Определение числового ряда. Сходимость ряда

Ряды.

Определение числового ряда. Сходимость ряда

Определение. Числовым рядом называется бесконечная последовательность чисел , соединенных знаком сложения:

Числа называются членами ряда, а член - общим или  n-м членом ряда.

       Прямая задача:

Ряд считается заданным, если известен его общий член , где  n=1,2,…, т. е. задана функция f(n) натурального аргумента.

Например,

ряд с общим членом имеет вид

Обратная задача:        

Более сложной является обратная задача:

по нескольким первым членам ряда написать общий член. Эта задача имеет бесконечно много решений, но иногда удается найти самое естественное  решение.

Например, напишем одну из возможных формул для общего члена ряда, зная его первые 4 члена:

Решение:

       Рассмотрим сначала последовательность числителей 2, 5, 8, 11. Они образуют арифметическую прогрессию, первый член которой равен 2, а разность равна 3. Это позволяет в качестве общего выражения для числителя взять формулу общего члена арифметической прогрессии: Знаменатели 2, 6, 18, 54 образуют геометрическую прогрессию с первым членом 2 и знаменателем 3. В качестве их общего выражения можно взять формулу общего члена геометрической прогрессии Итак, общий член ряда будет иметь следующий вид:

Рассмотрим суммы конечного числа членов ряда:

Сумма n первых членов ряда называется n-й частичной суммой ряда.

       Определение. Ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности его частичных сумм, т. е.

Число S называется суммой ряда.

В этом смысле можно записать

       Если конечного предела последовательности частичных сумм не существует, то ряд называется расходящимся.

Пример 1. Исследуем на сходимость бесконечную геометрическую прогрессию, т. е. ряд:

Решение:

Для этого ряда

Если то выполняется равенство потому

Значит, при исследуемая прогрессия сходится и её сумма равна

Если , то а потому и В этом случае последовательность частичных сумм не имеет конечного предела, т. е. ряд расходится. Этот рд расходится и при q=1. В этом случае а при a>1 Наконец, ряд расходится и при  q=-1, так как частичными суммами ряда а-а+а-а+... являются:

Последовательность а, 0, а, 0, ..., где не имеет предела, а это и значит, что ряд расходится.

Пример 2. Докажем, что ряд:

где расходится.

Решение:

Для этого ряда Так как все члены этой суммы не меньше чем , а она состоит из n членов, то На при имеем и, значит, Следовательно, по определению ряд расходится.

Пример 3. Докажем, что ряд:

сходится, и найдём его сумму.

Решение:

Пользуясь известным тождеством  находим, что

Так как

то ряд сходится и его сумма равна 1.

Основные свойства числовых рядов

1. Если ряд   сходится и имеет сумму S, то и ряд  (полученный умножением данного ряда на число ), так же сходится и имеет сумму .

2. Если ряды  и  сходятся и их суммы соответственно равны и , то и ряд (представляющий сумму данных рядов) так же сходится, и его сумма равна

3. Если ряд сходится, то сходится и ряд, полученный из данного путем отбрасывания (или приписывания) конечного числа членов.

4. При исследовании ряда на сходимость можно игнорировать конечное число его первых членов.

Необходимое условие сходимости ряда

Теорема. Если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю, т. е.

Пример: Дан числовой ряд который называется гармоническим рядом.

т. е. необходимое условие сходимости выполняется. Позже покажем, что этот ряд расходящийся (суммы у него нет).

       Итак, условие является только необходимым, но не является достаточным, т. е. из того, что общий член стремится к нулю, ещё не следует, что ряд сходится.

Достаточные признаки сходимости числовых рядов

Первый признак сравнения

Пусть даны два ряда с положительными членами:

(1)

и

(2)

Если для всех n выполняется неравенство

(3)

то из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1), из расходимости ряда (1) следует расходимость ряда (2).

       Примем указанный признак без доказательств.

       Обычно для сравнения выбираются два ряда:

1)  сходящаяся геометрическая прогрессия ;

2) обобщённый  гармонический ряд , который сходится при p>1  и расходится при p<1 и p=1.

Пример.

Установить сходимость ряда:

Решение:

Сравним его с рядом

,

составленном из членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Каждый член ряда

,

начиная со второго, меньше соответствующего члена ряда

;

кроме того мы знаем ряд

- сходящийся.

Следовательно, ряд

- сходящийся.

Пример.

Исследовать на сходимость ряд

.

Решение:

Сравним данный ряд с гармоническим рядом

Так как каждый член ряда

,

начиная со второго больше соответствующего члена ряда

,

а ряд - расходящийся,

то ряд - тоже расходящийся.

Второй признак сравнения

Если существует конечный и отличный от нуля предел

,

то оба ряда

и

одновременно сходятся или одновременно расходятся.

Пример.

Исследовать сходимость ряда с общим членом

.

Решение:

Сравним этот ряд с рядом, у которого общий член

(т. е. с бесконечно убывающей геометрической прогрессией).

Применим второй признак сравнения рядов:

.

Так как предел конечен и отличен от нуля и ряд

сходится,

то сходится и данный ряд.

Пример.

Исследовать сходимость ряда

Решение:

Сравним ряд с гармоническим рядом

:

.

Следовательно, данный ряд расходится.

Признак Даламбера

Если в ряде с положительными членами выполняется условие

,

то этот ряд сходится при D<1 и расходится при D>1, при D=1 надо воспользоваться другим признаком.

       Признак Даламбера применяется для тех рядов, общий член которых содержит факториалы или показательную функцию.

Пример.

Исследовать сходимость ряда

.

Решение:

Применим признак Даламбера; имеем

, ,

;

значит,

.

Так как D>1, то ряд расходится.

Пример.

Исследовать сходимость ряда

Решение:

Здесь

, , ,

поэтому

Следовательно, ряд сходится.

Признак Коши

Если для ряда существует

,

то ряд сходиться при C<1 и расходиться при C>1, при С=1 надо воспользоваться другим признаком.

Признак Коши применяется для тех рядов, в которых общий член представляет собой n - ную степень некоторой функции.

Пример.

Исследовать сходимость ряда

Решение:

Здесь удобно применять признак Коши, т. к.

,

а предел последней дроби находиться просто

.

Так как , то ряд сходиться.

Пример.

Исследовать сходимость ряда

.

Решение:

Применим признак Коши:

.

.

Так как C>1, то ряд расходится.

Интегральный признак

       Если при - непрерывная, положительная и монотонно убывающая функция, то ряд , где , сходится или расходится в зависимости от того, сходится или расходится интеграл

Знакочередующиеся и знакопеременные ряды

Знакочередующимся рядом называется ряд вида

Действия над рядами нельзя производить, не убедившись в их абсолютной сходимости. Для установления абсолютной сходимости используют все признаки сходимости знакоположительных рядов, заменяя всюду общий член ряда его модулем.

Степенные ряды

1. Ряд, членами которого являются функции от х, называется функциональным:

.

Придавая х определённое значение , мы получим числовой ряд

,

который может быть как сходящимся, так и расходящимся.

2. Если полученный числовой ряд сходится, то точка называется точкой сходимости ряда; если же ряд расходится – точкой расходимости функционального ряда.

3. Совокупность числовых значений аргумента х, при которых функциональный ряд сходится, называется его областью  сходимости.

4. В области сходимости функционального ряда его сумма является некоторой функцией от x: S= S(x).

Определяется она в области сходимости равенством

  -

его частичная сумма.

Пример 1.

Найти область сходимости ряда .

Решение:

Данный ряд является рядом геометрической прогрессией со знаменателем q=x. Следовательно, этот ряд сходится при , т. е. при всех ; сумма ряда равна (по определению суммы геометрической прогрессии):

.

Пример 2.

Исследовать сходимость функционального ряда .

Решение:

Составим ряд из абсолютных величин членов исходного ряда:

.

Так как при любом х имеет место соотношение , а ряд с общим членом сходится

(обобщённый гармонический ряд p=2>1), то по признаку сравнения сходится при всех действительных х и полученный нами ряд.

Следовательно, исходный ряд абсолютно сходится при всех действительных х.

5. Среди функциональных рядов особое место занимают степенные ряды, членами которых являются степенные функции аргумента х:

Действительные числаназываются коэффициентами ряда, х – действительная переменная.

Рассмотренный степенной ряд расположен по степеням х.

Имеют место ряды, расположенные по степеням , т. е. ряд вида

,

где - некоторое постоянное число.

Сходимость степенных рядов

Выясним вопрос о сходимости степенного ряда

.

Если область сходимости степенного ряда содержит, по крайней мере, одну точку , то ряд сходится в  этой точке  .

Теорема Абеля. Если степенной ряд

сходится при , то он абсолютно сходится при всех значениях х, удовлетворяющих неравенству .

Теорема. Если степенной ряд

расходится при , то он расходится и при всех х, удовлетворяющих неравенству .

Из теоремы Абеля следует, что если точка сходимости степенного ряда, то интервал весь состоит из точек сходимости данного  ряда; при всех значениях х вне этого интервала ряд

расходится.

1. Интервал    называют интервалом сходимости степенного ряда.

Положив , интервал сходимости можно записать в виде .

2. Число R  называют радиусом сходимости степенного ряда, т. е. R>0 – это такое число, что при всех  х, для которых , ряд

сходится, а при ряд расходится.

В частности, когда ряд сходится лишь в одной точке , то считаем, что R=0.

Если же этот ряд сходится при всех действительных значениях  х, то считаем, что .

Радиус  сходимости  обычно находится с применением или признака Коши, или радикального (корневого) признака.

Отметим, что на концах интервала сходимости (т. е. x = R и при x = - R)

сходимость ряда проверяется в каждом случае отдельно.

Воспользовавшись признаком Даламбера, найдём радиус сходимости степенного ряда.

Для ряда

радиус абсолютной сходимости

.

Аналогично, воспользовавшись признаком Коши, можно установить, что

.

Замечания

1.        Если , то можно убедиться, что ряд

абсолютно сходится на всей числовой оси. В этом случае .

Если  , то .

Интервал сходимости степенного ряда

находят из неравенства .

Область сходимости степенных рядов можно находить сразу, не находя радиуса сходимости, используя признаки Даламбера или Коши.

Разложение функций в степенные ряды

Для приложений важно уметь данную функцию f(x) разлагать в степенной ряд, т. е. функцию f(x) представлять в виде суммы степенного ряда.

Ряд Тейлора и Маклорена

       Для любой функции f(x), определённой в окрестности точки и имеющей в ней производные до

(n+1)-го порядка включительно, справедлива формула Тейлора:

где , - остаточный член в форме Лагранжа.

Число с можно записать в виде , где .

Без остаточного члена имеем – многочлен Тейлора:

.

Если функция f(x) имеет производные любых порядков (т. е. бесконечно дифференцируема) в окрестности точки и остаточный член стремится к нулю при  ,

то из формулы Тейлора получается разложение функции f(x) по степеням , называемое рядом Тейлора:

.

Если в ряде Тейлора положить , то получим разложение функции по степеням x в так называемый ряд Маклорена:

.

Формально ряд Тейлора можно построить для любой бесконечно дифференцируемой функции (это необходимое условие) в окрестности точки . Но отсюда ещё не следует, что он будет сходиться к данной функции f(x); он может оказаться расходящимся или сходиться, но не к функции f(x).

Пример1.

Разложить многочлен в ряд Тейлора при

Решение:

Найдём производные данного многочлена:

В точке имеем:

По формуле

получаем:

Пример2.

Напишем формулу Тейлора и выражение остаточного члена для при n = 4 и

Решение:

Формула Тейлора имеет вид:

где

Найдём производные функции в точке

Искомая формула имеет вид:

где  и , т. е.

.

Для того чтобы ряд Тейлора функции f(x)

сходился к f(x)  в точке x, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке остаточный член формулы Тейлора стремился к нулю при , т. е. .

Разложение некоторых элементарных функций в ряд Тейлора (Маклорена)

Для разложения функции f(x) в ряд Маклорена нужно:

1)        Найти производные ;

2)        Вычислить значения производных в точке ;

3)        Написать ряд

для заданной функции и найти его интервал сходимости;

4)        Найти интервал (-R; R), в котором остаточный член ряда Маклорена  . Если такой интервал существует, то в нем функция f(x)  и сумма ряда Маклорена совпадают.

Литература:

1.Письменный лекций по высшей математике. 2 часть. – М.: Рольф, 2000;

2.Баврин математика: Учеб. для студ. Естественнонаучных специальностей педагогических вузов. – 2-е изд., стереотип. – М.: Издательский центр «Академия»; Высшая школа, 2001;

3. , , Сафонов . М.: Просвещение, 1982;

4.Электронный учебник Learning Space. Модульный блок 12.