Решение
Сначала проверим необходимый признак сходимости ряда.
Для сходимости ряда необходимо выполнение условия: 
.
Общий член данного ряда 
Преобразуем выражение для 
, разделив числитель и знаменатель на n и подведя 4/3 под общую степень.
Тогда
необходимый признак сходимости не выполнен, т. е. ряд расходится.
Ответ: ряд расходится.
Решение
Сначала проверим необходимый признак сходимости ряда.
Общий член данного ряда 
Преобразуем выражение для 
, разделив числитель и знаменатель дроби на n.
Тогда
необходимый признак сходимости выполнен.
Для сходимости ряда должен выполняться и достаточный признак сходимости.
Для исследования ряда применяем признак сходимости Коши:
Применяем признак к данному ряду:
Ответ: ряд сходится.
Решение
Здесь, очевидно, не выполняется необходимый признак сходимости 
.
Ответ: ряд расходится.
Решение
Преобразуем выражение для 
для более удобного использования признака сходимости.
Исследуем ряд: 
Для исследования ряда применяем признак сходимости Даламбера:
Применяем признак к данному ряду:
Исследуем сходимость на границах.
Левая граница
Так как члены данного знакочередующегося ряда монотонно убывают, а также выполняется условие 
, то, согласно признаку Лейбница, ряд 
сходится.
Правая граница
Для исследования ряда воспользуемся интегральным признаком Коши. Положим, что 
Дальше рассмотрим несобственный интеграл
Несобственный интеграл расходится, а значит, ряд 
также расходится.
Ответ: интервал сходимости ряда 
Решение
Используем известное разложение
Если учесть, множитель х1/2, получим разложение в ряд подынтегральной функции:
Интегрируем ряд почленно
Достаточно 4-х членов.
Ответ:
погрешность не хуже 0,0002
Решение
Общая формула ряда Фурье:
Если разложение происходит в интервале (-р, р), то коэффициенты ряда вычисляются по формулам:
Вычисляем коэффициенты для заданной функции (в интервале (-р,0) функция равна нулю)
Вычисляем интеграл по частям
Подставляем пределы интегрирования и умножаем на 1/р.
Учитываем, что 
Вычисляем интеграл по частям
Подставляем пределы интегрирования и умножаем на 1/р
Итак, получаем разложение функции в ряд Фурье:
Решение
1) Согласно определению градиента
,
- единичные векторы осей координат (орты).
Вычисляем частные производные
В точке А(3,4)
Производная по направлению вектора 
Согласно общему определению:
В точке А(3,4)
Ответ: 
Решение
Вычисляем частные производные и, приравняв их нулю, определяем критические точки.
Решаем систему уравнений: возводим обе части первого уравнения в квадрат и затем берём отношение левых и правых частей уравнения.
При этом переменная у из уравнений исключается.
Получаем четыре критические точки:
Вычисляем значения функции в критических точках
z(1,1) = 3; z(-1,1) = 3; z(-1,-1) = 3; z(1,-1) = 3;
Определяем тип критических точек, для чего вычисляем вторые производные
Вычисляем определитель 
в каждой точке.
Первая точка (1;1)
есть экстремум в этой точке и, так как А > 0, то в этой точке локальный минимум.
Определитель в других точках также положителен, так как в разных точках знак меняет только 
(без изменения абсолютного значения), а в формулу входит В2
Ответ:
функция имеет 4 одинаковых локальных минимума (значением 3) в точках:
(1;1), (-1;1), (-1;-1), (1;-1)
Решение
Сделаем чертёж области 
.
Вычисляем частные производные и, приравняв их нулю, определяем критические точки.
При решении системы уравнений используем метод исключения переменной: умножаем первое уравнение на 2 и складываем со вторым.
Получаем критическую точку:
Определяем тип критической точки, для чего вычисляем вторые производные
Вычисляем определитель 
в точке.
в точке (х0,y0) экстремум. Так как A > 0, то в этой точке локальный минимум.
Вычисляем значение функции в экстремуме
Рассмотрим поведение функции на границах области, определим критические точки на границах и значения функции в этих точках.
х = 0. z(0,y) = y2 + y;
эта функция имеет критическую точку, определяемую из уравнения:
=2y1 + 1 = 0: y1 = -1/2;
Эта точка входит в область.
y = 0. z(x,0)= x2 + x;
эта функция имеет критическую точку, определяемую из уравнения:
=2x + 1 = 0: х2 = -1/2;
Эта точка входит в область.
y = -3 - x.
эта функция имеет критическую точку, определяемую из уравнения:
Эта точка входит в область.
Вычисляем значение функции в угловых точках области.
y(0,0) = 0; y(-3,0) = 6; y(0,-3) = 6;
Сравнивая значения функции во всех критических точках на границах и в угловых точках области, делаем вывод.
Ответ:
zmax = 6 в угловых точках (-3,0), (0,-3)
zmin = -1 в точке (-1,-1) внутри области
Решение
Так как область интегрирования – квадрат, пределы интегрирования одинаковы и не являются функциями, можно изменить порядок интегрирования просто переставив dx и dy. Это позволит получить более простые интегралы.
Вычисляем сначала интеграл по х.
Теперь вычисляем второй интеграл по у.
Ответ: 
Решение
Общая формула криволинейного интеграла первого рода:
В данном случае интегрирование производится по прямой, уравнение которой составим по двум точкам.
Согласно уравнению прямой
Вычисляем интеграл
Ответ:
