Задача Коши для систем уравнений эллиптического типа на плоскости

УДК:  517.946

  ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА НА ПЛОСКОСТИ

Каршинский государственный университет, Узбекистан

В работе рассмотрена задача Коши для системы уравнений эллиптического типа первого порядка с постоянными коэффициентами факторизуемым оператором Гельмгольца в двухмерной ограниченной области.

Известно, что задача Коши для эллиптических уравнений некорректна: решение задачи единственно, но неустойчиво. В некорректных задачах теорема существования не доказывается, существование предполагается заданным априори. Более того, предполагается, что решение принадлежит некоторому заданному подмножеству функционального пространства, обычно компактному. Единственность решения следует из общей теоремы Холмгрена [8].  Условная устойчивость задачи следует из работы [7], если сузить класс возможных решений до компакта.

Следуя [7], семейство вектор-функций назовем регуляризованным решением задачи. Регуляризованное решение определяет устойчивый метод приближенного решения задачи. Для специальных областей задача продолжения ограниченных аналитических функций в случае, когда данные задаются точно на части границы, было рассмотрена Т. Карлеманом [2]. арлемана были продолжены и [6]. В работе [5] построено многомерный аналог формулы Карлемана для аналитических функций многих переменных. Используя идеи [3], Ш. Ярмухамедовым было построено в явном виде регуляризованное решение задачи Коши для уравнения Лапласа [4].

Система, рассматриваемая в данной работе, была введена [1]. Задача восстановления, решения системы уравнений эллиптического типа первого порядка с постоянными коэффициентами факторизуемым оператором Гельмгольца, является одной из актуальных задач теории дифференциальных уравнений [11]. 

       Пусть двумерное вещественное евклидово пространство,

. ограниченная односвязная область, граница которой состоит из отрезка и некоторой гладкой кривой , лежащей на полуплоскости , т. е. .

Введем обозначение

транспонированный вектор , ,

, диагональная матрица, .

Пусть матрица с элементами, состоящими из множества линейных функций с постоянными коэффициентами комплексной плоскости,  для которых выполняется условие: 

  , 

где эрмитово сопряженная матрица , вещественное число.

       Пусть . Рассмотрим в области систему дифференциальных уравнений

    (1)

где матрица дифференциальных операторов первого порядка.

Обозначим через класс вектор-функций в области , непрерывные на  и  удовлетворяющую  систему (1).

       Постановка задачи. Пусть и 

    (2)

Здесь, заданная непрерывная вектор-функция на .

Требуется восстановить вектор-функцию в области , исходя из её значений на .

       Если , то верна следующая интегральная формула  типа Коши

  ,  (3)

где

  ,

       Здесь единичная внешняя нормаль, проведенная в точке , поверхности , фундаментальное решение уравнения Гельмгольца, определяемое через  функцию Ханкеля первого рода[9].

Обозначим, через целую функцию, принимающую вещественные значения при вещественном (действительные числа) и удовлетворяющую условиям:

  .  (4)

Функцию при определим следующим равенством:

  ,  (5)

Здесь функция Бесселя первого рода нулевого порядка. .

В формуле (5) выбирая , получим

  ,  (6)

  Формула (2) верна, если вместе подставим функцию

  ,  (7)

где регулярное решение уравнения Гельмгольца по переменной , включая и точку .

       Тогда интегральная формула имеет вид:

  ,  (8)

где

,

       Теорема 1.  Пусть удовлетворяет неравенству

  ,  (9)

  Если  

    (10)

тогда 

  ,  (11)

Здесь, функции, зависящие от и , обозначим через  . Причем в различных неравенствах они различные.

Следствие 1. Предельное равенство

,

имеет место равномерно на каждом компакте из области

       Теорема 2. Пусть удовлетворяет условию (9), а на гладкой кривой неравенству

    (12)

где .

       Тогда верна оценка

    (13)

       Пусть и вместе на задано ее приближение , соответственно, с уклонением , .

Положим

  .  (14)

       Теорема 3. Пусть на части плоскости удовлетворяет неравенству (9).

       Тогда справедливо

    (15)

       Следствие 2. Предельное равенство

,

имеет место равномерно на каждом компакте из области .

Список литературы:

       1. Об интегральном представлении решений систем линейных дифференциальных уравнений 1-го порядка в частных производных и некоторых его приложениях // Некоторые вопросы многомерного комплексного анализа. Институт физики АН СССР, Красноярск, 1980 г. – С. 147–160.

       2. Carleman Т. Les fonctions quasi analytiques, Paris. Gautier-Villars et Cie. 1926.

       3. О задаче Коши для уравнения Лапласа // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1956. Т. 20. – С. 819–842.

       4. ункция Карлемана и задача Коши для уравнения Лапласа // Сиб. мат. журнал. 2004. – Т. 45. -№ 3. – С. 702–719.

                       5. Айзенберг Карлемана в комплексном анализе. Новосибирск. Наука. 1990. – С.116.

       6. , Крылов формула Карлемана и ее приложение к аналитическому продолжению функций // Мат. сб., 1993. – Т. 40.  № 2. – С. 144–149.

       7. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации // Докл. АН СССР. 1963. – Т. 151. –№ 3. – С. 501–504.

       8. равнения с частными производными // – М.: Мир, 1966. – 351 с.

       9. Алексидзе функции в приближенных решениях граничных задач // Наука, Москва,  1991 г. – С. 164.

       10. , Рыжик интегралов, сумм, рядов и произведений, (Наука, Москва, 1971).

       11. Задача Коши для систем уравнений эллиптического типа первого порядка с постоянными коэффициентами факторизуемым оператором Гельмгольца в ограниченной области // Труды научной международной конференции «Проблемы современной математики». Карши 22-23 апреля 2011 г. С. 123-126.