Министерство образования и науки Российской Федерации КАЗАНСКИЙ (ПРИВОЛЖСКИЙ) ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИНСТИТУТ МЕХАНИКИ И МАТЕМАТИКИ
КАФЕДРА ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
Специальность: 010800.62-механика и математическое моделирование
ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА
(Бакалаврская работа)
НАЗВАНИЕ РАБОТЫ
Исследование устойчивости колебаний маятника на упругой нити
Работа завершена:
"___"________2015 г. _________________________________()
Работа допущена к защите:
Научный руководитель
к. ф.-м. н.,доцент
"___"___________2015 г. ______________________________( )
Заведующего кафедрой
"___"___________2015 г. ______________________________()
Казань 2015
Содержание
Введение…………………………………………………………………………3
Постановка задачи…………………………………………………………........4
Поведение осциллятора, описываемого уравнением Матье…………………6
Заключение………………………………………………………………………8
Литература………………………………………………………………………9
Приложение……………………………………………………………………..10
Введение.
Под колебаниями понимают изменения параметров состояния системы, происходящие более или менее регулярно во времени. Колебания наблюдаются всюду в природе и во всех областях техники.
Положение какой-либо колеблющейся системы определяется обобщенной координатой, характерной для каждой системы, например углом, давлением, температурой, электрическим напряжением, скоростью и т. д.
Использование современных конструкций эксплуатируются при повышенных скоростях и нагрузках. Учет напряженного деформированного состояния необходимо производить с исследованием явления устойчивости и нелинейности.
В работе на примере элементарной упругой системы показана необходимость учитывать влияние на устойчивость движения параметров системы. Исследуется влияние геометрических и механических параметров маятника упругой нити, на переход энергии продольных колебаний на поперечные.
1. Постановка задачи
Составим уравнения кинетической и потенциальной энергии.
Рис.1. маятник на упругой нити
Составим уравнения кинетической и потенциальной энергии.
Где 
- длина нити, 
- масса маятника, 
- угол отклонения.
(1)
(2)
Используем эти выражения и уравнения Лагранжа второго рода.
Уравнения движения составим, учитывая, что тело совершает сложное движение.
m
-
-
(3) 
Введем замену 
;
; 
; 
Тогда система (3) примет вид ( невозмущенное уравнение)
(4) 
В левой части линейное уравнение, в правой части нелинейные слагаемые.
Общее решение этой нелинейной системы уравнения неизвестно.
Найдем частное решение, для которого : 
В этом случае вертикальное колебание будет записано
) (5)
Где, X - амплитуда,
начальная фаза.
Это первое главное колебание. Второе главное колебание при 
. Тогда отбрасывая все члены выше второго порядка, вместо системы (3) имеем систему линейных уравнений.
Чтобы объяснить взаимовлияние колебаний по X и 
, рассмотрим близкие к первому основному колебанию.
(6)
Причем отклонения ( возмущения) 
- бесконечно малые величины.
Подставляя (6) в ( невозмущенное уравнение) получим уравнение для возмущенного движения
(7)
(8)
(7),(8) не связаны между собой, но в силу (8) 
связано с 
. Уравнение (8) совпадает с
(9)
(10)
Оба коэффициента имеют одинаковую круговую частоту 
Замена переменного 
(11)
Преобразуется к виду 
(12)
Уравнение Хилла.
Функция 
является периодической с периодом 
.
Из теории уравнений Хилла известно, что если между собственной частотой осциллятора 
и частотой изменения 
существуют определенные отношения, то могут появляться области неустойчивого решения.
2.Поведение осциллятора, описываемого уравнением Матье.
Характеристические показатели уравнения Матье, определяют устойчивость или не устойчивость его решения, зависят исключительно от величин 
и не зависят от начальных условий.
Рис.2. Диаграмма устойчивости для дифференциального уравнения Матье.
Выделенные штриховкой области неустойчивости и не заштрихованные области устойчивости отделяются одна от другой граничной линией, точки которой соответствуют периодическому решению.
В данном случае возможны неустойчивые решения в окрестности частот 
Приближенно можно использовать, полученные для уравнения Матье, области устойчивости. Положим 
: Уравнение Хилла примет вид
Область неустойчивости возникает при n=1, т. е
Проведем численный эксперимент. Систему ( невозмущенных уравнений) (3) Запрограммируем. По 
даны начальные условия 
; 
По 
даны возмущения начальных условий 
; 
Место для формулы.
При 
происходит неустойчивое движение, т. е.переход энергии продольных колебаний в энергию поперечных колебаний и возможно возрастание амплитуды поперечных колебаний.
Заключение
Аналитическое исследование устойчивости сводит исследование решений уравнений к исследованию уравнений типа Матье, Хилла. К таким значениям приводит и аналитический и численный подход решения данной задачи.
При взаимовлиянии разных форм колебаний необходимо учитывать взаимовлияние и исследовать на устойчивость движения.
В рассмотренном примере решение сводилось к исследованию уравнения Матье - Хилла.
Области устойчивости определены аналитически с помощью диаграммы Стретта и численно. Оба подхода дают одинаковый результат.
Литература
олебания : Введение и исследование колебательных систем. Пер. с нем. – М.: Мир, 1982.- 304 с. Актуальные проблемы естественных и гуманитарных наук. В 2-х частях. Часть II // Материалы Международной научно-практической конференции.- Казань: Изд-во «ТАИ»,2013.-228 стр.приложение
g = 9.8;
l = 30;
m = 15;
k = 1;
c = k*g*m/l;
solution -
NDSolve[{(1 + z[t])*p''[t] + 2*z'[t]*p'[t] + (g/l)*Sin[p[t]] == 0,
z''[t] - (1 + z[t])*(z'[t])^2 + (c/m)*
z[t] + (g/l)*(1 - Cos[p[t]]) == 0, p[0] == 0.000000000000000001,
p'[0] == 0, z[0] == 0}, {p, z}, {t, 0, 100}, Method -> "Adams"]
solution - |
