Методическая разработка «К вопросу об изучении отрицательных чисел»

Методическая разработка «К вопросу об изучении отрицательных чисел»

I. Введение

На самых ранних этапах развития люди знали только натуральные числа. Но ими нельзя было обойтись даже в самых простых случаях жизни. Действительно, одно натуральное число невозможно в общем случае разделить на другое, если пользоваться только натуральными числами. Например 3 разделить на 4, 5 на 12 и т. д. Возникла необходимость ввести дробные числа.

Но после введения дробей осталось невозможным вычитание из меньшего числа большего. Однако в повседневной жизни и не представляется необходимым производить подобное вычитание,  и поэтому очень долгое время оно считалось не только невозможным, но и совершенно бессмысленным.

Для учащихся, наверное, едва ли не самым темным местом в алгебре является учение о действиях с отрицательными числами. Для них темными остаются 2 вопроса: 1) Зачем нужны отрицательные числа. 2) Почему над ними совершаются действия по тем  правилам, а не по иным? В частности, очень плохо понимается почему при умножении или делении отрицательного числа на отрицательное, получается положительное.

Все эти вопросы возникают потому, что с отрицательными числами учащихся знакомят до того, как они начали решать уравнения. Между тем лишь в связи с решением уравнений выясняется ответ на оба поставленных вопроса. Исторически отрицательные числа возникли именно в этой связи. Не будь уравнений, не было бы нужды и в отрицательных числах.

Например решая уравнение  7х – 5 = 10х – 11 мы можем собрать неизвестное в правую часть, а известные в левую. Получили:

11-5 = 10х – 7х

6 = 3х

х = 2

Но если перенести неизвестные влево, а известные – вправо, то получим

  7х – 10х = 5 – 11

Не вводя отрицательных чисел мы не можем выполнить действия. Между тем не всегда видно /особенно если членов много/, в какую сторону нужно переносить неизвестные члены, чтобы такого положения не создавалось. Для рационализации вычислительного процесса и были введены отрицательные числа. Тогда обозначив  5 – 11 как – 6, а 7х – 10х как – 3,

  получим  - 3х = - 6

  х = - 6 : ( - 3)

  х = 2 т. к. ответ должен быть таким, если решать уравнение первым способом.

Таким примерно образом и были введены отрицательные числа и правила действий над ними.

И теперь на два поставленных вопроса можно ответить следующим образом:

отрицательные числа вводятся затем, чтобы устранить ряд трудностей, возникших при решении уравнений; правила действий над отрицательными числами вытекают из необходимости согласовать результаты, полученные с помощью отрицательных чисел, с теми результатами, которые могли бы быть получены и без них.

Естественно что то или иное понятие не всегда целесообразно изучать в школе соответственно историческому процессу введения этого понятия. Вот и изучение отрицательных чисел начинается до того как возникает необходимость их введения. Это связано с психологическими особенностями возраста учащихся, а отрицательные числа придумали ученые, имеющие высокую математическую подготовку.

Итак, изучение отрицательных чисел остается одним из самых сложных и важных вопросов программы математики 5-6 классов.

Овладение знаниями и умениями по выполнению действий над положительными и отрицательными числами являются такими же базовыми, как знания и навыки вычисления натуральных чисел, которыми должен овладеть каждый ученик начальных классов. Без этого невозможно дальнейшее продвижение учащихся вперед – овладение умением решать уравнения, выполнять действия над одночленами и многочленами и т. д.

Сложность этой темы для учащихся заключается в следующем:

Отрицательные числа изучаются после обыкновенных и десятичных дробей. Такой же схемы придерживается и учебник и др. При таком порядке изучения усвоение правил нахождения знака результата осложняется наличием различных алгоритмов выполнения действий с модулями; В отличие от натуральных чисел и дробей изучение отрицательных чисел не опирается на предшествующий опыт предметной деятельности, подводящий учащихся к пониманию правил действия с этими числами. Изучение действий с отрицательными числами обычно совмещается с приобретением учащимися недостающего опыта, то есть собственно изучение действий с числами и их пропедевтика неразличимы в общей канве изложения.

Поэтому целью и задачей моей работы являлось желание сделать так, чтобы овладение данной темой сопрягалось с меньшими проблемами и трудностями для учащихся, чтобы изучение ее не носило рецептурный характер, а было осознанным.

II. Обзор литературы

Литературы по этой теме встретилось немного. В основном это исторические справки, сборники задач и  единственное методическое  пособие для учигода издания.

В справочнике по элементарной математике напечатан интересный материал об истории введения отрицательных чисел и действий над ними. Еще в 7 веке до н. э. ученые Индии узаконили действие вычитания из меньшего числа большего. А китайские ученые сделали это еще раньше. Индийцы толковали его с точки зрения торговых расчетов. Долг соответствовал отрицательному числу (причем над числом ставилась точка), а прибыль – положительному. Однако же, при этом, всегда выполнялось вычитание из большего меньшего, независимо от того, что было больше – долга или прибыли. А правил действия над отрицательными числами такое толкование не могло объяснить. Правила же действий с отрицательными числами возникали, как уже сказано выше, при необходимости решать уравнения.

Таким образом, введение отрицательных чисел привело к рационализации вычислительного процесса. Правила действий над отрицательными числами явились результатом внедрения этого рационализаторского приема в вычислительную технику.

Многолетние и многообразные испытания показали, что этот прием обладает огромной эффективностью и находит применение во всех  областях науки и техники.

В статье (МШ № 3 1991г.), где автор говорит о том, что при изучении сложения и вычитания преобладает опора на порядковый аспект числа (шкала термометра, координатная ось) и это затрудняет переход к действиям, встретилась ссылка на книгу «Отрицательные числа в курсе алгебры» (1947г.). Он писал, что числовые отметки на шкале температуры, так же как и номера домов на улице имеют порядковый смысл, и нельзя о температуре +3є сказать, что она состоит из температуры в 2є и температуры 1є. Аналогично обстоит дело и с нумерацией точек на координатной прямой. Этим лишь устанавливается положение каждой точки относительно выбранного начала. Но сложение таких порядковых отметок отвечает никакой допускающей прямое истолкование операции над точками. В отличие от этого имущество «+3 руб.» можно считать «состоящим» из +2р. и +1 р. и, так же из наличности 5р. и 2 р. долга.

Итак, при иллюстрации сложения на оси, мы переходим, по мнению , к сложению «разнородных слагаемых» - «отметки» и «изменения», т. е. смешиваем порядковый и количественный аспекты понимания чисел. А рассмотрение примера на + 2 и –3 требует постоянного внутреннего перевода: повышение на 2 и  понижения на 3.

Конечно, с этим трудно не согласиться, но однако некоторых проблем и тут можно избежать, если постоянно напоминать учащимся, что координаты – не просто точка, а точка которая показывает количество одинаковых отрезков, отложенных от начала отсчета, причем точка с координатой +3 показывает, что 3 отрезка откладывались вправо (или вверх), а –3, что отрезки откладывались влево (или вниз). Тогда температуру 3є можно рассматривать как последовательный подъем температуры от начала отсчета сначала на 1є вверх, а затем еще на 2є вверх и т. д.

Остальная литература – это различные дидактические материалы, сборники задач, занимательные задачи и др., что позволяет подобрать для урока дополнительные задания.

III

Как же упростить для учащихся изучение отрицательных чисел. Прежде всего, было бы желательно выделить изучение целых чисел отдельным вопросом, что позволило бы учащимся усваивать новые правила действий в более простой ситуации с целыми модулями.

Изучение действий с отрицательными числами должна предшествовать пропедевтическая работа, которая может дать учащимся необходимый опыт, подводящий их к пониманию соответствующих правил.

Например: можно начать с изучения действий с количествами выигрышных и проигрышных очков. Нам потребуются игральные кости – кубики с нанесенными на их гранях обозначениями чисел от 1 до 6. Кубики лучше взять красного и синего цвета (ассоциация по цвету – тепло и холодно). Этими кубиками можно воспользоваться только на первом уроке. От них легко можно перейти к изображению граней, которые можно сделать из цветной бумаги. Такие же кубики можно сделать из цветной бумаги. Такие же кубики можно сделать и учащимся. Тогда можно проводить устный счет с обратной связью.

Далее будут приведены задания для учащихся. Весь материал разбит на 4 урока. Работать с ним лучше начать примерно за неделю до перехода к изучению отрицательных чисел. Какие-то задания можно выполнить устно, что-то можно записать в тетрадь. Задания на дом может быть таким: придумать и записать 5-6 примеров по соответствующей теме урока (можно сделать и рисунки).

Особое внимание при этом следует уделить имеющимся возможностям обучения записи действий с отрицательными числами, чему способствует определенный смысл, приписываемый знаку числа и теряющийся при его опускании.

Имеется так же возможность готовить учащихся к усвоению будущих правил действий с отрицательными числами – для этого нужно получаемые выводы формулировать близко к тексту соответствующих правил учебника.

Конечно, этот материал можно распределить иначе – использовать нижеследующие задания в качестве устного счета на уроках, предшествующих рассматриваемой теме. Но, тогда, начинать с ним работать нужно не за неделю до изучения отрицательных чисел, а, как минимум, за три недели.

Задание к 1  уроку

В конце телевизионной программы «Время» всегда передают прогноз погоды на завтра. Диктор может сказать: «Завтра в Москве 6° мороза, а в Ленинграде 4° тепла». В это время на экране появится надпись:

В Москве. . . . . . - 6°

В Ленинграде.  . +4°

Знак «+», стоящий перед числом градусов, означает тепло, знак « -  » - холод. Эти знаки можно использовать для обозначения и других противоположных состояний: наличия и долга, выигрыша и проигрыша и т. п. Например, вместо записи «есть» в наличии 5 рублей» или «есть 3 рубля долга» можно написать кратко: + 5 руб. или – 3 руб. В наших опытах знак «+» будет обозначать выигрыш, а знак «-» - проигрыш. Белый кубик будет показывать выигрышное число очков, черный кубик – проигрышное число очков. На рис. 1 показаны квадраты, изображающие верхние грани кубиков.

Они показывают выигрыш в 2 очка и проигрыш в 3 очка. Каждое число очков мы будем записывать с соответствующим знаком : + 2 и – 3.

Используя знаки «+» и «-», запишите число очков для каждого случая (рис.2).

Что обозначают знаки «+» и «-»?

Алеша и Боря играют в такую игру: они бросают по очереди два раза белый кубик и один раз черный и т. д. После каждого броска играющий сдвигает свою фишку на соответствующее число делений вправо, если выпадает выигрыш, и влево, если выпадает проигрыш. Начальное положение фишек и результаты первых трех бросков показаны на рис. 3
В какой точке на координатном луче окажется фишка каждого мальчика после первых трех бросков? Кто из мальчиков сможет победить после четвертого броска (поставить свою фишку в точку 10) и при каком условии? Бросили два белых кубика, выпало + 3 и + 4 очка (рис. 4).

Всего + 7 очков. Будем записывать сумму очков так: (+3) + (+4) = +7 и читать так: «плюс 3 да плюс 4 получится плюс 7». Запишите сумму очков для каждого случая, изображенного на рисунке 5. Прочитайте свои записи.

С двумя белыми кубиками выполнили несколько опытов. Найдите в каждом случае получившуюся сумму очков: а) (+1) + (+2); б) (+3) + (+6);  в) (+4) + (+1). Аналогично можно провести опыты с черными кубиками. Для каждого случая, изображенного на рис. 6 определите сумму очков и прочтите ее.

Например, (- 5 ) + ( - 1 ) = - 6; «минус 5 да минус 1 получится минус 6».

С двумя черными кубиками  выполнили несколько опытов. Для каждого случая найдите сумму очков: а) (- 3) + (- 2); б) (- 4) + (- 1);  в) (- 2) + (- 6). На доске были записаны результаты нескольких опытов. На перемене учитель стер часть записей. Восстановите записи:

  а) (+ 5) + (+6) =  б) (- 5) + (- 3) =  ;

  в) ( +4) + (  ) = + 5;  г) ( - 3 ) + (  ) =  - 5;

  д) (  ) + ( +2) = +3;  е) (  ) + ( - 6 ) = - 11.

В этом задании восстановить записи полностью не удается, но определить записи суммы можно. Вспомните, что обозначает знак плюс или минус,  и определите знак результата. Сделайте вывод:

а) ( +) + (+) =  ;  б) ( - ) + ( - ) =  .

Выигрыш да выигрыш – получится …

Проигрыш да проигрыш – получится…

Задание к уроку 2.

Бросили два кубика разных цветов. Выпало +3 и – 5 очков (рис.7)

Очевидно, что сумма очков равна – 2, так как проигрышных очков на 2 больше, чем выигрышных. Сумму очков будем записывать так:(+3) + (- 5)=-2 и читать так: «плюс 3 да минус 5 получится минус 2». Запишите сумму для каждого случая (рис.8) и прочитайте полученный результат.

Может оказаться, что на двух разноцветных кубиках выпало одинаковое число очков. Тогда сумма будет равна нулю. Найдите сумму очков в каждом случае ( рис. 9).
Сколько всего возможно случаев, при которых сумма равна нулю, в опытах с двумя разноцветными кубиками? Для числа очков + 3 есть противоположное число очков – 3. Назовите число очков, противоположное для + 5, - 4 , + 1, - 2 очков. Восстановите стертые записи:

а) (- 4) + ( + 4) =  ;  б) ( - 4 ) + (+ 5) =  ;

в) (  ) + (+ 3) = - 2  ;  г) ( - 5 ) + (  ) = - 9  ;

д) (+ 6) + (  ) = + 11;  е) ( - 3) =  (  ) = 0  ;

ж) (  ) +  ( - 6) = - 4;  з)  (  ) + ( +2) = 0.

Подберите такое число очков, которое в сумме с – 2 очками даст: а) 0 очков; б) выигрышное число очков; в) проигрышное число очков. Сколько решений имеет задача в каждом случае? Сформулируйте выводы:

Если выигрышных и проигрышных очков поровну, то получится ………

Если выигрышных очков больше, то получится ……………………………

Если проигрышных очков больше, то получится ……………………………

Задание к уроку  3

Рассмотрите примеры и ответьте на вопрос: верно ли, что сумма очков для любых двух кубиков не зависит от порядка слагаемых? Сумму + 3 очка можно образовать двумя выигрышными кубиками одним способом: +3 = (+1) + (+2). Перестановка тех же кубиков не считается новым решением задачи. Сколькими способами можно двумя выигрышными кубиками образовать сумму: а) +4; б) +7; в) +8; г) +6; д)+9; е) +12 очков? Сколькими способами двумя проигрышными кубиками можно составить сумму: а) – 2; б) – 5; в) – 10; г) – 3; д) – 11 очков? Сколькими способами двумя разноцветными кубиками можно составить сумму: а) +5; б) –1; в) +4; г) –2; д) +3? Бросили три выигрышных кубика. К сумме очков первых двух кубиков прибавили число очков третьего кубика. Потом к числу очков первого кубика прибавили сумму очков второго и третьего кубиков. Получатся ли одинаковые результаты? Выполняется ли это свойство для трех кубиков черного цвета? А для трех кубиков разного цвета? Вычислите сумму наиболее простым способом: а) (+3) + (-4); б) (-3) +(+5) + (+3).

Задание к уроку 4

На рис. 10 показаны два кубика с суммой очков +8.

Если один из кубиков убрать, то оставшееся число будет разностью первоначальной суммы и числа очков убранного кубика. Если убранный кубик вернуть на место, то сумма очков станет прежней. Вычитание очков будем записывать так: (+8) – (+2) = +6.

Выполните вычитание по рис. 11: а) (+7) – (+2); в) (+10) – (-6);  д)(+7)  - (+1); б) (+7) – (+5); г) (+10) – (+4); е) (+7) – (+6).

23. Запишите по два примера на вычитание для каждого случая (рис. 12). 

Найдите разность, сделайте проверку сложением.

24. Выполните вычитание: а) (+6) – (+1); б) (-9) – (-4); в) (-1) – (+3); г) (+2) – (- 3).

25. По рис. 13 убедитесь, что вычитание из некоторой суммы +2 очков можно заменить прибавлением к этой сумме – 2 очков.

26. Убедитесь на других примерах в верности правила:

Чтобы из одного числа очков вычесть другое, можно уменьшаемому прибавить число очков, противоположное вычитаемому.

27. С помощью сформулированного выше правила замените вычитание сложением: а) (+1) – (+5) = (+1) + (-5); б) (+3) – (-3); в) (-4) – (-6).

Выполните действия: а) (+5)  (+1); б) (+6) – (+5); в) (+2) – (+5); г) (-6)+ +(+1); д) (-4) – (+2); е) (+1) – (-3); ж) (-5) + (-4); з) (-4) – (-5).

29. Найдите сумму одинаковых слагаемых: а) (-3) + (-3) + (-3) + (-3);  б) (+2)+ (+2) + (+2) + (+2)+ (+2);  в) (+6) + (+6) + (+6) + (+6) + (+6) +(+6);  г) (-5) + (-5) + (-5).

30. Определите число одинаковых слагаемых: а) (+4) + (+4) + …+ (+4)=+24; б) (-3)+(-3)+ …+(-3) = - 27; в) (+6) + (+6) + …+(+6)= +42;  г) (-5)+  +(-5)+…+(-5)= - 35.

31. Определите, какие одинаковые слагаемые сложили: а) (  ) + (  ) + (  ) =  = +15; б) (  ) + (  ) +  (  ) +  (  ) =\ -16; в) (  ) +  (  )+ (  )+  (  ) = +24; в) (  ) + (  )+  +(  ) = -18.

Несколько замечаний в порядке комментария.

Многие задания для кратности сокращены. Подобные им нетрудно предложить учащимся, если в этом будет необходимость. Задание 2 лучше дать в игровой форме, называя (показывая) результаты бросков и перемещений после каждого хода фишки вдоль оси. Объяснение вычитания, а также  задание 25 будут лучше восприниматься не по статичной картинке, а в подвижной демонстрации. Цель первого урока – создать устойчивую ассоциативную связь: красный цвет – выигрыш, синий цвет – проигрыш, а также научить детей находить сумму очков для кубиков одного цвета. Цель второго урока – научить находить сумму очков для кубиков разного цвета; заданием на восстановление записи готовить к пониманию вычитания. Цель третьего урока – установить опытным путем переместительность и сочетательность сложения. Цель четвертого урока – обучить вычитанию и переходу от вычитания к сложению, а также подготовить к изучению умножения и деления. На этапе пропедевтики не следует опускать знак «+» и скобки. Лишь после введения понятия «отрицательные и положительные числа» и отождествления, например +3 и 3 в записи действий, знак «+» и скобки можно опускать в порядке упрощения записи. Следует обратить внимание на обучение вычитанию до перехода к сложению. Было бы полезным, чтобы на основе полученного опыта учащиеся, там, где это удобно, выполняли вычитание без перехода к сложению. Например: (-8) – (- 3) = - 5.

Урок 1

«Координаты на прямой»

Цель: познакомиться с отрицательными числами, координатной прямой,

  координатами точек на прямой, установить связь с прошлым опытом, привлечь учащихся к установлению этих связей, научиться находить точки на координатной прямой по их координатам.

Анализ к/р ( 10 мин)

учащиеся сами называют свои ошибки по каждому заданию, анализируют их, выясняют пути исправления. Работа над ошибками.

Начиная с сегодняшнего урока, мы будем изучать новый и немного необычный раздел математики «Положительные и отрицательные числа». Начнем изучение этого раздела со следующей темы: «Координаты на прямой».

Есть ли что либо знакомое в названии этой темы? (Прямая, координаты) Где вы встречались с понятием «координаты»? ( В 5 кл. мы изучали числовые лучи) Что вы знаете о числовом луче? (Это луч, где от его начала откладывают последовательно единичные отрезки) Что называются координатами точек на числовом луче? (Числа, соответствующие количеству отложенных единичных отрезков) Где вы встречались с такими лучами? (На линейке) Как называют луч с делениями на этом инструменте? (Шкала) Где можно использовать этот инструмент? (Для измерения расстояний) Итак, что же показывает каждое число на шкале? (Удаленность от начала отсчета).

Рассмотрим шкалу высот (вначале нижняя часть шкалы закрыта)

О - уровень моря (начало отсчета)

Что показывают числа? (Высоту гор)

Но ведь есть на земле такие места, которые лежат ниже уровня моря. Вспомните географию. Кто скажет о каких местах я говорю? (Дно морей, океанов и т. д.)

- Т. е. мы говорим о глубине. Как вы думаете, можно ли глубину изобразить на этой же шкале? (да, но вниз от нулевой отметки)

(Открывается нижняя часть рисунка).

А теперь представьте себе, что на шкале отмечено число 5, т. е. речь идет о 5 км., но о глубине или высоте? (если выше нуля – высота, ниже – глубина). А если перед вами шкалы нет? Сможете ли вы ответить на этот вопрос? (нет) Так вот, чтобы не путаться, принято числа расположенные внизу от нуля записывать со знаком «+» перед числом (или вообще без знака) Где вы еще встречали такую шкалу? (в термометрах) Итак мы получили прямую, с выбранным началом отсчета, с единичным отрезком и числами, которые называются положительными, а если они расположены выше нуля и отрицательными, если они расположены ниже нуля.  Если такую прямую расположить горизонтально, то принято положительные числа изображать справа, а отрицательные – слева от начала отсчета. Кстати в древнем Китае для обозначения отрицательных чисел просто использовали другой цвет по отношению к положительным числам.

Направление,  в котором располагают положительные числа, указывают стрелкой.

Куда же тогда может быть направлена стрелка? (вверх или вправо)

(Предложить самостоятельно дать определение координатной прямой и координаты)

Прямую с выбранным на ней началом отсчета, единичным отрезком и направлением называют координатной прямой.

После формулировки определения координатной прямой предложить несколько примеров на распознавание.

На каком из рисунков изображена координатная прямая? Почему?

1)

2)

3)

4)

Число, которое показало положительные точки на прямой называются координатной этой точки.

Рассмотрите рис. 50. Назовите координаты точке О, А,В, С. Найдите в тексте, как записать координаты этих  точек?

[А (- 2  ); B (-3,6); С (3,6) ;О (о)]

Задание А (-4);  В (6);  С(-11);  Д (-8);  Р (0)

Где расположены точки А, В,С, Д, Р на координатной прямой? Что можно сказать о координатной точки Р? Положительная она или отрицательная? (Сделать вывод что О не является ни + ни -  числом) Изобразите эти точки на координатной прямой.

Не только на уроках математики можно встретить такую школу, но и на уроках истории. Вспомните, о чем идет речь. (о ленте времени)

Закрепление изученного материала

№ 000, 892, 893 (устно) № 000  № 000

Итоги урока.

Что полезного узнали на уроке? Урок не прошел даром, потому что …? Где пригодятся новые знания?

Домашнее задание  п. 26 № 000, 919, 920.

Урок 2

«Координаты на прямой»

Цель: научится выполнять более сложные задания, связанные с

  координатной прямой, показать применение новых знаний

  при решении примеров.

Актуализация знаний. Что вы узнали на прошлом уроке?

Узнали что такое координатная прямая. Как строится координатная прямая. Узнали о существовании положительных и отрицательных чисел. Узнали что положительные числа расположены выше или правее от начала отсчета и обозначаются знаком «+» перед числом. Отрицательные расположены левее или выше от начала отсчета и обозначаются знаком «- » перед числом.

2)Где еще вы встречались с такими обозначениями?

-  Так мы обозначали выигрышные и проигрышные очки.

3)Что еще вы узнали на прошлом уроке?

Ноль не является ни  положительным, ни отрицательным числом. Числовая прямая используется на шкале термометра, на шкале высот, на «ленте времени».

4)Где могут пригодится новые знания?

Сможем выполнять более сложные задания. Применять знания в жизненных ситуациях.

Устно: Записать в тетради с помощью знаков «+» или «-» сообщение службы погоды (с последующей проверкой).

  20є тепла, 21ємороза, 5єтепла,

  12є тепла, 5ємороза, 7ємороза

№ 000 (у), 896 (у) Придумайте задачу которую можно решить составив выражения. Ответьте на вопрос задачи.

(+3) + (+7) =  (- 5) + (-8) =

(+6) – (+3) =  (-12) – (-2) =

Когда мы сегодня поlводили итоги прошлого урока, вы сказали, что новые знания вам пригодятся при выполнении более сложных заданий. Этим мы сегодня и займемся.

№ 000 – на доске и в тетрадях.

Прочитайте условие. В чем отличие этого задания от тех заданий, которые вы выполняли на прошлом уроке. (координаты – дробные числа)

Дополнительный вопрос после выполнения задания : Назовите 3 числа расположенных левее (правее) начала отсчета.

№ 000

Что известно в задаче? (Известны координаты двух точек, одна расположена левее на 2 единицы от начала отсчета, другая правее на 7 единиц от начала отсчета) Кто может предложить способ решения?

[1. Изобразить точки на прямой и посчитать количество единичных отрезков между точками.

2. Сложить количеств единичных отрезков от точки А до начала отсчета и от В до начала отсчета.]

Записать решение задачи в тетрадь. Сделать вывод.

№ 000

Прочитайте задание. Перенесите чертеж в тетрадь. С чего начнем решение задачи? (Найти начало отсчета) Как это сделать? (Отметить точку, которая лежит по середине отрезка, соединяющего оба отрезка) Что нам нужно узнать? (Чему равен единичный отрезок) Как это сделать? (Разделить отрезок, соединяющий начало отсчета и один из флажков, на 2 части)

В процессе этого обсуждения выполняются все построения, а затем находят координаты заданных точек (самостоятельно с последующей проверкой)

Что особенного для себя возьмете из этой задачи? (Начало координат лежит посередине между точками у которых координаты равны а и - а)

Самостоятельная работа:

  I вариант  II вариант

первые 4 числа  1) № 000  последние 4 числа

а, г  2) № 000  б, в

Итог урока.

Чему научились? Что взяли для себя? Где пригодится?

Домашнее задание: п. 26 № 000, 923

  Дополнительное задание: № 000

Урок 3

«Координаты на прямой»

Цели: закрепить изученный материал, в ходе выполнения упражнений; проверить степень усвоения учащимися материала при проведении самостоятельной работы.

Устно: № 000, 913. Актуализация знаний:

Повторить определение координатной прямой и определение координатной точки на прямой. Что нового узнали на прошлом уроке (как изображать на координатной прямой дробные числа, как находить начало отсчета, если даны точки с координатами а и –а; как находить расстояние между точками, которые лежат по разные стороны от начала отсчета) Представьте мысленно перед собой координатную прямую.

а) Назовите число расположенное на расстоянии 4 единицы правее нуля, на расстоянии 3 единицы левее нуля.

б) Назовите 3 числа, которые лежат правее числа – 2; левее числа –2; правее числа 3; левее числа 3.

в) Назовите число которое не является ни положительным, ни отрицательным.

После выполнения каждого задания открывать заранее приготовленную  координатную прямую и проверять ответы.

4)Придумайте задачу, решением которой является выражение:

  (+3)+(+6)  (-4)+(+5)

  (-5)+(-6)  (+3)+(-5)

1) Решить № 000 изобразив точки на координатной прямой.

2) Начертить координатную прямую, приняв за ед. отрезок 5 клеток тетради. Отметить на этой прямой точки: А(2); В(-3); Д(1,2);  Е(-2,6) ; F ( -  ); М (3  )

Начертить горизонтальную прямую и отметить на ней точку А. Правее точки А на расстоянии 3см отметьте точку В. Найдите точку О – начало отсчета, если А (-6), а В(-3).

IV. Самостоятельная работа (10-15 минут)

Вариант 1

Запишите координаты точек М, N, К, А и Д изображенных на рисунке

2) Начертите координатную прямую, приняв за одиночный отрезок длину четырех клеток тетради. Отметьте на этой прямой точки: Е (3); К(-2); Д(2,5); F(-1,5)  S (-3  )

3) Начертите горизонтальную прямую. Отметьте на прямой точки С и Д так, чтобы точка Д была правее точки С и СД = 5см. Отметьте начало отсчета О, если с (-2) а Д(3).

Вариант 2

Запишите координаты точек F, Е, К, В и Р, изображенных на рисунке

2) Начертите координатную прямую, приняв за единичный отрезок длину пяти клеток тетради. Отметьте на этой прямой точки  А(2), М( -3), Д(-2,6), К(1,8), N ( - 1  )

3) Начертите горизонтальную прямую и отметьте на этой прямой точки Е и F так, чтобы точка F была правее точки Е и EF = 6см. Отметьте точку О – начало отсчета, если Е (-4), а F (2)

Домашнее задание: п. 26 № 000, 924, 925.

Урок 4

«Противоположные числа»

Цель: учащиеся должны знать, какие числа называются противоположными,

  что входит в понятие «целые числа»; должны уметь находить числа противоположные данным.

Анализ самостоятельной работы.  Какие ошибки допущены в каждом задании? В чем их причины? Выполнить работу над ошибками. Если есть задания вызванные затруднение, то решить их.

ІІ. Устная работа.

1)Какими способами двумя выигрышными кубиками образовать сумму +5 очков и +7 очков.

Какими способами двумя проигрышными кубиками образовать сумму -4 очка и -8 очков. Какими способами одним проигрышным и одним выигрышным кубиком образовать сумму -1 очко, -4 очка, +3 очка.

ІІІ. 1) Сейчас я прошу вас вернуться к решению № 000. Как мы нашли начало отсчета? (разделили расстояние между флажками пополам).

Почему мы так сделали? (потому что координаты + 2 и –2 означают, что флажки удалены на одинаковом расстоянии и начала отсчета, но в противоположных направлениях).

Нужно подвести учащихся к тому, чтобы они сами произнесли эту фразу «в противоположных направлениях».

Итак тема сегодняшнего урока называется «Противоположные числа».

Кто же мне скажет, исходя из сказанного выше, какие же числа можно считать противоположными (+2 и –2). Приведите еще примеры (……) А теперь попробуйте сами дать определение противоположных чисел.

Определение:  Два числа, отличающиеся друг от друга только знаками, называют противоположными числами.

2)  Для каждого числа есть только одно число противоположное ему

7 противоположно числу –7

7 противоположно числу 7

3)  Как вы думаете, какое число противоположно числу О? (само число О)

  Число О противоположно самому себе.

Назовите число, противоположно числу 5? (-5)

  числу 1,8? (-1,8)

  числу а?(-а)

Можно ли утверждать, что для того чтобы назвать число противоположное данному, то перед ним достаточно поставить знак «- »? Тогда спешите, как же записать число противоположное –15? (- (-5)) Но мы узнаем что число противоположное числу – 15 есть 15. Сделайте вывод? (-(-15)=15)

Тогда для любого числа, а будет верно, что – (-а) = а. Итак запись – (-15) можно прочитать по-разному:

а) число, противоположно числу – 15

б) минус минус 15.

Задание: Прочитайте запись – (-7) двумя способами. Чему равно это число?

Прочитайте запись: - 7 двумя способами, - (+3) двумя способами.

Как вы думаете, знак +, поставленный перед числом изменит его? (нет)

+ 7 = 7;  + ( - 7) = - 7;  + ( +7 ) = + 7

Итак, мы знали, что существуют натуральные числа и О, а сегодня мы можем добавить к ним еще и числа которые противоположны натуральным (т. е. –1; -2; -3 …)

Определение:  Натуральные числа, противоположные им числа и нуль, называют целыми числами.

IV. № 000 (у), 

  № 000 (а, б,г) – на доске и в тетрадях

  а) – (- 80) = 80;  б) 3,5 = - ( - 3,5);  в) 3,2 = - ( - 3,2)

  № 000. Заполнить таблицу и отметить точки на координатной прямой.

  № 000 (а, б, в, г,). В начале учащиеся устно называют целые числа, расположенные между данными числами, затем решение и проверять на заранее приготовленной числовой прямой, и после этого записать решение в тетрадь.

V. Итог урока. Что узнали нового?

  Какие были трудности?

  Как их преодолели?

  Где пригодятся новые знания?

VI. Домашнее задание: п.27 № 000, 945 (а, б), 947, 949 (а)

Урок 5

«Противоположные числа»

Цель: закрепить знания при нахождении чисел, противоположных данным и изображении их на координатной прямой, развить логическое мышление.

Актуализация знаний.

– Что нового узнали на прошлом уроке? (……………)

Какие же числа называют противоположными? Назовите 5 целых чисел.

2) Назовите числа противоположны числам: -8; 6; 0,3; -  ; 0; 2  ;  - 4,8.

3) Найдите значение выражения:

  - ( - 31) ;  - ( + 9); - ( + 8,9);  - 0; + ( - 1); - ( + 3  );  + ( + 5) ;  - (-  )

4) Однажды Витя Верхоглядкин в течение целого часа пытался отыскать два противоположных числа, которые были бы оба отрицательны, но безуспешно. Почему?

5)Восстановить записи:

  (-3)+(+3)= …….;        (-4)+(+5)=…;

  (…)+(+5)= -2;        (-5)+(…)= -6;

  (+6)+(…)= -4;        (-4)+(…)=0.

II. Выполнение упражнений

  № 000 (а, д, е) на доске и в тетрадях

  № 000 перенести чертеж в тетрадь, и найдя начало отсчета, выписать координаты точек А, В и С

  № 000 по 3 числа из каждого задания

  № 000 а) – х = 607  б) – а = 30,4  в) – у = - 3

  х = - 607  а =  - 30,4  у =

III. Самостоятельная работа.

Вариант 1 1) Отметить на координатной прямой точки, координаты которых 5; -3; -4,5; 1,5 и точки, координаты которых противоположны этим числам.

Запишите числа, противоположное числам

  2,48;  - 9;  4;  - 5  ;  ;  - 0, 029

Найдите значение К, если – К = 4,6; - 3,5 Найдите значение – m, если m  = 6; - 12

Вариант 2 1) Отметьте на координатной прямой точки, координаты которых 4; - 2; - 3,5; 1  и точки, координаты которых противоположны этим числам.

2) Запишите числа, противоположные числам

- 3,18; 11; -5; 2  ;  ;  - 0,417

Найдите значение m, если – m = 9,7; - 2,1 Найдите значение – к, если к = 3; - 6

IV. Домашнее задание: п.27 № 000, 945 (а, б), 946.

IV. Заключение

Итак, все вышеизложенное позволяет сказать, что эта тема обширная и интересная. Она предоставляет широкое поле для дальнейшего исследования.

Например, отрицательные числа можно вводить еще до изучения дробных чисел, что позволит отработать правила действия только с целыми числами.

Или, например, встречается мнение о том. что на первых порах одинаковость знаков количества «+» и « - » и таких же знаков действия хотя и несет ряд преимуществ для вычислительных действий, но причиняет учащимся ряд трудностей. И поэтому полезно в начале преподавания различать знак действия от знака количества. Например, писать отрицательную двойку не в виде – 2, а в виде 2.

Но, в любом случае, методика изучения любой темы должна быть эффективной. Если тема усвоена, значит цель, которую ставил перед собой учитель, достигнута.

Пропедевтика же изучения такой непростой темы играет большую роль, т. к. дает необходимый опыт предметной деятельности для учащихся. Практика введения пропедевтического аспекта в моей работе показала, что изучение отрицательных чисел проходит более легко, особенно, когда речь идет о действиях с отрицательными числами.

Учащиеся могут ассоциировать абстрактные  правила действий с отрицательными числами с реальной жизненной ситуацией.

Опыт работы над данной темой позволяет сделать вывод, что данная методическая разработка может быть использована как молодыми, так и опытными учителями для пропедевтической работы по изучению действий с отрицательными числами.

V. Используемая литература:

1. и др. «Математика 6», Мнемозина, 2010

2. «Справочник по элементарной математике»,С.-Петербург,2009

3. «Математика в 5 классе», Просвещение,2013

4. и др. «Математические диктанты для 5-9 классов»,Просвещение,2008

5. «Занимательные задачи в обучении математике», Просвещение,2009