Практическая работа №1

Вычисление определителей третьего, n-ного  порядка. Разложение определителя по элементам строки или столбца

Цель: сформировать умение находить определители матриц. Повторить и систематизировать знания по данной теме.

Ход практического занятия.

Теоретические сведения и методические рекомендации  по решению задач.

Определение 1. Матрицей из m строк, n столбцов называется прямоугольная таблица  чисел ; - элемент матрицы; i-номер строки; i=1,…,m; j-номер столбца, j=1,…,n; m, n – порядки матрицы. При m=n - квадратная матрица.

Определение 2. Определителем n-го порядка, соответствующим матрице , называется число .

Для вычисления определителя можно использовать элементы произвольной строки или столбца.

Свойства определителей.

При транспонировании матрицы определитель не меняется.

При перестановке любых двух строк (столбцов) определитель меняет только знак.

При умножении строки (столбца) на некоторое число определитель умножается на это число. 

Если все соответствующие элементы квадратных матриц одного порядка одинаковы, за исключением элементов одной i-ой строки, то 

.

Величина определителя не изменяется, если к элементам некоторой строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженной на некоторое число.

Определитель равен нулю, если

- все элементы некоторой строки (столбца) равны нулю.

- две строки (столбца) одинаковы.

- две строки (столбца) определителя пропорциональны.

Рассмотрим матрицу 2-го порядка:  .

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Этой матрице соответствует число, которое называется определителем (детерминантом) матрицы.

Для обозначения определителя используют символы: , .

Определение 3. Определителем 2-го порядка матрицы называется число: 

.  (1)

Например, .

Введем понятие определителя 3-го порядка. Пусть .

Определение 4 Минором элемента   матрицы называется определитель, который получается из матрицы вычеркиванием -ой строки и -ого столбца. Минор элемента  обозначается символом.

Например, для элемента матрицы минором служит определитель  .

Определение 5. Алгебраическим дополнением элемента матрицы называется его минор, умноженный на :  .

В качестве примера вычислим алгебраическое дополнение элемента матрицы

.

В нашем случае , вычеркивая 2-ую строку и 1-ый столбец, получим

,  .

Определение 6. Определителем 3-го порядка матрицы называется число

. 

Поясним это определение на примере:  , тогда

Для вычисления определителя 3-го порядка можно использовать, так называемое, «правило треугольника», а именно:

Например,

.

Определители n-ого порядка.

Введем теперь понятие определителя 4-ого порядка. Аналогично определениям минора и алгебраического дополнения элементов матрицы 3-го порядка, можно ввести эти понятия для  элементов  матрицы 4-го порядка.

,

понимая под минором () ее элемента определитель матрицы 3-го порядка, которая получается вычеркиванием из матрицы –ой строки и –ого столбца,  а  под  алгебраическим дополнением    –  произведение 

.

Определение 7. Определителем 4-ого порядка называется число 

В качестве примера вычислим определитель 4-ого порядка разложением по первой строке

Задание для практической работы:

Вариант 1.

Вариант 2.

Задание 1. Вычислить алгебраическое дополнение матрицы

элемента

элемента

Задание 2.

Вычислить:

а)  определитель по правилу треугольников;

б) определитель разложением по элементам 2-го столбца;

Задание 3. Вычислить определитель 4-го порядка .