Волны Лява в трехслойном упругом полупространстве

УДК 539.3

,

Волны Лява в трехслойном упругом полупространстве

       Исследуются условия существования и дисперсионные соотношения для поверхностных акустических волн Лява, распространяющихся в трехслойном изотропном упругом полупространстве. На основе метода глобальной матрицы и метода передаточных матриц построены дисперсионные кривые для трехслойного полупространства. Показано, что в случае двух изотропных слоев и изотропного полупространства волна Лява существует, если скорость продольной волны в полупространстве превышает скорость продольной волны хотя бы в одном слое.

       1. Введение. При определенных условиях в системе, состоящей из изотропного  слоя на полупространстве, может распространяться поверхностная волна, называемая волной Лява и имеющая горизонтальную поперечную поляризацию и экспоненциально затухающая по глубине [1]. Наряду с волнами Релея, волны Лява играют важную роль в передаче сейсмической энергии и весьма часто регистрируются при сейсмической активности и взрывах. Они применяются в неразрушающей диагностике материалов и конструкций, в основном, благодаря своим дисперсионным свойствам.

       Поле перемещений, соответствующее волне Лява может быть представлено в виде

               (1.1)

где и относятся к перемещениям в слое и полупространстве  соответственно, –единичная амплитуда (вектор поляризации). Предполагается, что вектор нормален к сагиттальной плоскости (она образована вектором , задающим направление распространения волнового фронта, и единичным вектором , нормальным к свободной поверхности), – координата вдоль вектора , в дальнейшем считается, что принимает отрицательные значения в полупространстве, – волновое число; – фазовая скорость, – время. Неизвестные (комплексные) коэффициенты определяются с точностью до множителя из граничных условий на внешней плоской границе (толщина слоя):

               (1.2)

и контактных условий на поверхности раздела

               (1.3)

В уравнениях (1.1) и соответствуют комплексным корням уравнения Кристоффеля, оно будет введено позже. В условиях (1.2) и (1.3) и – четырехвалентные тензоры упругости слоя и полупространства соответственно.

       Замечание 1. В соответствии с представлением (1.1) затухание по глубине в полупространстве обеспечивается параметром Кристоффеля с отрицательной мнимой частью.

       Следующее утверждение фактически принадлежит Ляву:

       Предложение 1.

       1о.  Исследуемые волны могут возникать в изотропном слое и контактирующим с ним изотропном полупространстве в том и только том случае, когда фазовая скорость удовлетворяет условию

               (1.4)

где – скорости поперечных объемных волн в слое и полупространстве соответственно, а и соответствующие постоянные Ламе и плотности.

       2о.  Дисперсионное соотношение между фазовой скоростью и частотой может быть представлено в виде

               (1.5)

       Следствие 1.

       А. При фиксированной частоте существует конечное число волн Лява с различными фазовыми скоростями .

       Б. При фиксированной фазовой скорости существует бесконечное число волн Лява с различными частотами .

       Следствие 2. Не существует волн Лява, если .

       Было показано [2], что волны Лява могут распространяться в системе, состоящей из анизотропного слоя, контактирующего с полупространством. При этом предполагалось, что как слой, так и полупространство имеют ось упругой симметрии четвертого или шестого порядка, ориентированную вдоль вектора . Для такой системы условия распространения и дисперсионные соотношения (ДС) оказывались аналогичными (1.4) и (1.5). На основе известного подхода [2] были  получены  [3]  ДС для трансверсально изотропного слоя и полупространства.

       Для сред, состоящих из большего числа слоев, ДС для волны Лява могут быть получены численно с применением двух матричных методов, первоначально предложенных для анализа волн Лэмба. Эти подходы известны как метод передаточных матриц (ПМ-метод, иногда называемый методом Томсона–Хаскелла по имени разработчиков [4, 5]), и метод глобальной матрицы (ГМ-метод), предложенный Кнопоффом [6, 7]. ПМ-метод основан на последовательном решении контактных граничных задач на интерфейсных поверхностях и построении соответствующих передаточных матриц. Ниже этот метод будет обсуждаться более подробно. ГМ-метод основан на решении обыкновенных дифференциальных уравнений с кусочно-однородными коэффициентами, приводящим в итоге к построению специальной «глобальной» матрицы.

       С момента появления ГМ-метода считалось, что при численных реализациях он приводит к (численно) более устойчивым решениям, чем ПМ-метод. В дальнейшем предлагались разнообразные модификации ПМ - и ГМ-методов с целью сделать их более численно устойчивым (см. [8–14]). Проблема численной устойчивости становится особенно актуальной, когда слоистая среда состоит из большого числа слоев. В этом случае начинают сказываться преимущества ПМ-метода, поскольку порядок соответствующих матриц остается неизменным по отношению к числу слоев (в случае ГМ-метода порядок соответствующей матрицы линейно растет с числом слоев).

       В настоящей работе на основе предложенного ранее подхода [15-17] развивается модифицированный ПМ-метод, основанный на использовании передаточных матриц и предназначенный как для аналитического исследования волн Лява в анизотропных средах с небольшим числом слоев от одного до трех, так и для численного анализа систем, содержащих большое число упруго анизотропных слоев (до 20). Модификация этого метода [17] применялась для анализа ДС в средах с большим числом упруго анизотропных слоев.

       При моделировании очага тектонических землетрясений и исследовании сейсмических волн, приходящих на поверхность Земли, земная кора обычно представляется в виде многослойного полупространства с несколькими седиментационными слоями и, контактирующим с ними упругим полупространством [18, 19]. Поверхностные волны Релея–Лэмба и Лява, распространяющиеся в такой среде, представляют интерес в теоретической и прикладной геофизике.

       2.        Основные соотношения. Анизотропная однородная среда. Рассматривается однородная среда с произвольной упругой анизотропией, уравнения движения которой записываются в виде

               (2.1)

Тензор упругости предполагается положительно определенным:

               (2.2)

       Замечания 2.

       A. В случае изотропной упругой среды условие положительной определенности (2.2) эквивалентно условиям, наложенным на постоянные Ламе:

               (2.3)

       Б. В дальнейшем предполагается, что тензор упругости обладает осью упругой симметрии и волна Лява распространяется в направлении этой оси. Первое условие  эквивалентно наличию у тензора упругости моноклинной группы симметрии: в этом случае тензор упругости содержит 13 независимых разложимых компонент. Оба условия  обеспечивают поляризацию поверхностных усилий на фронте волны, совпадающую с поляризацией перемещений (см. [17]).

       Следуя изложенному ранее методу [17], рассмотрим более общее, чем (1.1), представление для волны Лява

               (2.4)

где – неизвестная функция, определяющая поле смещений, а – безразмерная координата.

       При учете замечания 2, Б подстановка представления (2.4) в уравнения движения (2.1) дает обыкновенное дифференциальное уравнение, называемое уравнением Кристоффеля для волны Лява:

               (2.5)

Характеристическим уравнением для уравнения (2.5) оказывается следующее алгебраическое уравнение, также называемое уравнением Кристоффеля ( – параметр Кристоффеля):

                       (2.6)

       Замечания 3.

       A. Для ортотропной упругой среды уравнение (2.6) упрощается:

               (2.7)

и его решение уравнения  принимает вид

               (2.8)

       Б. Для изотропной среды решение уравнения (2.7) принимает вид

               (2.9)

       Учитывая уравнение (2.6), общее решение уравнения (2.5) для слоя можно записать в виде

               (2.10)

Параметры Кристоффеля и – это корни характеристического полинома (2.6). Надо отметить, что при появлении жорданова блока в матрице, получающейся при сведении уравнения (2.5) к системе двух дифференциальных уравнений первого порядка, структура общего решения (2.10) меняется. Этот случай здесь не  исследуется, см. [16].

       В случае полупространства общее решение уравнения (2.5) содержит лишь экспоненциально убывающую компоненту, однако для развиваемого ниже ПМ-метода удобнее учесть обе экспоненты, так что общее решение имеет вид, аналогичный (2.10).

       Поверхностные усилия на любой плоскости имеют вид

               (2.11)

       Предложение 2. Для любой моноклинной среды напряжения поляризованы в направлении вектора .

       Доказательство вытекает из того факта, что разложимые компоненты тензора упругости моноклинной среды с плоскостью упругой симметрии, нормаль к которой совпадает с вектором , имеют четное вхождение . Например, в тензоре упругости для моноклинной среды не может присутствовать компонента (вектор встречается один раз), поскольку изменение направления вектора на противоположный при отражении относительно плоскости упругой симметрии меняет знак компоненты , а моноклинная симметрия предполагает инвариантность тензора упругости относительно отражений.

       Замечания 4.

       A. В случае ортотропной упругой среды поверхностные усилия на плоскостях принимают вид

               (2.12)

       Б. Анализ выражения (2.12) показывает, что в ортотропной гомогенной среде условием отсутствия поверхностных напряжений на плоскости  является условие обращения в нуль соответствующей производной

               (2.13)

Кроме того, применение к соотношениям (2.12) и (2.13) теоремы Штурма – Лиувилля обеспечивает отсутствие других плоскостей, кроме , свободных от поверхностных усилий.

       В. Между поверхностными SH-волнами и объемными сдвиговыми волнами, имеющими одинаковую ориентацию поля перемещений, имеется принципиальное различие в поляризации усилий. В то время как поверхностные волны (Лява или SH) имеют поляризацию усилий, определяемую выражением (2.12), в случае объемной сдвиговой волны усилия на фронте волны в ортотропной среде, определяются выражением

               (2.14)

где – вектор, задающий направление  волнового фронта. Отметим, что для объемных сдвиговых волн усилия на плоскостях с нормалью оказываются нулевыми.

       Метод глобальной матрицы. Как отмечалось ГМ-метод [6, 7] при численных реализациях представляется более устойчивым; см. также [12, 13]. Известно несколько вариантов этого метода. Для свободной пластины, состоящей из  однородных, анизотропных слоев, или анизотропного однородного полупространства, контактирующего с  слоем, матричная запись дисперсионного уравнения в наиболее общем случае, применимом для анализа как волн с горизонтальной поперечной поляризацией, так и волн Релея–Лэмба, имеет следующий вид

               (2.15)

где – шестимерные, вообще говоря, комплексные векторы, – 6x6-матрицы, определяющие поля смещений и напряжений на граничных поверхностях:

               (2.16)

Условием, определяющим ДС между частотой и скоростью, является вырождение матрицы в правой части равенства (2.15).

       Метод передаточных матриц. Дисперсионные уравнения ПМ-метода (для слоистого полупространства со свободной внешней границей) имеют вид

               (2.17)

Передаточные матрицы ,    имеют тот же смысл, что и в ГМ-методе

       3. Трехслойная изотропная среда. Рассмотрим  трехслойную среду в виде полупространства и двух поверхностных слоев состоящих из упругих изотропных материалов. Индексы 1 и 2 относятся к номеру слоя (слой 2 соприкасается с полупространством), индекс относится к полупространству. Введем систему координат , – граница полупространства, а и – граница слоев, и –  толщины слоев, т. е. . Пусть волна распространяется вдоль оси , В формуле (2.4) примем

, ,  , 

Представление (2.14) сводится к следующему:

       

и формулы (2.15) и (2.16) существенно упрощаются. Глобальная матрица и ДС принимают вид

               (3.1)

               (3.2)

               (3.3)

       Для трехслойной изотропной среды ДС, полученные ПМ-методом (2.17) после упрощений также сводятся к равенствам (3.2). Для  качественного анализа ДС (3.2) рассмотрим различные варианты соотношения между скоростями упругих волн в слоях и полупространстве. Для трехслойной среды их количество равно шести. Удобно ввести таблицу возможных интервалов скоростей в зависимости от соотношений между ними.

В комбинации IV скорость и функции для всех слоев и полупространства принимают чисто мнимые значения (3.3), гиперболические косинусы и синусы становятся тригонометрическими функциями и в ДС (3.2) явно выделяются действительная и мнимая части. Для упрощения записи верхний индекс минус у функций опускаем, тогда

               (3.4)

Для выполнения ДС (3.4) необходимо, чтобы действительная и мнимая часть обратились в нуль одновременно, что невозможно. Отсюда следует, что скорость волн Лява не может превосходить максимальную из скоростей волн в слоях и полупространстве, т. е.

                       (3.5)

Можно аналогично показать, что

                       (3.6)

Итак, в трехслойной среде скорость волн Лява не может превышать и быть меньше .

       Подобный  анализ для остальных диапазонов скоростей и вариантов соотношений между скоростями показывает, что в трехслойной среде волны Лява не запрещены  если

       

и, конечно, если

       

       В этом состоит существенное  отличие от  двухслойной среды в которой волны Лява запрещены, если на полупространстве находится более жесткий слой, т. е. слой, в котором скорость волн  Лява  превышает скорость волн в полупространстве. 

       На фигуре приведены дисперсионные кривые для нормированных  упругих модулей в трехслойной среде. Толщины слоев взяты равными , , модуль сдвига для полупространства , плотности слоев и полупространства одинаковы и предполагаются равными единице. Видно, что количество дисперсионных кривых в заданном частотным  диапазоне (0–40) уменьшается  примерно вдвое если жесткость одного из поверхностных слоев превышает жесткость полупространства (нижняя половина фигуры), по сравнению с тем случаем, когда оба поверхностных слоя имеют меньшую жесткость (верхняя половина).

       4. Заключение. Выявлено существенное различие в распространении волн Лява в двухслойной и трехслойной средах: в двухслойной среде волна Лява не существует, если скорость продольной  волны в слое больше скорости волны в полупространстве , а в трехслойной среде распространение волны Лява в этом случае возможно, если скорость продольной волны во  втором  слое меньше .

       Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 14-08-00719).

Таблица 1

Соотношения	Интервалы
I	II	III	IV
c1<c2<cS	c<c1	c1<c<c2	c2<c<cS	cS <c
c2<c1<cS	c<c2	c2<c<c1	c1<c<cS
c1<cS<c2	c<c1	c1<c<cS	cS<c<c2	c2<c
c2<cS<c1	c<c2	c2<c<cS	cS<c<c1	c1<c
cS<c1<c2	c<cS	cS<c<c1	c1<c<c2	c2<c
cS<c2<c1	c<cS	cS<c<c2	c2<c<c1	c1<c

Фигура

Литература

Love A. E. H. Some Problems of Geodynamics. Cambridge: Cambridge Univ. Press. 1911. 180 p. Dieulesaint E., Royer D. Elastic Waves in Solids. N. Y.: Wiley. 1980. 511 p. Sengupta P. R., Nath rface waves in fiber-reinforced anisotropic elastic media // Sadhana, 2001, V. 26. P. 363 – 370. Thomson W. T. Transmission of elastic waves through a stratified solid medium // J. Appl. Phys. 1950. V. 21. P. 89 – 93. Haskell N. A. Dispersion of surface waves on multilayered media // Bull. Seism. Soc. Am. 1953. V. 43. P. 17 – 34. Knopoff L. A matrix method for elastic wave problems // Bull. Seism. Soc. Am. 1964, V. 54. P. 431-438. Mal A. K., Knopoff L. A Differential equation for surface waves in layers with varying thickness // J. Math. Anal. App. 1968. V. 21. № 2. P. 431 – 441. Dunkin J. putation of modal solutions in layered elastic media at high frequencies // Bull. Seism. Soc. Am. 1965. V. 55. P. 335 – 358. Kundu T., Mal A. K. Elastic waves in a multilayered solid due to a dislocation source // Wave Motion. 1985. V. 7. P. 459 – 471. Evans R. B. The decoupling of seismic waves // Wave Motion. 1986. V. 8. № 4. P. 321–328. Wobst R. The generalized eigenvalue problem and acoustic surface wave computations // Computing. 1987. V. 39. № 1. P. 57 – 69. Castaings M., Hosten B. Delta operator technique to improve the Thomson-Haskell method stability for propagation in multilayered anisotropic absorbing plates // J. Acoust. Soc. Am. 1994. V. 95. № 4. P. 1931–1941. Lowe M. J. S. Matrix techniques for modeling ultrasonic waves in multilayered media // IEEE Trans. Ultrasonics, Ferroelectrics, and Frequency Control. 1995. V. 42, P. 525 – 542. Mallah M., Philippe L., Khater A. Numerical computations of elastic wave propagation in anisotropic thin films deposited on substrates // Comp. Mater. Sci. 1999. V. 15. № 4. P. 411 – 421. Kuznetsov S. V. “Forbidden” planes for Rayleigh waves // Quart. Appl. Math. 2002, V. 60. № 3. P. 87 – 97. Kuznetsov S. bsonic Lamb waves in anisotropic plates // Quart. Appl. Math. 2002. V. 60. № 1. P. 577 – 587. , Кузнецов акустические волны в неразрушающей диагностике слоистых сред. Чувствительность волн к вариации свойств отдельных слоев // ПММ.  2013. Т. 77.  № 1. С. 74-82. Madariaga R. Seismic source theory // In: Earthquake Seismology. V. 4. Ed. H. Kanamori.  Tretatise of Geophysics. N. Y.: Acad. Press. 2006.  P. 59 – 82. Kennet B. Seismic Wave Propagation in Stratified Media. Canberra: ANU E Press, 2009. 123 p.

e-mail: *****@***ru,  *****@***ru

A. V. Kaptsov, S. V.Kuznetsov

Love waves in А three-layered elastic HALFspace