Расчет неоднородных балок

УДК 539.3

РАСЧЕТ НЕОДНОРОДНЫХ БАЛОК

Саратовский государственный технический университет имени

Аннотация. В данной статье изучается влияние технологической неоднородности свойств материала балки, на ее напряженно-деформированное состояние. Рассмотрены задачи изгиба балки из нелинейно-деформируемого материала под действием поперечной нагрузки при различных вариантах упрочнения поверхностных слоев: двустороннем и одностороннем упрочнении по толщине. Проведена оценка качественного изменения эпюр напряжений по толщине балки при различных отношениях предела прочности упрочняющего материала к пределу прочности исходного материала.

Ключевые слова: неоднородность, физическая нелинейность, функция неоднородности, фронт упрочнения, толщина упрочняющего слоя, повышенные прочностные свойства, инкрементальное уравнение, поперечная нагрузка.

CALCULATION OF NON-UNIFORM BEAMS

Mishchenko Roman Viktorovich

Yuri Gagarin State Technical University of Saratov

Annotation. This article examines the impact of technological heterogeneity of the properties of the beam material, its stress-strain state. We consider the problem of bending of the beam from the non-linear deformable material under shear load in different variants of hardening of the surface layers: the bilateral and unilateral hardening thickness. The evaluation of qualitative changes in stress distribution across the thickness of the beam at different ratios of tensile strength of the reinforcing material to the limit of the original strength of the material.

Keywords: heterogeneity, physical nonlinearity, inhomogeneity function, strengthening the front, the thickness of the reinforcement layer, increased strength properties, incremental equation, the lateral load.

При исследовании напряженно-деформированного состояния строительных конструкций работающих на изгиб видно, что материал в них используется очень нерационально. Основную часть действующей нагрузки воспринимают крайние волокна материала, в то время как в окрестности нейтральной оси балки материал используется намного меньше его прочностных возможностей. Для того, чтобы увеличить эффективность использования материала в изгибаемых конструкциях, создадим в них с помощью специальных технологических приемов неоднородность по толщине, причем неоднородность создается в зонах верхних и нижних волокон изгибаемой конструкции, ввиду того, что эти зоны воспринимают основную часть действующей нагрузки и, следовательно, необходимо, чтобы в этих зонах материал обладал повышенными прочностными свойствами. Слои материала, имеющие неоднородность свойств по толщине будем называть упрочненными слоями, а линию ограничивающую основной материал от упрочненного (неоднородного) будем называть фронтом упрочнения. Создание неоднородности по толщине изгибаемых строительных конструкций позволит использовать, в качестве основного материала, материал с низкими прочностными характеристикам и малым объемным весом, но при этом с улучшенными техническими и технологическими характеристиками (малой теплопроводностью, газопроницаемостью и т. д.).

В данной статье рассматривается задача в следующей постановке. В качестве изгибаемой конструкции берется балка, которая находится под действием поперечной нагрузки. В качестве основного материала балки используется материал с малым объемным весом и низкими прочностными характеристиками. При использовании технологических приемов, не обсуждаемых в данной статье, в крайних верхних и нижних волокнах балки создается неоднородность по толщине путем введения упрочняющего материала в основной, либо неоднородность создается путем облучения крайних волокон балки физическими полями. В результате выполнения подобных технологических операций образуются слои технологической неоднородности материала толщиной sж, прочностные свойства которых изменяются по толщине балки. Неоднородность создается таким образом, чтобы изменение прочностных свойств происходило плавно от упрочненного слоя к основному материалу. В этом случае не образуются концентраторы напряжений в местах контакта основного и упрочняющего материалов. На рис. 1 изображен фрагмент балки при двустороннем упрочнении и основные обозначения.

Рис. 1. Фрагмент балки при двустороннем упрочнении

В этом случае в поверхностных слоях основного материала балки концентрация упрочняющего материала в основном материале должна уменьшаться от поверхности балки к фронту упрочнения. В связи с тем, что по толщине слоя неоднородности концентрация упрочняющего материала разная, то в каждой точке слоя неоднородности диаграммы деформирования будут различными. Исследования авторов [4, 5] показали, что изменение прочностных характеристик в пределах слоя неоднородности, в зависимости от концентрации упрочняющего материала в основном материале, выражается в виде экспоненциальной зависимости. Используя феноменологический подход вводим в пределах фронта упрочнения функцию неоднородности , которая будет учитывать изменение временного сопротивления материала, ввиду изменения концентрации упрочняющего материала, по толщине слоя.

Функция неоднородности материала нелинейная, а ее производная в точках линии фронта упрочнения должна обращаться в ноль . В дальнейшем использована следующая функция неоднородности

  (1)

где расстояние от оси балки до фронта упрочнения в безразмерном виде, толщина балки в безразмерном виде, коэффициент упрочнения, предел прочности (временное сопротивление) упрочняющего материала, предел прочности (временное сопротивление) основного (исходного) материала. Функция неоднородности отлична от единицы только в пределах слоя неоднородности.

В данной статье рассматривается балка выполненная из физически нелинейного, неоднородного материала, поэтому для исследования ее напряженно-деформированного состояния будем решать дифференциальное уравнение изгиба балки в инкрементальной форме. Введение функции неоднородности в инкрементальные физические уравнения осуществляется следующим образом. Используя теорию малых упругопластических деформаций запишем связь между приращением тензора-девиатора напряжений и приращением тензора-девиатора деформаций в безразмерном виде, следующим образом [5]. Где , здесь касательный модуль неоднородного материала в безразмерном виде, касательный модуль основного (исходного) материала в безразмерном виде. Диаграммы деформирования основного материала и упрочняющего материала являются нелинейными.

Запишем дифференциальное уравнение изгиба балки в инкрементальной форме в безразмерном виде (2).

  (2)

где приращение прогиба в безразмерном виде, приращение нагрузки в безразмерном виде, приращение нагрузки, переменная жесткость балки в безразмерном виде, безразмерная координата по длине балки, модуль упругости основного материала балки, момент инерции сечения балки, толщина балки, длина балки, переменная жесткость балки.

Задачу изгиба балки будем решать в двух постановках: при двустороннем упрочнении (упрочнение крайних волокон растянутой и сжатой зон) и при одностороннем упрочнении (упрочнение крайних волокон растянутой зоны) по толщине.

Переменная по длине балки жесткость в безразмерном виде при двустороннем упрочнении записывается в следующей форме

  (3)

Переменная по длине балки жесткость в безразмерном виде при одностороннем упрочнении выглядит следующим образом

  (4)

где ширина балки в безразмерном виде, расстояние от крайних волокон до нейтральной оси балки.

На рис. 2 изображен фрагмент балки при одностороннем упрочнении растянутой зоны и основные обозначения.

Рис. 2. Фрагмент балки при одностороннем упрочнении растянутой зоны

При одностороннем упрочнении балки функция неоднородности (1) примет следующий вид

  (5)

где толщина слоя неоднородности балки в безразмерном виде.

Положение нейтральной оси (линии центра тяжести) балки находим из условия, что суммарная осевая сила, действующая в поперечном сечении (на нейтральной оси), равна нулю, откуда имеем следующее условие

  (6)

Решая уравнение (6) находим положение нейтральной оси балки .

Для исследования напряженно-деформированного состояния балки из нелинейно-деформируемого и неоднородного материала при двустороннем упрочнении необходимо решить уравнение (2) при соответствующих граничных условиях и переменной жесткости вида (3).

Для исследования напряженно-деформированного состояния балки при одностороннем упрочнении необходимо решить уравнение (2) при переменной жесткости вида (4) удовлетворяя условию (6).

  При исследовании поставленной задачи для решения уравнения (2) для обоих вариантов упрочнения применялся метод конечных разностей (МКР) [2, 3]. При этом длина балки разбивалась на 128 частей. При вычислении определенных интегралов вида (3), (4) и (6) применялся метод Симпсона, а толщина балки разбивалась на 64 части. Для повышения точности полученных результатов применялся двухшаговый метод последовательного возмущения параметров (ДМПВП) [4, 5] причем нагрузка разбивалась на 10 частей. Для математического описания экспериментальных нелинейных диаграмм деформирования использовались кубические сплайны [1].

Рассмотрим балку, жестко защемленную с одной стороны и шарнирно опертую с другой стороны, под действием равномерно распределенной нагрузки. 1 случай (рис. 3, а): упрочнение – двустороннее, функция неоднородности – экспонента (1). 2 случай (рис. 3, б): упрочнение – одностороннее, функция неоднородности – экспонента (5). Безразмерная толщина упрочненного слоя для обоих случаев равна . На рис. 3, а, б представлены эпюры напряжений при двустороннем и одностороннем упрочнении балки по толщине, номер кривой соответствует величине коэффициента упрочнения K. 

а  б

Рис. 3. Эпюры напряжений в балке при упрочнении ее по толщине

Как видно из рис. 3, а, б при двустороннем и одностороннем упрочнении балки, в пределах основного материала, происходит уменьшение напряжений. При двустороннем упрочнении (рис. 3, а) на линии фронта уменьшение напряжений относительно К=1 (балка без упрочнения) составляет при К=2 – 17,2%, при К=3 – 29,1% и при К=4 – 37,2%. При одностороннем упрочнении (рис. 3, б) на линии фронта уменьшение напряжений относительно К=1 составляет при К=2 – 12,5%, при К=3 – 23,9%, при К=4 – 32,5%. Также на рис. 3, а, б при двустороннем и одностороннем упрочнении, в области упрочненного слоя, происходит увеличение напряжений. При двустороннем упрочнении (рис. 3, а), в пределах слоя неоднородности, в крайних волокнах растянутой зоны балки, увеличение максимальных напряжений относительно К=1 (балка без упрочнения) составляет при К=2 – 76,4%, при К=3 – 132,8% и при К=4 – 178,2%. При одностороннем упрочнении (рис. 3, б), в пределах слоя неоднородности, в крайних волокнах растянутой зоны балки, увеличение максимальных напряжений относительно К=1 составляет при К=2 – 86,4%, при К=3 – 155,7% и при К=4 – 213,4%. На рис. 4, а, б, приведены качественные изменения эпюр напряжений при двустороннем и одностороннем упрочнении.

а  б

Рис. 4. Качественные изменения в эпюрах напряжений

На рис. 4, а, б изображены качественные изменения в эпюрах нормальных напряжений при двустороннем и одностороннем упрочнении балки по толщине, на основании которых можно сделать ряд заключений. Сравнение кривых 2, 3, 4 с кривой 1, где номер кривой соответствует величине коэффициента упрочнения К, позволяет сделать вывод, что наличие слоя неоднородности по толщине балки, в виде упрочняющего слоя, существенно изменяет очертание эпюры нормальных напряжений. Изменение очертания эпюры объясняется перераспределением внутренних напряжений по толщине балки, при ее изгибе, под действием поперечной нагрузки. Перераспределение напряжений происходит таким образом, что в области основного материала с низкими прочностными характеристиками напряжения уменьшаются, а в зонах неоднородности (упрочнения), где прочностные характеристики значительно выше, чем у основного материала, напряжения увеличиваются. 

На основании полученных результатов можно сделать следующий вывод, что наличие слоев технологической неоднородности, в виде упрочняющих слоев, по толщине балки дает возможность направленного регулирования напряженного состояния балки и использования в качестве основного материала, материала с низкими прочностными характеристиками, но с улучшенными техническими и технологическими свойствами. 

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Альберг Дж. Теория сплайнов и ее приложения / Дж. Альберг, Э. Нильсон, Дж. Уолш. – М.: Мир, 1972. – 136 с.

2. Кривошеин методы расчета гибких физически нелинейных пологих оболочек и пластинок: монография. Саратов: Сарат. гос. техн. ун – т, 2015. – 256 с.

3. О сходимости метода конечных разностей при расчете физически нелинейных балок / // Совершенствование методов расчета строительных конструкций и технологии строительства: сб. науч. тр. – Саратов: Сарат. гос. техн. ун – т, 2013. – 28 – 37 с. 

4. Петров расчета балок и пластинок из нелинейно-деформируемого материала: учеб. пособие / , . – Саратов: Сарат. гос. техн. ун – т, 2007. – 148 с.

5. Петров инкрементальная строительная механика. – М.: Инфра-Инженерия, 2014. – 480 с.