Учитель математики МОУ "СОШ №2" г. Истры
"Теорема Пифагора"
Урок проводится в 8 классе, при подготовке использовались следующие учебники и пособия:
, , . Геометрия 7-9 класс, Москва; Просвещение 2009.
Глейзер математики в школе. 6-8 класс - Москва, Просвещение 1982.
. Поурочные разработки по геометрии 8 класс. Москва Вако 2004.
Оборудование: интерактивная доска.
Цели урока:
1.Рассмотреть теорему Пифагора.
2.Показать применение теоремы Пифагора в ходе решения задач.
3.Повысить интерес к предмету и познавательную активность школьников.
Ход урока:
Этап 1. Организационный момент.
Учитель демонстрирует слайд2
1ученик. Рассказ о Пифагоре
Говоря о Пифагоре, следует сразу отметить, что о его жизни известно немного. Мы знаем, что в 6 в. до н. э. в Древней Греции жил ученый по имени Пифагор родом из Самоса. В молодости он много путешествовал по странам Востока, побывал в Египте и Вавилоне, где изучал разные науки, в том числе математику. Вернувшись на родину, Пифагор основал философскую школу закрытого типа - так называемый пифагорейский союз. Каждый вступающий в него отрекался от имущества и давал клятву хранить в тайне учение основателя. Пифагорейцы занимались математикой, философией, естественными науками. Ими были сделаны важные открытия в арифметике и геометрии. В школе существовало правило, по которому авторство всех работ приписывалось Пифагору. Так что достоверно неизвестно, какие открытия принадлежат самому ученому.
Учитель демонстрирует слайд 3, затем слайд 4.
2 ученик. Из истории теоремы Пифагора.
Богатую историю имеет теорема, носящая имя Пифагора. Во времена самого ученого ее формулировали так:»Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах». Долгое время считалось, что до Пифагора эта теорема не была известна. В настоящее время установлено, что она встречается в вавилонских текстах, написанных за 1200 лет до Пифагора. Вероятно, тогда теорема еще не была доказана, а соотношение между гипотенузой и катетами было получено опытным путем. Была она известна и древним китайцам, и индусам. Таким образом, Пифагор не открыл замечательное свойство прямоугольного треугольника, но, вероятно, первым обобщил и доказал его, перенеся тем самым из области практики в область науки. К сожалению, сведения о доказательстве до нас не дошли.
Сегодня известно более ста различных доказательств теоремы Пифагора. Учащиеся средних считали доказательство теоремы Пифагора очень трудным и прозвали его «ослиным мостом» или «бегством убогих», так как слабые ученики бежали от геометрии, а те, кто заучивал теоремы наизусть, без понимания, были не в состоянии осилить теорему Пифагора: она служила для них чем - то вроде непреодолимого моста. Из-за иллюстрирующих теорему чертежей учащиеся называли ее также «ветряной мельницей», рисовали забавные карикатуры и придумывали шутливые стишки вроде такого:
Пифагоровы штаны
Во все стороны равны
Слово учителя:
Теорема Пифагора занимает в геометрии особое место. На ее основе можно вывести или доказать большинство теорем. А еще она замечательна тем, что сама по себе вовсе не очевидна. Сколько ни смотри на прямоугольный треугольник, никак не увидишь, что его стороны a, b и c связывает простое соотношение:
c2 = a2 + b2
Ученикам даётся задание:
попытайтесь найти зависимость между длинами сторон данного прямоугольного треугольника и проверьте, верна ли его зависимость для других прямоугольных треугольников.
Учитель демонстрирует слайд 5, слайд 6.
Этап 2. Разминка.
Перед доказательством теоремы Пифагора учитель проводит устную разминку, предложив ученикам несколько задач по готовым чертежам.
Задания по готовым чертежам. Слайд 7
Задача 1.
Определите вид треугольника, изображенного на (рис. 1). Как называются стороны такого треугольника? Укажите названия каждой стороны данного треугольника.
Задача 2.
По данным (рис. 2) найдите угол в.
Задача 3.
По данным (рис. 3) определите вид четырехугольника KMNP.
Замечание. В последней задаче учащиеся должны доказать, что четырёхугольник КMNP - квадрат. Её необходимо обсудить подробно, так как такая же конфигурация используется при доказательстве теоремы Пифагора.
Этап 3. Доказательство теоремы.
После разминки формулируем теорему Пифагора (слайд 8) и доказываем её (слайд 9).
Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС с катетами а, b и гипотенузой с. Докажем, что а2 + b2 = c2. Достроим до квадрата со стороной а + b. Площадь этого квадрата равна (а + b)2. С другой стороны, этот квадрат состоит Из 4х прямоугольных треугольников и квадрата.
Треугольники равны ( так как их катеты равны) значит, их гипотенузы равны. Тогда внутренний четырёхугольник-ромб. Но, так как угол СВА+ угол САВ = 900 (свойства острых углов прямоугольного треугольника), то угол КВА = 900.
Значит, внутренний четырёх угольник – квадрат, его площадь равна с2.
Площадь каждого треугольника равна (аb)/2, а всех четырёх 4Ч(аb)/2 = 2аb.
Этап 4. Закрепление.
На следующем этапе предлагаем учащимся несколько задач по готовым чертежам.
Задача 4. Слайд 10
Вычислите, если возможно:
a) сторону АС треугольника АВС ( рис.4);
б) сторону М треугольника КМ (рис. 5);
ответ: а)√5, б)5
Задача 5. Слайд 11
Вычислите, если возможно:
а) диагональ ВD квадрата ВСDF (рис. 6);
б) сторону КР треугольника КРR (рис. 7).
ответ: а)√2, б)сторону треугольника вычислить нельзя
Задача 6. Слайд 12
Найдите сторону СD параллелограмма АВСD (рис. 8).
ответ: 4√2
Задача 7. Слайд 12
Вычислите высоту СF трапеции АВСD (рис. 9)
ответ: √3
Этап 5. Решение старинной задачи.
На заключительном этапе урока рассматриваем старинную задачу индийского математика 12 века Бхаскары.
Задача 8. Слайд 13
На берегу реки рос тополь одинокий.
Вдруг ветра порыв его ствол надломал.
Бедный тополь упал. И угол прямой
С теченьем реки его ствол составлял.
Запомни теперь, что в том месте река
В четыре лишь фута была широка.
Верхушка склонилась у края реки,
Осталось три фута всего от ствола.
Прошу тебя, скоро теперь мне скажи:
У тополя как велика высота?
Решение на задание 8 появляется позже (слайд 13), Учащиеся записывают его в тетрадь.
Этап 6. Подведение итогов урока.
В итоге урока можно познакомить детей с забавным стихотворением И. Дырченко, которое помогает запомнить формулировку теоремы Пифагора. (слайд 15)
В конце урока даётся домашнее задание.
