Работа по компьютерному моделированию на тему: «Дифференциальные уравнения»

РАБОТА

по компьютерному моделированию

на тему:

«Дифференциальные уравнения»

  Выполнила

Содержание

Введение        3

§1. Понятие о дифференциальных уравнениях.        4

1.1 Задача Коши.        5

1.2 Метод Эйлера.        5

1.3 Метод Рунге-Кутта (метод 4-ого порядка).        7

§2. Технология решения дифференциальных уравнений в пакете Maple        8

§3. Технология решения дифференциальных уравнений в пакете MathCad.        10

§4. Этапы проведения вычислительного эксперимента        14

§5. Постановка задачи.        15

§6. Составление  модели  процесса. Аналитическое решение.        16

Список используемой литературы        18

Приложение        19

Maple        19

Mathcad        20

Введение

Цель данной работы – составление математической модели процесса, описанного в сюжетной задаче и разрешение соответствующего дифференциального уравнения. В качестве математической модели процесса предполагается использование дифференциального уравнения. Задачи моделирования:

классификация полученной модели; аналитическое, численное и символьное решение полученного дифференциального уравнения; построение графиков решений, найденных разными методами; оценка погрешности численного решения; анализ полученных результатов.

В качестве инструментального средства для компьютерного моделирования выбраны пакеты Mathcad и Maple. Выбор пакета Mathcad обусловлен тем, что:

математические выражения в среде Mathcad записываются в общепринятой нотации; в пакет встроен мощный математический аппарат, позволяющий решать сложные задачи и находить решение задачи Коши; пакет имеет мощные средства графического представления информации.

Выбор пакета Maple обусловлен тем, что данный пакет имеет интегрированный символьный процессор, позволяющий производить аналитические преобразования, и, в частности, получать решение задачи Коши в аналитическом виде.

§1. Понятие о дифференциальных уравнениях.

Определение 1. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимые переменные, их функции и производные (или дифференциалы) этой функции.

Определение 2. Если дифференциальное уравнение имеет одну независимую переменную, то оно называется обыкновенным дифференциальным уравнением, если же независимых переменных две или более, то такое дифференциальное уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных.

Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок производной, входящей в это уравнение.

Определение 3. Дифференциальным уравнением первого порядка называется соотношение, связывающее функцию, ее первую производную и независимую переменную, т. е. соотношение вида:

Определение 4. Дифференциальное уравнение называется уравнением с разделяющимися переменными, если его можно записать в 3виде:

Такое уравнение можно представить также в виде:

Перейдем к новым обозначениям

Получаем:

После нахождения соответствующих интегралов получается общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.

Если заданы начальные условия, то при их подстановке в общее решение находится постоянная величина С, а, соответственно, и частное решение.

1.1 Задача Коши.

Во многих задачах, которые приводятся к дифференциальным уравнениям, требуется найти решение, принимающее заданное значение при заданном значении независимой переменной. Такая задача называется начальной задачей Коши.

Задамча Кошим — одна из основных задач теории дифференциальных уравнений (обыкновенных и с частными производными); состоит в нахождении решения (интеграла) дифференциального уравнения, удовлетворяющего так называемым начальным условиям.

Задачу Коши для ОДУ первого порядка

x, t е R  (1.1)

формулируют так: найти решение x(t) уравнения (1.1), такое,

что x(t0)=x0,  (1.2)

где x0, t0 — заданные числа. Условие (1.2) называют на-

начальным условием, или условием Коши, а функцию х(t),

удовлетворяющую ОДУ (1.1) и начальному условию (1.2), —

решением задачи Коши.

Пусть х = x(t) — решение ОДУ (1.1), определенное в ин-

интервале (t0 — д, t0 + д), д > 0. Интегральной кривой ОДУ (1.1)

будет график функции х = x(t). Можно, следовательно, задачу

Коши сформулировать так: найти интегральную кривую ОДУ

(1.1), проходящую через заданную точку (t0, x0).

1.2 Метод Эйлера.

Дано .

Пусть требуется найти решение задачи Коши (1), (2) на замкнутом интервале [x0, X]. Разделим этот интервал на n равных частей точками  , причем

 

применим метод Эйлера.

Выберем произвольный отрезок и проинтегрируем дифференциальное уравнение на этом отрезке.

Погрешность будет определяться следующей формулой:

,

где - решение с шагом h/2, - точное решение, - найденное решение.

1.3 Метод Рунге-Кутта (метод 4-ого порядка).

Метод Рунге–Кутта часто применяется для решения дифференциальных уравнений и систем уравнений из-за его высокой точности. Отличительная особенность метода – уточнение наклона интегральной кривой за счет вычисления производной не только в начале текущего отрезка интегрирования, но и, например, в середине отрезка (для двучленных схем Рунге–Кутта) или четырехкратное вычисление производных в методе четвертого порядка.

Рассмотрим задачу Коши

[a, b]

  где h — величина шага сетки по x

Тогда приближенное значение в последующих точках вычисляется по итерационной формуле:

,

где 

Погрешность будет оцениваться следующим равенством:

§2. Технология решения дифференциальных уравнений в пакете Maple.

Аналитическое (символьное) решение ОДУ.

Maple позволяет решать дифференциальные уравнения как аналитически, так и численно. Для решения ОДУ предназначена функция  dsolve (deqn, var, opt), где deqn – одно дифференциальное уравнение n-го порядка или система дифференциальных уравнений первого порядка (заданная в виде множества), var – переменная или переменные, относительно которых ищется решение, opt – необязательный аргумент, в котором можно указать вид представления решения.

Общее решение дифференциального уравнения зависит от произвольных постоянных, которые обозначаются как _С1, _С2,… _СN.

Решение задачи Коши в Maple.

Производные в начальных условиях задачи Коши записываются с помощью дифференциального оператора D, например, вторая производная y в точке ноль задается как D(D(y))(0) или (D@@2)(y)(0).

При решении задачи Коши (краевой задачи) выражение deqn должно иметь структуру множества, т. е неупорядоченный набор данных, перечисленных через запятую и заключенных в фигурные скобки, и содержать помимо уравнения начальные условия (краевые условия).

Графическое представление решения ОДУ.

Для графического представления результатов решения дифференциальных уравнений используем функцию:

Plot(f(x), x=x_min..x_max, y=y_min..y_max, opt). Где f(x) – функция, для которой строиться график, x=x_min..x_max – диапазон изменения независимой переменной х, y=y_min..y_max – диапазон отображения графика по оси ординат, opt – набор опций, задающих стиль построения графика (толщину и цвет кривых, тип кривых, метки на них и т. д.). Последние два аргумента необязательны и могут отсутствовать.

§3. Технология решения дифференциальных уравнений в пакете MathCad.

Дифференциальные уравнения (ДУ), являясь основой математического естествознания, широко используются в качестве математических моделей реальных процессов. Многие физические и научно-технические задачи, особенно относящиеся к анализу динамических систем и к их математическому моделированию, базируются на решении ДУ и систем таких уравнений.

Одним из преимуществ компьютерного решения ДУ в системе Mathcad является возможность предоставления получаемых результатов в графическом виде, что позволяет получать наиболее полную информацию о поведении решения и исследовать его.

Рассмотрим встроенные функции Mathcad, предназначенные для решения ДУ которые использовались в данной курсовой работе. Несмотря на различные методы поиска решения, каждая из этих функций требует, чтобы были заданы, по крайней мере, следующие величины, необходимые для поиска решения:

начальные условия; набор точек, в которых нужно найти решение; само ДУ, записанное в некотором специальном виде.

Замечание: с помощью встроенных функций получаем частное решение ДУ, соответствующее заданным начальным или граничным условиям, т. е. решаем задачу Коши или краевую задачу соответственно.

Встроенные функции системы Mathcad

Функция rkfixed (y, x1,x2,N, D)

Предназначена для решения систем ОДУ в форме Коши методом Рунге-Кутта четвёртого порядка с фиксированным шагом.

Аргументы функции:

y – вектор начальных условий размерности n, где n – порядок ОДУ или число уравнений в системе(если решается система уравнений). Для ОДУ первого порядка вектор начальных условий вырождается в одну точку y0.

x1,x2 – граничные точки интервала, на котором ищется решение ДУ. Начальные условия, заданные в векторе y, - это значение решения в точке x1.

N – число точек(не считая начальной точки), в которых ищется приближённое решение. Число строк в матрице, возвращаемой функцией rkfixed, равно N+1.

D(x, y) -  вектор функция, состоящая из n элементов и содержащая первые производные  искомых функций, т. е. правые части системы ОДУ, представленных в нормальной форме форме Коши). Для ОДУ первого порядка вырождается в скалярную функцию.

В результате решения получается матрица, состоящая из n – столбцов(n – порядок ОДУ или число элементов в вектор-функции D(x, y), где первый столбец содержит точки, в которых ищется приближённое решение, оставшиеся столбцы содержат

для ОДУ 1-го порядка: значения найденного приближённого решения y(x) в соответствующих точках 1-го столбца;

§4. Этапы проведения вычислительного эксперимента

Анализ объекта исследования, построение описательной модели. Замена реального объекта его знаковой информационной моделью. Построение компьютерной модели: Mathcad (метод Рунге-Кутта)

- задаем вектор начальных условий;

- представляем данное дифференциальное уравнение в векторной форме;

2) Mathcad (метод Эйлера):

- задаем начальную точку интервала, находим шаг вычислений;

- задаем вектор начальных условий;

- задаем функцию для вычисления последующих значений;

- записываем реккурентные формулы для вычисления значений функции;

3) Maple (символьное решение)

- задаем дифференциальное уравнение.

4. Проведение расчетов на компьютере, компьютерный эксперимент.

1) Mathcad (метод Рунге-Кутта):

- применение встроенной функции rkfixed для решения дифференциального уравнения;

2) Mathcad (метод Эйлера):

- применение рекуррентных формул для нахождения решения дифференциального уравнения;

3) Maple (символьное решение)

- применение встроенной функции dsolve;

5. Анализ результатов моделирования;

6. Формулировка прогнозов и выводов.

§5. Постановка задачи.

Условие задачи

Кривая проходит через точку (1,2) и обладая тем свойством, что отношение ординаты любой ее точки к абсциссе пропорционально угловому коэффициенту касательной к этой кривой, проведенной в той же точке с коэффициентом пропорциональности К=3. Найти уравнение кривой.

Для решения задачи необходимо знать следующее:

Производная в точке x0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в этой точке. Угловой коэффициент которой выражается производной.

Исходные данные: 

y=y(x) – искомая кривая

k – коэффициент пропорциональности

k=3

Ожидаемые результаты:

График искомой кривой должен выглядеть:

Погрешность метода Эйлера не должна превосходить (-2) степени. Погрешность метода Рунге-Кутта не должна превосходить (-5) степени.

§6. Составление  модели  процесса. Аналитическое решение.

Пусть y=y(x) – искомая кривая. Так как кривая проходит через точку А(1,2), то y(1)=2. Учитывая тот факт, что тангенс угла касательной равен коэффициенту при x в уравнении касательной получим:

Получаем задачу Коши:

Решим это дифференциальное уравнение:

- общее решение.

Так как у(1)=2, то

Подставим получившееся значение в наше уравнение. Получим:

  - частное решение.

Ответ: Искомая кривая

Анализ результатов и выводы

При аналитическом решении дифференциального уравнения была получена кривая . По графикам решений и результатам подсчетов погрешности видно, что наименьшую погрешность имеет решение, которое было получено методом Рунге-Кутта. Интегральные кривые практически совпадают с графиком точного решения. Но так же результат, который был получен с помощью метода Эйлера, практически совпадает с решениями, полученными другими способами.

Список используемой литературы

Алексеева моделирование в пакете Mathcad (дифференциальные уравнения). Методические указания к курсовой работе. – С-Пб: Ленинградский государственный университет им. , 2005. Алексеева технологии в математике. Часть I. (Система Mathcad). Учебное пособие. – С-Пб: Ленинградский государственный университет им. , 2005. , Жихарева технологии в математике. Часть II. (пакет Maple). Учебное пособие. – С-Пб: Ленинградский государственный университет им. , 2007. Алексеева моделирование в пакете Maple (дифференциальные уравнения). Методические указания к курсовой работе. – С-Пб: Ленинградский государственный университет им. , 2003.   Дифференциальные уравнения. – M: Просвещение, 1989г. www. exponenta. ru

Приложение

Maple

> restart:

> eqns:=diff(y(x),x)=y(x)/(3*x);

Найдем общее решение дифференциального уравнения

> dsolve(eqns, y(x));

Решим задачу Коши  с заданными начальными условиями

> S:=dsolve({eqns, y(1)=2},y(x));

> with(plots):f:=x->2*x^(1/3); A:=plot(f(x),x=0..1):

Warning, the name changecoords has been redefined

> display(A);

Mathcad

Символьное решение:

Решим уравнение с разделяющимися переменными

Общее решение

Частное решение

Численное решение

Метод Рунге-Кутта

Точное решение

Решение с шагом h = 0.1

погрешность решения с шагом h = 0,1 -

сравнение с точным решением

Метод Эйлера

- Рекурентные формулы

Решение с шагом h=0.1

- Рекурентные формулы

Погрешность решения с шагом Н=0.1 - сравнение с точным решеним.