УДК 517.956
Критерии единственности решения задач Дарбу для многомерных сингулярных гиперболических уравнений
В работе изучается ряд задач Дарбу для многомерных сингулярных гиперболических уравнений. Для одних задач получены критерий единственности решения, а для других-доказаны теоремы единственности решения.
Библ. 7 назв.
УДК 517.956
Критерий единственности решения задач Дарбу для многомерных сингулярных гиперболических уравнений.
Задачи Дарбу на плоскости для линейных гиперболических уравнений хорошо изучены [1,2]. Многомерные аналоги этих задач для волнового уравнения предложены [3]. Из-за отсутствия эффективных методов исследования изучение задач Дарбу для многомерных гиперболических уравнений требует специальных исследований и привлечения новых методов, поэтому в этом направлении мало работ (см. [4]). В данной статье предложен метод исследования многомерных гиперболических задач, в частности получены критерии единственности регулярного решения задач Дарбу для многомерных сингулярных гиперболических уравнений, а также доказаны теоремы единственности решения некоторых задач.
§1. Постановки задач и результаты.
Пусть 
-конечная область евклидова пространства 
точек 
, ограниченная поверхностями 
и плоскостью 
где 
-длина вектора 
, а 
Части этих поверхностей, образующих границу 
области 
, обозначим через 
и 
соответственно.
В области 
рассмотрим многомерные сингулярные гиперболические уравнения
, (1)
где 
-оператор Лапласа по переменным 
, а 
-целое положительное число, на важность исследования которых обратил внимание еще ([5]).
Рассмотрим многомерные аналоги задач Дарбу для уравнения (1).
Задача1. Найти в области 
решение уравнения (1) из класса 
, удовлетворяющее краевым условиям
Задача 2. Найти в области 
решение уравнения (1) из класса 
, удовлетворяющее краевым условиям
где 
-решение задачи Коши для уравнения (1) с данными
Рассмотрим также задачи 1* и 2*, которые, соответственно, отличается от задач 1 и 2 лишь тем, что вместо 
задаются 
.
В дальнейшем нам удобно перейти от декартовых координат 
к сферическим 
, 
Пусть 
-система линейно независимых сферических функций порядка 
Через 
обозначим коэффициенты разложения ряда по сферическим функциям 
функций 
Имеет место
Теорема 1. Если 
, то задачи 1 и 2 имеют бесчисленное множество нетривиальных решений.
Теорема 2. Решения задач 1 и 2 
Теорема 3. 
решения задач 1* и 2* тривиальны.
Отметим, что при 
эти теоремы получены в [2].
Если ввести новую неизвестную функцию 
то задачи 1 и 2 при 
распадаются на две следующие задачи
Задача 3.Найти в области 
решение уравнения 
удовлетворяющее краевым условиям
где 
-решение задачи Коши для уравнения 
с данными 
Задача 4. Найти в области 
решение уравнения
(3)
удовлетворяющее краевым условиям
где 
-решение задачи Коши для уравнения 
с данными 
Рассмотрим также задачи 3* и 4*, которые, соответственно, отличается от задачи 3 и 4 лишь тем, что вместо 
задаются 
§2. Доказательство теоремы 1 при 
.
Пусть 
. В этом случае [7,8] показано, что задача 3 имеет бесчисленное множество нетривиальных решений вида
(5)
где функции 
определяются из двумерных задач Дарбу.
Для решения задач 1 и 2 достаточно решить задачу 4, где 
определяется из (5). Ее решение 
будем искать в виде ряда
, (6)
где 
-функции, которые будут определены ниже.
Подставив (6) в (3), используя ортогональность сферических функций 
([9]), получим
(7)
Далее, из краевых условий (4) для функций 
соответственно будем иметь
(8)
где 
-решение задачи Коши для уравнения 
с данными 
Наряду с уравнением (7) рассмотрим уравнение
(9)
Используя функциональная связь между решениями задачи Коши для уравнений (9) и (7), а также результаты [10] в [8] доказана, что задача (7), (8) имеет бесчисленное множество ненулевых решений.
Далее, аналогично [4,10] доказывается, что задача 4 также имеет бесчисленное множество нетривиальных решений вида (6), где 
определяются из двумерных задач Дарбу (7),(8).
Теорема 1 при 
доказано.
§3. Доказательство теоремы 1 при 
Справедливость теоремы 1 установим методом индукции по 
.
Пусть она верна при 
Теперь ее покажем для 
В этом случае задачи 1 и 2 можно разбить на две следующие задачи.
Задача 5. Найти в области 
решение уравнения 
удовлетворяющее краевым условиям
, 
,
где 
-решение задачи Коши для уравнения 
удовлетворяющее начальными данными
и задаче 4.
Рассмотрим также задачу 5*, которая отличается от задачи 5 лишь тем, что вместо 
задаются 
.
По предположению задача 5 при 
имеет нетривиальные решения 
вида (5). Значит, как в случае 
, задача 4 также имеет бесчисленное множество ненулевых решений вида (6).
Теорема 1 доказано.
§4. Доказательство теорем 2 и 3.
Сначала установим справедливость теоремы 2 при 
.
Пусть 
, тогда как показано в [6] решение задачи 3 
откуда следует, что решение задачи 4 также 
Таким образом, если 
, то решения задач 1 и 2 
Пусть теперь решения задач 1 и 2 
Покажем, что 
. Предположим противное т. е. 
Тогда из теоремы 1 приходим к противоречию.
Теорема 2 при 
доказана.
Пусть теперь теорема 2 верна при 
. Ее установим для 
По предположению, если 
, то решения задачи 5 
откуда и из [6] следует, что решения задачи 4 также 
Первая часть теоремы 2 показано.
Пусть далее решения задачи 1 и 2 
Покажем, что 
Предположим противное т. е. 
Тогда из теоремы 1 приходим к противоречию.
Теорема 2 доказано.
Теперь установим справедливость теоремы 3. Сначала рассмотрим 
. В этом случае из [6] вытекает, что для 
решения задачи 3* 
, откуда следует, что решения задачи 4* также 
Следовательно решения задач 1* и 2* при 
Пусть теперь 
и теорема 3 верна при 
Ее докажем для 
По предположению, если 
, то решения задач 5* 
, откуда и из [6] следуем, что решения задачи 4* также 
Таким образом, решения задачи 1* и 2* 
Теорема 3 доказано.
Литература
Бицадзе классы уравнений в частных производных – М.: Наука, 1981-448 с. Нахушев математической биологии – М.: Высшая школа, 1995-301 с. Protter M. H. New boundary value problems for the wave equation and equations of mixed type // I. Rational Mech. and Analysis, 1954, vol. 3, №4, p. 435-446. Алдашев задачи для многомерных гиперболических и смешанных уравнений-Алматы:Гылым, 1994-170с. Бицадзе смешанного типа-М.: Изд-во АН СССР, 1956-164 с. Алдашев единственности решения задачи Дарбу-Проттера для многомерного уравнения Эйлера-Дарбу-Пуассона. Математический журнал, Алматы, 2003,т.3, №3(9)-с.12-19. Алдашев Дарбу-Проттера для одного класса многомерных сингулярных гиперболических уравнений// Неклассические уравнения математической физики. Новосибирск: ИМ СО РАН, 2000-с.116-118. О задачах Дарбу-Проттера для одного класса многомерных сингулярных гиперболических уравнений // Вестник КазГУ, сер. мат.,мех.,инф. Алматы, 2001, №1(24)-с.51-63. Михлин сингулярные интегралы и интегральные уравнения-М:Физматгиз, 1962-254 с. О задачах Дарбу-Проттера для одного класса многомерных гиперболических уравнений// Дифференциальные уравнения-1998, т.34,№1-с.1-5.
050012, Алматы, Казахстан, ул. Толе би, 86
Казахский национальный педагогический университет им. Абая, ФМФ, , д. ф.-м. н., профессор, зав. кафедрой
050008. Алматы, Казахстан, кв.3, ,
e-mail: *****@***
