Методические рекомендации по подготовке

выпускников к итоговой аттестации

  Учитель математики

  МАОУ СОШ № 000

  г. Челябинск 

  Задание №14 ЕГЭ

  Задача С2 (№14) относится к задачам ЕГЭ по математике 2016 года с развернутым ответом.  При выполнении задачи в бланке ответов № 2 должно быть записано полное обоснованное решение и ответ. Требуется, чтобы сделанные выкладки были последовательны и логичны, ключевые моменты решения обоснованы, а математические термины и символы использованы корректно.  Задача С2 является стереометрической задачей средней сложности, посильной для большинства успевающих выпускников. Полное правильное решение  задачи С2 оценивается 2 баллами.  Оценка выполнения задач второй части проводится экспертами на основе специально разработанной системы критериев, базирующейся на следующих требованиях. Метод и форма записи решения могут быть произвольными, но решение должно быть математически грамотным, полным и  обоснованным. При этом оцениваются продвижения выпускника в решении задачи. При решении задачи можно использовать без доказательств и ссылок любые теоретические факты, содержащиеся в учебниках и учебных пособиях, допущенных или рекомендованных Министерством образования и науки РФ.



Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­ния

Баллы

Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ. Обос­но­ва­ние не со­дер­жит не­вер­ных утвер­жде­ний.

2

Ре­ше­ние со­дер­жит обос­но­ван­ный пе­ре­ход к пла­ни­мет­ри­че­ской за­да­че, но по­лу­чен не­вер­ный ответ или ре­ше­ние не за­кон­че­но.

ИЛИ

При пра­виль­ном от­ве­те ре­ше­ние не­до­ста­точ­но обос­но­ва­но.

1

Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.

0


  Открытый банк задач содержит очень разнообразные стереометрические задания части С.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

При решении задач С2 часто требуется найти расстояния:

    от точки до прямой; от точки до плоскости; между скрещивающимися  прямыми; между прямой и параллельной ей плоскостью;

или найти угол между:

    прямыми; прямой и плоскостью; плоскостями.

Иногда задачи усложняются тем, что необходимо сначала построить сечение данного многогранника плоскостью, а затем найти либо  площадь сечения, либо угол между плоскостью сечения и плоскостью одной из граней многогранника.

  Сечение  многогранника плоскостью – это  многоугольник, вершины которого являются  точками пересечения секущей плоскости с ребрами многогранника, а стороны являются  отрезками пересечения секущей плоскости с гранями многогранника.

Правила построения сечений:

    Для построения сечения необходимо отметить точки пересечения секущей плоскости с ребрами фигуры (эти точки, как правило, даны по условию задачи). Через полученные точки, лежащие в одной грани необходимо провести отрезки. Если невозможно соединить точки, строим след (это прямая, по которой пересекаются плоскость сечения и одна из граней многогранника). Находим точки пересечения следа с ребрами многогранника. На поверхности многогранника проводим отрезки, соединяющие полученные точки на ребрах. Многогранник, ограниченный данными отрезками, и есть построенное сечение.

Проверка правильности построения:

    Если секущая плоскость пересекает противоположные грани параллелепипеда по отрезкам, то эти отрезки – параллельны. Не забываем проверить, чтобы в каждой грани многогранника было не более одного отрезка, являющегося стороной сечения. Не забываем проверить, чтобы все стороны полученного сечения находились на поверхности многогранника, а не внутри. Полученное сечение должно быть плоским многоугольником.

  Построение сечений сам по себе процесс сложный, однако правильно построить недостаточно, нужно еще кратко описать построение этого сечения. Здесь важно указать в какой последовательности соединялись точки, если таковые были изначално даны. Можно соединять только те точки, которые лежат в одной грани, т. к. если точки лежат в разных гранях, то отрезок их соединяющий окажется не на поверхности многогранника, а внутри. В таких случаях приходится приводить пример учащимся неразрезанного куска масла, который предназначался для бутерброда: прямоугольный парараллелепипед из масла, разрезая ножом мы предполагаем выполнить срез таким образом, чтобы нож не застрял в этом куске, иначе придется есть хлеб без масла. Этот пример дает наглядное представление о завершенности разреза, т. е. правильного сечения. Далее важно, чтобы в каждой грани был проведен только один отрезок или ни одного, т. к. в противном случае будет нарушена третья аксиома стереометрии, указанная в учебнике . (Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, на которой лежат все общие точки этих плоскостей). Еще очень важный момент, на который хочется обратить внимание: сечение должно получиться плоской фигурой,  никакого искривления пространства. Готовя данное сообщение пришлось пересмотреть большое количество литературы. Многие авторы предлагают рисунки с построенными сечениями, выполненными с ошибками, и предлагают учащимся найти эти ошибки. Возможно это неплохая методика, но она чревата последствиями. Наши старшеклассники в силу большой загруженности несметным количеством  иформации, которую мы стараемся им вложить в их головы,  могут запомнить неверное решение. Думается луше устно объяснить, какие могут быть ошибки при построении сечений, и проверять их работы уже по факту. Выполнили построение с ошибками, сразу нужно постараться исправить. Хотя конечно у каждого учителя, обучающего старшеклассников уже выработались свои подходы к данной проблеме.  И, конечно, обращаем внимание  на параллельность прямых, по которым пересекаются две параллельные плоскости третьей. Здесь необходимо вспомнить свойство параллелепипеда о параллельности его противоположных граней.

  Рассмотрним два задания на построение сечений параллелепипеда и тетраэдра. В каждом из предложенных примеров можно указать на след, образованный при пересечении плоскости основания и секущей плоскости. На первом рисунке следом является прямая DC, а на втором рисунке PC. Понятие следа в учебнике не дается, но оно не такое уж сложное и во многих задачах помогает увидеть расположение секущей плоскости и правильно построить. Предлагаем один из вариантов построения сечений и описания этих построений. В тех пунктах, где возможно соединение двух точек, указан только получившийся отрезок.

  №1

  Построить сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки A, B и С, лежащие соответственно на  ребрах , , ST.

  План построения сечения

AB AB ∩ PR = D DC ∩ PS = E AE BF | | EC FK | | AE KC ABFKCE – искомое сечение

№2

Построить сечение тетраэдра PRST плоскостью, проходящей через точки A, B и C, лежащие соответственно на ребрах PS, TR, RS.

План построения сечения

BC AC AC ∩ PR = D DB DB ∩ PT = E EA ACBE – искомое сечение

Практическая работа по построению сечений параллелепипеда.

Приложение 1

На каждом из восьми указанных рисунков отмечены по три точки. Необходимо построить сечения параллелепипедов, проходящих через эти точки.

  Приложение 2

Опора-памятка

Аксиома 1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

Аксиома 2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.

Аксиома 3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

Следствия из аксиом:

Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.

Способы задания плоскости:



Единственная плоскость проходит через три точки, не лежащие на одной прямой. Единственная плоскость проходит через прямую и не лежащую на ней точку. Единственная плоскость проходит через две пересекающиеся прямые. Единственная плоскость проходит через две параллельные прямые.

Практическая работа по построению сечений тетраэдра.

Приложение 4

Построить сечения, проходящие через три отмеченные точки или через одну точку параллельно указанной плоскости.

Задания ЕГЭ

  Теперь рассмотрим ряд заданий из открытого банка задач, которые усложнены построением сечений.

За­да­ние 14 № 000. Точка E — се­ре­ди­на ребра куба . Най­ди­те пло­щадь се­че­ния куба плос­ко­стью если ребра куба равны 4.



Построение:
    A, AE, EF  | |  AD, где F – середина , , – искомое сечение.

Теория:
    Свойство параллельных плоскостей, Теорема Фалеса, Формула диагонали квадрата, Определение трапеции, S трапеции.
Решение:
    = 4, значит EF = 2, ∆ABE: AE = = 2, EH  |  , AH = , EH = = 3, S = (4 + 2) 3 = 18.
Ответ: 18.

За­да­ние 14 № 000. В пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­де MABCD с вер­ши­ной M сто­ро­ны ос­но­ва­ния равны 6, а бо­ко­вые рёбра равны 12. Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точку C и се­ре­ди­ну ребра MA па­рал­лель­но пря­мой BD.

Построение:
    E – середина МА, СЕ, СЕ ∩ МО = Р (в ∆СМА СЕ и МО - медианы), Чрез Р проведем прямую GF | |  DB, CFEG – искомое сечение.




Теория:
    Признаки подобия треугольников, Диагональ квадрата, Медиана в треугольнике, Площадь выпуклого четырехугольника, sin90°.
Решение:
    Проведем EH  |  СА, СН = АН =  ∙ 6 = 4,5, ОМ = = 3, значит ЕН = 1,5, СЕ = = 6,

    ∆MGF ~ ∆MDB, OM : OP = 3 : 2, GF : DB = 2 : 3, GF = = 4,

    S = GF ∙ CE = ∙ 4 ∙ 6 = 24.

Ответ: 24.

За­да­ние 14 № 000. В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де PABCD, все ребра ко­то­рой равны 6, точка K Ї се­ре­ди­на бо­ко­во­го ребра AP.

а) По­строй­те се­че­ние пи­ра­ми­ды плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точку K и па­рал­лель­ной плос­ко­сти BCP.

б) Най­ди­те угол между плос­ко­стью се­че­ния и плос­ко­стью ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды.

Построение:
    GK | | PB (в грани ABM), где G – середина АВ, GF  | |  BC (в грани ABCD), где F – середина DC, FE  | |  PC (в грани DPC), где E – середина PD, Соединим точки Е и К (в грани РАD), KGFE – искомое сечение.

  В треугольнике DPA EK – средняя линия, значит EK  | |  AD, аналогично GF  | |  AD => GF  | |  EK, но отрезок EF не параллелен KG, значит KGFE – трапеция.

Теория:
    Теорема Фалеса, Определение трапеции, Параллельность двух прямых третьей (транзитивность), Линейный угол двугранного угла, Теорема об углах с сонаправленными сторонами.
Решение:
    Плоскости EFG и АВС пересекаются по прямой FG. S – середина EK, О – середина FG (центр основания), SO  |  FG,

TO  |  FG, где Т – середина DA. Значит угол SOT – линейный угол двугранного угла,

    PN – высота треугольника PCB. Углы PNO и SOT равны как углы с сонаправленными сторонами. PN = 3 как высота в равностороннем треугольнике PCB, cos/ PON+ = = .
Ответ: arccos.

  За­да­ние 14 № 000. В пи­ра­ми­де DABC пря­мые, со­дер­жа­щие ребра DC и AB, пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

а) По­строй­те се­че­ние плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точку E — се­ре­ди­ну ребра DB, и па­рал­лель­но DC и AB. До­ка­жи­те, что

по­лу­чив­ше­еся се­че­ние яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ни­ком.

б) Най­ди­те угол между диа­го­на­ля­ми этого пря­мо­уголь­ни­ка, если DC = 24, AB =10.

Построение:
    EK | |  CD (в грани CBD), ЕМ | |  АВ (в грани АВD), KF | |  AB (в грани АВС), MF, MFKE – искомое сечение.


Теория:
    Теорема Фалеса, Свойство средней линии треугольника, Параллельность двух прямых третьей (транзитивность), Свойство прямоугольника, Угол между двумя прямыми, Теорема косинусов.
Решение:
    Т. к. EМ | |  АВ и Е – середина DB, то М – середина AD, значит ЕМ – средняя линия треугольника ABD, Аналогично KF - средняя линия треугольника ABС, получаем, EМ | |  KF и ЕМ = KF, значит MFKE – параллелограмм, EМ | |  АВ, EК | | DC, DC  |  AB, следовательно ЕМ  |  ЕК, а значит MFKE – прямоугольник, ЕК = CD = 12, ЕM = AB = 5, MKІ = MEІ + EKІ = 169, MK = 13, MO = OK = EO = OF = 13 : 2 = 6,5, Т. к. ЕМ ˂ ЕК, то по теореме косинусов ЕМІ = МОІ + ОЕІ - 2МО∙ОЕ∙cos/ ЕОМ, откуда cos/ ЕОМ = .
Ответ: arccos.

Используемые источники


Геометрия. 10 – 11 классы : учеб. для общеобразоват. учреждений 6 базовый и профил. Уровни /

Издание: 22-е изд. - М.:Просвещение, 2013.

fipi. ru mathege.ru. Открытый банк задач ЕГЭ по математике examer. ru geogebra. org Живая Геометрия (Geometer's SketchPad)