КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №1
Задача 1. Расчет линейных электрических цепей
постоянного тока
Дана схема электрической цепи постоянного тока, содержащая источники и приемники электрической энергии.
Номер схемы выбирается на рис. 1.1 по последней цифре номера зачетной книжки студента, параметры элементов схемы выбираются по данным таблицы 1.1 по предпоследней цифре номера зачетной книжки.
Задание:
1. Составить систему уравнений по законам Кирхгофа, необходимую для определения токов во всех ветвях схемы.
2. Рассчитать токи во всех ветвях схемы методом контурных токов и узловых потенциалов. Сравнить значения токов, полученных в результате расчетов разными методами. Результаты сравнения представить в виде таблицы.
3. Построить потенциальную диаграмму для контура, содержащего хотя бы один источник ЭДС.
4. Проверить выполнение баланса мощностей.
Вариант 64
Номер варианта с данными 6
Номер схемы 4 (Рис.1) Таблица 1.1
№ вар. | Е1, В | Е2, В | J, A | R1, Ом | R2, Ом | R3, Ом | R4, Ом | R5, Ом |
6 | 45 | 50 | 0,6 | 30 | 20 | 15 | 50 | 25 |
Решение:
Для схемы рис. 2 составим систему уравнений по законам Кирхгофа, необходимую для определения токов в ветвях.Произвольно выберем положительное направление токов во всех ветвях схемы. Схема имеет пять ветвей, три узла. В четырех ветвях токи неизвестны, а ток первой ветви равен току источника 
.
Для определения четырех неизвестных токов необходимо составить по законам Кирхгофа четыре уравнения.
По первому закону Кирхгофа составим два уравнения, то есть на одно уравнение меньше, чем количество узлов в схеме:
для узла 1 
или с учетом 
для узла 2 
Недостающие два уравнения составим по второму закону Кирхгофа. Выбираем два контура, которые включают ветви с неизвестными токами. Ветвь с источником тока ни в один из контуров включать не надо, токи источников тока учитываются только при записи первого закона Кирхгофа:
для контура I 
;
для контура II 
Система уравнений имеет вид:
Запишем систему уравнений в матричной форме:
Решив составленную систему уравнений, найдем значения токов в ветвях схемы.
Определяем токи в ветвях электрической цепи, схема которой представлена на рис. 3 методом контурных токов.
Выберем контурные токи таким образом, чтобы по ветви с источником тока протекал только один контурный ток, который в этом случае будет равен току источника 
.
Система уравнений для определения двух других контурных токов будет иметь вид:
или с учетом того, что 
где собственные сопротивления контуров:
общие сопротивления контуров:
контурные ЭДС:
Запишем систему уравнений в матричной форме:
.
Подставим числовые значения:
.
Определим главный и дополнительные определители системы уравнений:
Контурные токи будут равны:
Значения токов ветвей найдем, как алгебраическую сумму контурных токов. Контурные токи, направление которых совпадает по направлению с искомым током, берем со знаком «+», а которых не совпадает – со знаком «-»:
Если значение тока получилось отрицательным, это означает, что на исходной схеме условно-положительное направление тока выбрано не верно.
Определим токи ветвей в схеме рис. 4 методом узловых потенциалов.
В рассматриваемой схеме примем потенциал ц3=0, и в качестве неизвестных остаются потенциалы 
.
Запишем систему уравнений для нахождения этих потенциалов:
, где
Запишем систему уравнений в матричной форме:
Подставим числовые значения в полученную систему уравнений:
Определим главной и дополнительные определители системы уравнений:
Потенциалы узлов будут равны:
По закону Ома рассчитаем токи ветвей:
Сведем в таблицу 1.1.1 результаты расчетов методами контурных токов и узловых потенциалов, и сравнив, убедимся, что значения токов с допустимой погрешностью получились одинаковыми.
Таблица 1.1.1
|
|
|
|
| |
| 0,6 | 1,5385 | 0,9488 | 0,0103 | 0,5897 |
| 0,6 | 1,5386 | 0,9485 | 0,0103 | 0,5897 |
Построим потенциальную диаграмму для контура 3-1-2-4-3 (рис. 6) цепи рис. 4.
Относительно третьего узла, потенциал которого равен нулю ц3=0, рассчитаем потенциалы остальных точек в контуре. При расчете потенциалов необходимо помнить, что на участке цепи с резистором ток всегда протекает от точки с большим потенциалом к точке с меньшим потенциалом. Распределение потенциалов на участке с идеальным источником ЭДС не зависит от тока, а зависит только от полярности источника.
Рис. 6
Рассчитаем мощности источников и приемников электрической энергии в схеме рис.4. Проверим выполнение баланса мощностей.Уравнение баланса мощностей
Суммарная мощность источников:
где
Сумма мощностей приемников:
Баланс мощностей выполняется с большой степенью точности
80,346 Вт ≈ 80,339 Вт.
Задача 2. Анализ линейной электрической цепи
однофазного синусоидального тока
Дана схема электрической цепи однофазного синусоидального тока, содержащая источники ЭДС, резисторы, катушки индуктивности и конденсаторы.
ЭДС источников изменяются по синусоидальному закону:
е1(t)= Еm1 sin (314t+ШЕ1), е2(t)= Еm2 sin (314t+ШЕ2).
Номер схемы выбирается на рис. 1.2 по последней цифре номера зачетной книжки студента. Параметры R, L, C элементов схемы, амплитудные значения и начальные фазы ЭДС источников выбираются по данным табл. 1.2 по предпоследней цифре номера зачетной книжки.
Задание:
1. На основании законов Кирхгофа записать систему уравнений для расчета токов во всех ветвях схемы в двух формах: а) дифференциальной; б) символической.
2. Рассчитать комплексные действующие значения токов во всех ветвях схемы методом контурных токов (четные варианты) или методом узловых потенциалов (нечетные варианты).
3. Рассчитать потенциалы всех точек схемы, приняв потенциал узла «а» равным нулю. Построить топографическую диаграмму напряжений, совмещенную с векторной диаграммой токов. Графически показать на векторной диаграмме выполнение законов Кирхгофа для исследуемой цепи.
4. Записать мгновенные значения тока ветви, не содержащей источник ЭДС, и напряжения на зажимах этой ветви. Построить в одних осях координат их временные диаграммы. На диаграмме показать угол сдвига фаз между напряжением и током в этой ветви.
5. Рассчитать активную, реактивную и полную мощности приемников и источников электрической энергии цепи. Проверить выполнение баланса мощностей.
Таблица 2.1
№ | R1, Ом | R2 Ом | L1, Гн | L2, Гн | С1, мкФ | С2, мкФ | Е1m, В | ШЕ1, град. | Е2m, В | ШЕ2, град. |
6 | 45 | 60 | 0,6 | 1,2 | 10 | 25 | 42,3 | -150° | 84,6 | -120° |
Решение:
Для электрической цепи, схема которой приведена на рис. 2, составить на основе законов Кирхгофа систему уравнений для расчета токов в ветвях схемы и записать ее в двух формах: дифференциальной и символической.
Так как схема содержит несколько источников электрической энергии, положительные направления токов в ветвях выбираем произвольно. Также произвольно выбираем направления обхода контуров.
Число уравнений, составляемых по законам Кирхгофа, должно соответствовать количеству неизвестных токов. Рассматриваемая электрическая цепь имеет три ветви с неизвестными токами, поэтому система уравнений, составляемая по законам Кирхгофа должна состоять из трех уравнений.
По первому закону Кирхгофа составляется на одно уравнение меньше, чем количество узлов в схеме. Цепь имеет два узла, поэтому по первому закону Кирхгофа составляем одно уравнение. Недостающие два уравнения составляем по второму закону Кирхгофа для двух независимых контуров, направление обхода которых показано на рис. 2
Запишем систему уравнений в дифференциальной форме для мгновенных значений ЭДС, токов и напряжений. Необходимо помнить, что зависимости между мгновенными значениями напряжений и токов реактивных элементов дифференциально-интегральные:
Запишем систему уравнений в символической форме. Для этого от синусоидальных функций времени перейдем к их изображению комплексными числами. Соответственно дифференциальные и интегральные зависимости между напряжениями и токами в цепях синусоидального тока, мы заменяем линейными зависимостями между комплексными действующими токами и напряжениями, которые приведены в виде таблицы:
|
|
|
|
|
→ 
→ 
→ 
→ 
→ 
Система уравнений, записанная по законам Кирхгофа, имеет вид:
Параметры элементов цепи:
R1 =45 Ом, R2 =60 Ом, L1 =0,6 Гн, L2 =1,2 Гн, C1 =10 мкФ, C2 =25 мкФ.
Расчет цепи будем выполнять в комплексной форме, для чего перейдем от мгновенных ЭДС к их комплексным действующим значениям:
Рассчитаем комплексные сопротивления ветвей:
Примем, что по ветвям первого контура протекает контурный ток 
, а по ветвям второго - 
. Направление контурных токов показано на рис.3.
Система уравнений для расчета контурных токов:
где собственные сопротивления контуров:
общее сопротивление контуров:
контурные ЭДС:
Запишем систему уравнений в матричной форме:
.
Подставим числовые значения:
.
Определим главный и дополнительные определители системы уравнений:
Контурные токи будут равны:
Токи ветвей определим через контурные токи:
Для построения топографической диаграммы рассчитаем потенциалы всех точек схемы, приняв потенциал второго узла за нулевой ц2=0:
На комплексной плоскости построим топографическую диаграмму, совмещенную с векторной диаграммой токов (рис. 4). Вектора напряжений на диаграмме покажем как разность соответствующих векторов комплексных потенциалов. Напряжения элементов на диаграмме будем откладывать в порядке следования этих элементов на схеме.
Покажем на диаграмме выполнение законов Кирхгофа:
Запишем мгновенные значения тока второй ветви и напряжения на ее зажимах. Построим временные зависимости этих функций в одних осях координат.
В результате расчетов в комплексной форме были получены значения тока и напряжения:
Мгновенные значения тока и напряжения можно записать:
Построим временные диаграммы этих синусоидальных функций. При построении временных диаграмм необходимо помнить, что если синусоида имеет ненулевую начальную фазу, то она смешается относительно начала координат:
в случае начальной фазы больше нуля ш>0 – влево;
в случае начальной фазы меньше нуля ш<0 – вправо.
Временные диаграммы заданных синусоидальных функций построены на рис. 5
Рис.5
Рассчитаем активную, реактивную и полную мощности приемников и источника цепи. Проверим баланс мощностей.Определим активную, реактивную и полную мощности приемников:
- суммарная активная мощность:
- суммарная реактивная мощность:
- полная мощность приемников:
Рассчитаем активную, реактивную и полную мощности источников:
- суммарная активная мощность источников:
- суммарная реактивная мощность источников:
где
- полная мощность источников:
Уравнения баланса мощностей:
Баланс мощностей выполняется.
