Среда с нулевым показателем преломления состоящая из электрических диполей

СРЕДА С НУЛЕВЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ ПРЕЛОМЛЕНИЯ СОСТОЯЩАЯ ИЗ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ДИПОЛЕЙ.

,

ТОГУ «Тихоокеанский государственный университет», г. Хабаровск

E-mail: ekaterina. *****@***ru

На основе микроскопического анализа исследована возможность получения искусственной среды с нулевым или квазинулевым показателем преломления. Среда сконструирована  из плоскопараллельных монослоев, составленных из точечных электрических диполей. Так же в данной работе рассматривалось  формирование преломленной и отраженной волн при падении на плоскую неподвижную границу раздела вакуум-диэлектрик плоской монохроматической s-поляризованной волны. Получены выражения для коэффициентов пропускания и отражения Френеля. Показано, что рассматриваемая среда может вести себя как среда с нулевым показателем преломления  только при нормальном падении излучения. При этом фазовая скорость волны в среде бесконечно велика.

Проблеме получения метаматериалов с нулевым показателем преломления уделяется значительное внимание исследователей. В этих работах осуществляется аналитическое или численное решение макроскопических уравнений Максвелла. Свойства среды при этом описываются эффективными значениями электрической и магнитной проницаемостей. Микроскопический анализ этой задачи не проводился. Однако этот анализ необходим, как для понимания физического механизма рассматриваемых явлений, так и для получения соотношения между микроскопическими характеристиками среды. Механизм изменения скорости распространения преломленной волны в модели рассеивающих падающее излучение невзаимодействующих между собой точечных диполей показан в работе Сивухина [1]. Такой подход позволил описать преломление на границе раздела и изменение фазовой скорости света в среде, но не объяснил, например, поворот вектора поляризации при преломлении.

В настоящей работе, на основе микроскопического анализа исследуется возможность получения искусственной среды с нулевым или квазинулевым показателем преломления, рассматривается формирование преломленной и отраженной волн при падении на плоскую неподвижную границу раздела вакуум-диэлектрик плоской монохроматической s-поляризованной волны. По сравнению с моделью Сивухина поле диполя учитывается полностью, а не только в волновой зоне и, кроме того, учитывается взаимодействие дипольных монослоев между собой. 

Среда предполагается состоящей из плоскопараллельных монослоев, составленных из точечных электрических диполей. Поле диполя учитывается полностью. Монослои расположены в плоскостях xy, пересекающих ось z в точках . Расстояния между монослоями одинаковы и равны а. Волновой вектор лежит в плоскости yz и имеет две ненулевые составляющие . В пределах одного монослоя диполи расположены неупорядоченно с плотностью N и с поляризуемостью A=, и не взаимодействуют между собой. Учтено взаимодействие между дипольными монослоями. Плоская монохроматическая s-поляризованная волна, падает на плоскую неподвижную границу раздела вакуум-диэлектрик. Поскольку внешнее поле распространяется вперед, рассматривается рассеяние последовательными монослоями диполей, причем учитывается  то, что каждый монослой диполей находится в поле излучения других монослоев.

Пусть на монослой падает под углом б поляризованное вдоль оси х монохроматическое поле с частотой , волновым вектором и вектором поляризации . Индуцированный этим полем дипольный момент p-го атома (с координатой в момент времени , где - расстояние от диполя до точки наблюдения (), равен

,  (1)

где k=.  Электрическое и магнитное поля определяются выражениями [1]

,  (2)

,  (3)

где и - параллельная и перпендикулярная относительно составляющие дипольного момента соответственно.

Поля и , рассеянные монослоем в точке наблюдения (),  имеют вид

,  (4)

  (5)

где , а и - единичные векторы вдоль осей x и  y.

Надо учесть, что при выводе выражений (4),(5) суммирование по координатам диполей было заменено интегрированием по плоскости монослоя, то есть дискретные излучающие центры были заменены непрерывно распределенными источниками. В этом случае поле излучения реальной среды не отличается от соответствующего поля ее идеализированной модели уже на расстояниях от границы порядка среднего межатомного. Поэтому выводы, формулируемые в данной работе справедливы на расстояниях от монослоя, больших чем средние межатомные [1]. Поэтому если расстояние между монослоями а больше межатомных расстояний, а длина волны много больше расстояний между монослоями л, то результаты этой работы справедливы для большей части ближней зоны, исключая область исследуемую, например, в работе [2], где как раз и необходим учет дискретной структуры источников излучения.

Выражение (4)  для  представим в виде

.

Но  выражение

,  (6)

фактически представляет собой преломленную волну с компонентой волнового вектора вдоль оси z, распространяющуюся вперед в среде. Поэтому можно сказать, что излучение первого монослоя диполей гасит падающую волну и формирует преломленную (теорема погашения Эвальда-Озеена [3]).  И так далее.

Под действием внешнего поля  диполи становятся  источниками вторичных когерентных волн, определяющих структуру электромагнитного поля в среде. Излучение вторичных источников, распространяющееся назад, создает отраженную волну. Определим отраженную монохроматическую волну, рассеянную диполями. Отраженные поля и формируются отраженными от всех монослоев волнами и имеют вид:

,  (7)

где .

Величина () - это коэффициент отражения. В оптическом диапазоне длин волн (), раскладывая в ряд функцию и учитывая член первого порядка малости, при получаем,

,  (8)

где - коэффицент отражения Френеля.

Если учесть в разложении второй порядок малости, то для () получаем выражение , совпадающие по виду с формулой Друде [4].

Магнитное поле,  рассеянное средой назад, имеет вид

,  (9)

Совокупность отраженных полей, в выражениях (7 - 9) представляет собой поперечную отраженную волну. Из выражений  (7 - 9) также следует закон отражения.

В точке нахождения диполя n-го монослоя поле формируется как волнами, распространяющимися вперед, так и отраженными от последующих монослоев. Полное поле в точке с координатами ()  имеет вид:

 

,  (10)

где .

В оптическом диапазоне длин волн при бесконечном числе монослоев выражение (10) при принимает вид

,  (11)

где  - коэффициент пропускания Френеля, а . Поэтому можно сказать, что в среде распространяется преломленное поле с частотой , волновым вектором и вектором поляризации . Из выражений и ,  следует  определение показателя преломления ,  закон преломления и формула Лорентц-Лоренца.

Магнитное поле в точке нахождения диполя n-го монослоя формируется, как и электрическое, волнами, распространяющимися вперед, и волнами, отраженными от последующих монослоев.

,  (12)

где .

В оптическом диапазоне длин волн и в случае разреженной среды получаем, что . Отсюда следует, что , причем . Значит - это угол между волновым вектором переломленной волны и осью . Вектор поляризации магнитного поля перпендикулярен волновому вектору . Следовательно преломленная волна

.  (13)

поперечна и распространяется вперед под углом к оси .

Таким образом, совокупность полей (11) и (13) представляют собой преломленную поперечную волну. При решении задачи Френеля с использованием уравнений Максвелла или аппарата интегральных уравнений поперечность переломленной волны предполагается изначально. Здесь же это следует из расчета. На границе среды (т. е. в точках нахождения диполей первого монослоя) выражения  (11) и (13) переходят в обычные при записи граничных условий выражения для преломленной волны. Значит для поворота вектора поляризации магнитного поля  необходим учет отраженных от последующих монослоев волн. Можно утверждать, что обычно делаемое изначально предположение о поперечности преломленной волны неявно учитывает наличие отраженной (в среде) волны, которую  поэтому и не нужно учитывать явно в граничных условиях. Это и приводит к правильным значениям коэффициентов Френеля. 

Модель слоистой среды, рассматриваемая в данной работе, содержит много монослоев. Поэтому учитываются волны, отраженные от них, т. е. рассеянные ими назад. А возможность осуществить предельный переход к случаю сплошной среды (ал) позволяет выяснить причину их отсутствия в обычно используемых граничных условиях. В работе используется поле в точке нахождения диполя n-го монослоя  с координатами (), (10). Учитывая член первого порядка малости, при условии, что , выражение можно представить в виде и подставить в выражение (10). Получим:

,

Вещественный вектор лежит в плоскости yz и имеет две ненулевые составляющие. Представив величину в виде , можно ввести показатель преломления среды :

.

Введем обозначение . Тогда квадрат показателя преломления будет иметь вид

.

Выполнение равенства

  (14)

соответствует нулевому значению . Выполнение равенства (14) возможно только (учитывая вещественность ) при  Тогда . Значит, что . Так как  , то отсюда получается, что вещественная часть поляризуемости отрицательна ().

Таким образом, рассматриваемая среда может вести себя как среда с нулевым показателем преломления (=0) только при нормальном падении излучения и при выполнении условия . Физически это означает, что набег фазы волны, обусловленный излучением монослоя, компенсируется набегом фазы , обусловленным распространением волны вперед между монослоями. Равенство =0 приводит к равенству нулю  волнового вектора преломленной волны (). Учитывая, что , где - это фазовая скорость волны в среде, получаем, что фазовая скорость равняется бесконечности .

Л И Т Е Р А Т У Р А

Сивухин по физической оптике.- Ч.1 Новосибирск: Новосибирский гос. Ун-т, 1968.- С.354. Gadomsky O. N., Kadochkin A. S. Metastructural systems of activated nanospheres and optical near-field resonances. // Optics and Spectroscopy. - 2005. v. 98, № 2, p. 265-272.   сновы оптики // Пер. с англ. М.: Наука.- 1973.-С.721 Кизель света //М.: Наука.- 1967. - С. 352