Коллекция олимпиадных задач
В задачах на взвешивание обычно подразумеваются весы без стрелок, на которых можно только сравнивать грузы на двух чашках. При решении задач на взвешивание нужно обратить внимание на то, что решение задачи должно содержать рассмотрение всех возможных вариантов.
Задача 1. Среди четырёх монет одна – фальшивая. Она отличается от настоящих монет весом, однако неизвестно, легче она или тяжелее настоящих. Масса настоящей 5г. Имеется одна гиря массой 5г. Как при помощи двух взвешиваний на чашечных весах обнаружить фальшивую монету и определить, легче она или тяжелее настоящих
Первое взвешивание. На одну чашку весов кладём монеты 1 и 2, на другую – монеты 3 и гирю. Возможны три варианта.
А) Весы в равновесии, тогда фальшивая монета 4, и вторым взвешиванием можно определить, легче она или тяжелее настоящей, например, сравнив её с гирей.
Б) Чашка с гирей тяжелее, тогда фальшивая монета на весах, причём если это монета 3, то она тяжелее настоящей, а если это монета 1 или монета 2, то она легче настоящей. При втором взвешивании мы на одну чашку весов кладём монету 1 и монету 3, а на вторую – монету 4 и гирю.
Если они равны, то монеты 1 и 3 настоящие и, значит, фальшивая монета 2 и она легче настоящих.
Если монеты 1 и 3 легче, то фальшивая монета 1 и она легче настоящих.
Если монеты 1 и 3 тяжелее, то фальшивая монета 3 и она тяжелее настоящих.
В) Чашка с гирей легче, тогда фальшивая монета на весах, причём если это монета 3, то она легче настоящей, а если это монета 1 или монета 2, то она тяжелее настоящей. При втором взвешивании мы на одну чашку весов кладём монеты 1 и 3, а на вторую – монету 4 и гирю.
Если они равны, то монеты 1 и 3 настоящие и значит, фальшивая монета 2 и она тяжелее настоящих.
Если монеты 1 и 3 легче, то фальшивая монета 3 и она легче настоящих.
Если монеты 1 и 3 тяжелее, то фальшивая монета 1 и она тяжелее настоящих.
Задача 2. На столе в ряд лежат четыре монеты. Среди них обязательно есть как настоящие, так и фальшивые (которые легче настоящих). Известно, что любая настоящая монета лежит левее любой фальшивой. Как за одно взвешивание на чашечных весах без гирь определить тип каждой монеты, лежащей на столе?
Пронумеруем монеты слева направо. Так как среди монет есть обязательно настоящая (Н) и фальшивая (Ф), то первая монета настоящая, а четвертая – фальшивая. Необходимо определить вид второй и третьей монет. Настоящие монеты лежат левее фальшивых, значит, возможны следующие случаи: 1) Н, Н, Н, Ф; 2) Н, Н, Ф, Ф; 3) Н, Ф, Ф, Ф. Положим на левую чашу весов первую и четвертую монеты, а на правую чашу весов – вторую и третью монеты.
Если правая чаша перевесила, то на ней лежат только настоящие монеты, т. е. вторая и третья монеты – настоящие. Если весы находятся в равновесии, то на каждой чаше лежат настоящая и фальшивая монеты, т. е. вторая монета – настоящая, а третья – фальшивая. Если левая чаша перевесила, то на правой чаше лежат только фальшивые монеты, т. е. вторая и третья монеты – фальшивые. Из двенадцати монет одна фальшивая. Известно, что она отличается по весу от настоящих монет. Как найти её при помощи не более четырёх взвешиваний на чашечных весах?Разобьём монеты на четыре кучки, каждая по 3 монеты, и определим, в какой из них фальшивая монета. Положим первые две из них на чашки весов. Возможны два случая.
Если весы не в равновесии, то фальшивая монета находится в одной из этих кучек. Снимем более лёгкую кучку и на её место положим третью кучку. Если весы будут в равновесии, то фальшивая монета в кучке, снятой с весов. Если весы не будут в равновесии, то фальшивая монета – в более тяжёлой кучке. Если весы в равновесии, то надо снять любую кучку и на её место положить третью кучку. Если весы опять не в равновесии, то фальшивая монета – в третьей кучке, т. е. в кучке, которую положили на чашку весов взамен снятой.Таким образом, двумя взвешиваниями определяются 3 монеты, среди которых одна фальшивая. Затем не более двумя взвешиваниями определяется, какая из них фальшивая.
Имеются 10 мешков монет. Известно, что в одном из них монеты фальшивые. Настоящая монета весит 10 граммов, а фальшивая 9 граммов. Как при помощи одного взвешивания на весах с делениями определить мешок с фальшивыми монетами?Пронумеруем мешки числами от 1 до 10 и возьмём из каждого столько монет, каков его номер. Если все монеты настоящие, то они должны весить 
.
Если мешок с фальшивыми монетами имеет номер n 
, то взятые из мешков монеты весят на n граммов меньше, чем в случае, когда все монеты настоящие. Поэтому номер мешка с фальшивыми монетами равен разности между числом 550 и весом взятых монет.
