Физические основы механики

Лекция 2.

Физические основы механики

Окружающий нас мир, всё существующее вокруг нас и обнаруживаемое нами посредством ощущений представляет собой материю. В настоящее время известны два вида неживой материи – вещество и поле. Неотъемлемым свойством материи и формой её существования является движение. Движение в широком смысле слова — это всевозможные изменения материи — от простого перемещения до сложнейших процессов мышления. Движение несотворимо и неуничтожимо, как и сама материя. Материя существует и движется в пространстве и во времени, которые являются формами бытия материи.

Механическое движение — это изменение в пространстве с течением времени взаимного расположения тел или их частей.

Механика — часть физики, которая изучает закономерности механического движения и причины, вызывающие или изменяющие это движение.

Механика делится на три раздела: 1) кинематику; 2) динамику; 3) статику.

Кинематика изучает движение тел, не рассматривая причины, которые это движение обусловливают.

Динамика изучает законы движения тел и причины, которые вызывают или изменяют это движение.

Статика изучает законы равновесия системы тел. Если известны законы движения тел, то из них можно установить и законы равновесия. Поэтому законы статики отдельно от законов динамики физика не рассматривает.

Развитие механики как науки начинается с III в. до н. э., когда древнегреческий ученый Архимед (287—212 до н. э.) сформулировал закон равновесия рычага и законы равновесия плавающих тел. Основные законы механики установлены итальянским физиком и астрономом Г. Галилеем (1564—1642) и окончательно сформулированы английским ученым И. Ньютоном (1643—1727).

Механика Галилея — Ньютона называется классической механикой. В ней изучаются законы движения макроскопических тел, скорости которых малы по сравнению со скоростью света в вакууме. Законы движения макроскопических тел со скоростями, сравнимыми со скоростью с, изучаются релятивистской механикой, основанной на специальной теории относительности, сформулированной А. Эйнштейном (1879—1955). Для описания движения микроскопических тел (отдельные атомы и элементарные частицы) законы классической механики неприменимы — они заменяются законами квантовой механики.

Кинематика. Основные понятия кинематики

Основной задачей кинематики является нахождение положения тела в любой момент времени, если известны его положение, скорость и ускорение в начальный момент времени.

Механическое движение относительно. Движение одного и того же тела относительно разных тел оказывается различным. Для описания движения тела нужно указать, по отношению к какому телу рассматривается движение. Это тело называют телом отсчёта. Оно считается неподвижным (для данной задачи).

Положение тела в пространстве описывается с помощью системы координат. Реальное пространство трёхмерно, и положение материальной точки в любой момент времени полностью определяется тремя числами — её координатами в выбранной системе отсчета.

Как правило, используют прямоугольную, или декартову, систему координат1. Для описания движения точки, кроме тела отсчёта и системы координат, необходимо ещё иметь часы – устройство, с помощью которого можно измерять различные отрезки времени.

Тело отсчёта, система координат и связанные с ней часы образуют систему отсчета.

Рисунок 1. Система отсчёта

OX — ось абсцисс, OY — ось ординат, OZ — ось аппликат.

Возьмем какую-нибудь точку в пространстве, М (x, y, z). Здесь x, y, z – координаты точки М в данной системе координат. Проведем из начала координат к точке М вектор . Этот вектор называется радиус–вектором точки М.

Рисунок 2. Точка и её координаты

Положение точки M в данный момент вре­мени в выбранной системе отсчёта ха­рактеризуется тремя координатами х, у и z или радиус-вектором , проведен­ным из начала системы координат в дан­ную точку (рис. 5).

Единичным вектором или ортом называется вектор, длина которого равна единице и который направлен вдоль какой-либо координатной оси.

Единичный вектор, направленный вдоль оси x, обозначается . Единичный вектор, направленный вдоль оси y, обозначается . Единичный вектор, направленный вдоль оси z, обозначается .

Вектора , , называются координатными векторами. Радиус-вектор точки М можно представить в виде суммы произведений ортов на соответствующие координаты точки М:

Рисунок 3. Орты и радиус-вектор точки.

Механика для описания движения тел в зависимости от условий конкретных задач использует разные физические модели. Простейшей моделью является матери­альная точка — тело, обладающее массой, размерами которого в данной задаче мож­но пренебречь. Понятие материальной точ­ки — абстрактное, но его введение облег­чает решение практических задач. Напри­мер, изучая движение планет по орбитам вокруг Солнца, можно принять их за мате­риальные точки.

Произвольное макроскопическое тело или систему тел можно мысленно разбить на малые взаимодействующие между со­бой части, каждая из которых рассматри­вается как материальная точка. Тогда изучение движения произвольной системы тел сводится к изучению системы матери­альных точек. В механике сначала изуча­ют движение одной материальной точки, а затем переходят к изучению движения системы материальных точек.

Под воздействием тел друг на друга тела могут деформироваться, т. е. изме­нять свою форму и размеры. Поэтому в механике вводится еще одна модель — абсолютно твердое тело. Абсолютно твер­дым телом называется тело, которое ни при каких условиях не может деформиро­ваться и при всех условиях расстояние между двумя точками (или точнее между двумя частицами) этого тела остается по­стоянным.

Любое движение твердого тела можно представить как комбинацию поступатель­ного и вращательного движений. Поступа­тельное движение — это движение, при котором любая прямая, жестко связанная с движущимся телом, остается параллель­ной своему первоначальному положению. При поступательном движении все точки тела описывают одинаковые траектории и в любой момент времени имеют одинаковые скорости и ускорения. Поэтому для описания такого движения тела достаточно описать движение его одной произвольной точки.

Вращательное движение — это движение, при котором все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной и той же прямой, называемой осью вращения.

Линия, которую описывает движущееся тело в определенной системе отсчета, называется траекторией. На практике форму траектории задают с помощью математических формул (y = f(x) — уравнение траектории) или изображают на рисунке. Вид траектории зависит от выбора системы отсчета. Например, траекторией тела, свободно падающего в вагоне, который движется равномерно и прямолинейно, является прямая вертикальная линия в системе отсчета, связанной с вагоном, и парабола в системе отсчета, связанной с Землей.

В зависимости от вида траектории различают прямолинейное и криволинейное движение.

В зависимости от скорости различают равномерное (скорость не изменяется) и неравномерное (ускоренное, равноускоренное, прерывистое) движение.

Схематично это можно представить так:

Рисунок 4. Механическое движение

Путь s — скалярная физическая величина, определяемая длиной траектории, описанной телом за некоторый промежуток времени. Путь всегда положителен: s > 0.

Перемещение тела за определенный промежуток времени — направленный отрезок прямой, соединяющий начальное (точка M0) и конечное (точка М) положение тела (см. рис. 8):

где и — радиус-векторы тела в эти моменты времени.

Рисунок 5. Путь и перемещение

Проекция перемещения на ось Ox: , где x0 и x — координаты тела в начальный и конечный моменты времени.

Модуль перемещения не может быть больше пути: .

Знак равенства относится к случаю прямолинейного движения, если направление движения не изменяется.

Зная перемещение и начальное положение тела, можно найти его положение в момент времени t:

Если бы мы рассматривали движение тела в пространстве, добавилось бы третье уравнение:

,

Таким образом, изменения радиус-вектора описываются функцией координат и времени:

Скорость — мера механического состояния тела. Она характеризует быстроту изменения положения тела относительно данной системы отсчета и является векторной физической величиной.

Часто бывают важны усреднённые значения физических величин. Для их обозначения используется знак  Ї или < >.

Средняя скорость — векторная физическая величина, численно равная отношению перемещения к промежутку времени, за который оно произошло, и направленная вдоль перемещения (рис. 7):

Рисунок 6. Скорость

В СИ единицей скорости является метр в секунду (м/с).

Средняя скорость, найденная по этой формуле, характеризует движение только на том участке траектории, для которого она определена. На другом участке траектории она может быть другой.

Иногда пользуются средней скоростью пути: , где s — путь, пройденный за промежуток времени Дt. Средняя скорость пути — это скалярная величина.

Мгновенная скорость тела — скорость тела в данный момент времени (или в данной точке траектории). Она равна пределу, к которому стремится средняя скорость за бесконечно малый промежуток времени . Здесь — производная от радиус-вектора по времени.

Мгновенная скорость , таким образом, есть векторная величина, равная первой производной радиуса-вектора движущей­ся точки по времени.

В проекции на ось Ох:

Аналогичные формулы можно записать для проекций вектора скорости на другие оси.

Мгновенная скорость тела направлена по касательной к траектории в каждой ее точке в сторону движения (см. рис. 9).

Рисунок 7

Ускорение — векторная физическая величина, характеризующая быстроту изменения скорости. Оно показывает, на какую величину изменяется скорость тела за единицу времени.

Среднее ускорение — физическая величина, численно равная отношению изменения скорости ко времени, за которое оно произошло:

Вектор направлен параллельно вектору изменения скорости () в сторону вогнутости траектории (рис. 8).

Мгновенное ускорение:

В СИ единицей ускорения является метр на секунду в квадрате (м/с2).

В общем случае мгновенное ускорение направлено под углом к скорости. Зная траекторию, можно определить направление скорости, но не ускорения. Направление ускорения определяется направлением равнодействующей сил, действующих на тело.

При прямолинейном движении с возрастающей по модулю скоростью (рис. 9, а) векторы и сонаправлены () и проекция ускорения на направление движения положительна.

При прямолинейном движении с убывающей по модулю скоростью (рис. 9, б) направления векторов и противоположны () и проекция ускорения на направление движения отрицательна.

Рисунок 8

Вектор при криволинейном движении можно разложить на две составляющие, направленные вдоль скорости и перпендикулярно скорости (рис. 10), — тангенциальное ускорение, характеризующее быстроту изменения модуля скорости при криволинейном движении, — нормальное ускорение, характеризующее быстроту изменения направления вектора скорости при криволинейном движении. Модуль ускорения .

Рисунок 9

Длина пути, пройденного точкой за промежуток времени от t1 до t2, определяется интегралом

В случае равномерного движения число­вое значение мгновенной скорости посто­янно; тогда это выражение примет вид

Относительность движения. Сложение скоростей. Если движение точки рассматривается из двух систем отсчета К и К', оси которых остаются все время параллельными друг другу, то между скоростями точки и относительно этих систем отсчета в каждый момент времени выполняется соотношение

, (1)
где - скорость системы относительно системы . Такое же соотношение выполняется и для ускорений: а = а' + .

1 Впервые прямоугольную систему координат ввел Рене Декарт в своей работе «Рассуждение о методе» в 1637 году. Поэтому прямоугольную систему координат называют также — Декартова система координат. Координатный метод описания геометрических объектов положил начало аналитической геометрии. Вклад в развитие координатного метода внес также Пьер Ферма, однако его работы были впервые опубликованы уже после его смерти. Декарт и Ферма применяли координатный метод только на плоскости.

Координатный метод для трёхмерного пространства впервые применил Леонард Эйлер уже в XVIII веке.