ЛЕКЦИЯ 7. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.
МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
7.1 Понятие первообразной функции и неопределенного интеграла
Функция 
называется первообразной для функции 
на промежутке Х, если 
.
Например, для функции 
первообразной является функция 
, т. к. 
.
Теорема. Если 
– первообразная для функции 
на промежутке Х, то любая другая первообразная для 
на этом промежутке имеет вид 
, где 
– произвольная постоянная.
Множество всех первообразных функций 
на промежутке Х, где 
– произвольная постоянная, называется неопределенным интегралом от функции 
на этом промежутке и обозначается символом
.
Здесь 
называется подынтегральной функцией,
– подынтегральным выражением,
– переменной интегрирования,
– знаком неопределенного интеграла
Операция нахождения неопределенного интеграла от функции называется интегрированием этой функции.
Теорема. Если функция 
непрерывна на отрезке 
, то она интегрируема на нем.
7.2 Основные свойства неопределенного интеграла
Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции
.
.
.
.
- постоянная.
.
7.3 Таблица основных неопределенных интегралов
Приведем таблицу основных интегралов.
, 
, 
, 
, 
, 
Вычисление интегралов с помощью основных их свойств и таблицы основных интегралов называется непосредственным интегри-рованием.
Пример 7.1. Найти интеграл 
.
Решение.
.
Пример 7.2. Найти интеграл 
.
Решение.
.
7.4 Метод интегрирования заменой переменной (подстановкой)
Часто удается с помощью замены переменной интегрирования упростить данный интеграл.
Пусть требуется найти интеграл 
.
Выполним подстановку 
, где 
- функция, имеющая непрерывную производную.
Учитывая, что 
, получим формулу интегрирования заменой переменной (подстановкой)
.
Иногда используют подстановку вида 
, тогда
.
Замечание. После нахождения интеграла надо перейти от новой переменной 
к переменной 
.
Пример 7.3. Найти интеграл 
.
Решение.
Пример 7.4. Найти интеграл 
.
Решение.
.
7.5 Метод интегрирования по частям
Пусть 
и 
– функции, имеющие непрерывные производные, тогда справедлива следующая формула интегрирования по частям
.
Доказательство.
Интегрируя равенство
,
получим
или 
.
Рассмотрим некоторые типы интегралов, которые можно найти с помощью метода интегрирования по частям.
1) Интегралы вида
,
где 
– многочлен 
-ой степени, 
– число.
В интегралах этих типов полагают 
, а 
- все остальные сомножители.
2) Интегралы вида
, 
, 
,
, 
,
где 
- многочлен 
-ой степени, 
- число.
В этом случае за 
принимают функцию, являющуюся множителем при многочлене 
.
3) Интегралы вида
, 
.
Эти интегралы находятся двукратным интегрированием по частям.
Пример 7.5. Найти 
.
Решение.
.
Пример 7.6. Найти 
.
Решение.
.
Пример 7.7. Найти 
.
Решение.
.
Пример 7.8. Найти 
.
Решение.
.
Пример 7.9. Найти 
.
Решение.
.
Перенося полученный интеграл в левую часть, получим:
,
отсюда
.
