математический анализ для 11 класса: Учеб. пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. курса математики / , -Мусатов, . – М.: Просвещение, 1990. и др. Алгебра и математический анализ для 10 класса: Учеб. пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. курса математики / , -Мусатов, . – М.: Просвещение, 1992. и др. Экзаменационные задачи по алгебре для школьников и абитуриентов. 11 класс. – М.: Дрофа, 1996. огарифмы: система тестов. // Математика в школе № 12. – М., 1997. Ткачук – абитуриенту. – 13-е изд., исправленное и дополненное. – М.: МЦНМО, 2006.