ВИЗУАЛИЗАЦИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ ДЛЯ АНАЛИЗА РЕШЕНИЙ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ И ВАРИАЦИОННЫХ ЗАДАЧ при обучении по программе «строительство»
(*****@***ru)
ФГБОУ ВО НИУ «Московский государственный строительный униврситет», Мытищинский филиал
Аннотация
Строгое решение сложной математической задачи, например, из области вариационного исчисления, требует много времени для анализа полученных результатов. Обработку полученного результата можно сократить, если дополнить полученные формулы их графическими иллюстрациями в виде графиков, диаграмм, рисунков. В задачах строительства такая необходимость встречается при отступе от оптимальных схем строительства. Иллюстративный компьютерный метод позволяет оценить проигрыш и экономические потери от невозможности практической реализации оптимальной схемы проекта.
Оптимизация перекрытий в строительстве является актуальным направлением развития техники [1]. В перспективных композиционных материалах применяется армирование наполнителя силовыми волокнами. Например, таким образом получают углепластики, которые всё чаще начинают применять в авиационной и космической технике. Целью работы является исследование исключительно массовых характеристик силового армирующего каркаса для минимизации расхода материала и снижения веса конструкции. Армирование конструкции может применяться не только в композиционных материалах, но и в традиционной технике. В частности, в строительстве железобетонные конструкции содержат как наполнитель в виде раствора бетона для работы на сжимающие напряжения, так и арматуру для восприятия растягивающих нагрузок. В космической технике очень важной характеристикой армированных конструкций становится не только их прочность, но и масса. Содержательная формулировка задачи сводится к выбору рациональной формы армирующей сетки с целью получения как можно меньшей массы изделия. При армировании конструкции или наполнителя композиционного материала внутренний силовой каркас выполняется в виде периодически повторяющихся элементов. В технике часто применяются сотовые конструкции, хорошо выдерживающие нагрузку вдоль ячеек. Для рационального армирования необходимо выбрать элементарную силовую ячейку. В этой работе рассматриваются только прямоугольные армирующие ячейки. Работа началась с исследования квадратной силовой ячейки. Наиболее рациональным звеном являются два взаимно перпендикулярных стержня, уложенные по диагоналям квадрата. В такой ячейке стороны квадрата являются лишними, утяжеляющими конструкцию. Если стержни уложить вдоль сторон квадрата единичной длины, то протяжённость арматуры составит четыре единицы. При диагональном армировании протяжённость будет менее трёх единиц. Однако не всегда есть возможность выполнить строго диагональное армирование. Различные конструкционные элементы могут сместить точку соединения стержней от центра прямоугольника на значительное расстояние. Например, балки перекрытия или арматура не могут быть проложены через оконный проём в стене или в крыше. Придётся сместить точку сходимости четырёх балок от центра. Известным фактом минимизации массы и длины перекрытия является сходимость четырёх балок в центре квадрата. Однако неочевидный результат заключается в количественной оценке утяжеления массы перекрытия при отклонении точки сходимости балок от центра квадрата. Вариация отклонения точки сходимости балок от центра может быть произвольной, не обязательно по осям симметрии квадрата. Пусть сторона квадрата равна 
, но точка сходимости балок смещена от центра квадрата на различные расстояния 
и 
от осей симметрии квадрата, параллельных его сторонам. При таком смещении длина балок перекрытия выражается следующей целевой функцией от двух переменных.
Эта функция была исследована на предмет выполнения необходимых условий экстремума, а затем проверена на достаточность экстремума минимума длины при нулевых смещениях точки сходимости балок от центра квадрата. Аналитическое исследование функции двух переменных на минимум позволило найти экстремальную точку, но не позволило изучить свойства этого локального минимума на предмет пологости или крутизны. Исследование с помощью вторых производных – это очень трудоёмкая задача, поэтому было проведено численное моделирование в среде MathCAD-14 с иллюстративным представлением результата в виде трёхмерного графика. Для квадратной ячейки отклонение точки сходимости стержней от центра на четверть стороны квадрата в любую сторону приводит к утяжелению конструкции не более чем на 5%. Это допустимо для строительных сооружений, но не всегда приемлемо для космической техники.
В работе исследуется зависимость утяжеления конструкции от нарушения строгого диагонального армирования. Рассмотрены не только квадратные элементарные ячейки плоских конструкций, но и прямоугольные. Как и для квадратной области, для прямоугольника была сформирована целевая функция общей длины четырёх балок перекрытия. Перекрытие прямоугольной области тоже было исследовано на предмет локального минимума функции двух переменных. Известный результат нулевых отклонений от центра был дополнен численным моделированием в среде MathCAD-14 утяжеления конструкции при отступе от центра.
Для прямоугольной ячейки отклонение точки сходимости стержней вдоль короткой стороны утяжеляет конструкцию меньше, чем для квадрата, а вдоль длинной – больше. Получены количественные оценки утяжеления балок перекрытия при отступе точки сходимости от центра прямоугольника. Существование локального минимума массы и длины балок при их сходимости в центре прямоугольной области можно доказать методами элементарной геометрии на основе свойства треугольника: сумма длин двух сторон треугольника всегда больше длины третьей стороны. Но количественный анализ утяжеления затруднён даже для простых областей, не говоря о более сложных фигурах [2,3,4].
Даже простая строительная конструкция вызвала много вопросов при анализе отступа от рациональной схемы перекрытия. Для более сложных областей не удаётся получить аналитическое решение и найти точную оптимальную конфигурацию строительной конструкции. Однако визуальными методами с применением компьютеров вполне реально определить допустимые отклонения от видимого на экране экстремума с приемлемой для строительной практики точностью.
Вывод. Разработанный методический материал позволяет иллюстративными методами количественно оценить утяжеление, удлинение, подорожание системы перекрытия прямоугольной области четырьмя балками. Такой результат актуален для больших объёмов строительства, для больших площадей перекрытий, а также для значительных массовых ограничений, например, в авиационной и космической технике.
Литература
, Оробинская фермы покрытий (перекрытий) и оптимизация их высот // Вестник МГСУ: Научно-технический журнал по строительству и архитектуре. – Том 12 Вып. 2 (101). - DOI: 10.22227/1997-0935.2017.2.-М.: ФГБОУ ВО «НИУ МГСУ». - С.172. , Скворцова на основе минимальных поверхностей / II Международная школа конференция студентов, аспирантов и молодых учёных «Биомедицина, материалы и технологии XXI века», 20-23 сентября 2016. – Казанский (Приволжский) федеральный университет. – Казань: Изд. К(П)ФУ, 2016. - С.228. – Эл. ресурс: http://media. /ugd/14a693_b2c3ef2616904b0e83da5ff924c337a3.pdf , Скворцова кубические структуры из стержней и плёнок / X Всероссийский форум студентов, аспирантов и молодых учёных «Наука и инновации в технических университетах». – Санкт-Петербургский Политехнический университет Петра Великого, 24-29 октября 2026. – Секция «Новые материалы и технологии». – С.47-48. – Электронный ресурс: http://ysc. spbstu. ru/forum2016/Forum2016.pdf , Скворцова кубические ячейки из стержней и плёнок для композиционного материала / 59-я Всероссийская научная конференция с международным участием. – МФТИ-ФАЛТ, г. Жуковский, Московская область. – 21-26 ноября 2016 – Секция «Прочность летательных аппаратов». – Доклад 1505. – Электронный ресурс: http://conf59.mipt. ru/static/reports_pdf/1505.pdf