Вариант5

Вариант5

На книжной полке случайным образом расставлены 4 учебника и 3 задачника. Найти вероятность того, что все учебники окажутся рядом.

Решение

Применим классическое определение вероятности

Обозначим событие А – четыре учебника окажутся рядом

Найдем : , тогда

Ответ:

Дана схема включения элементов.

2.1 Написать формулу, выражающее событие В через все события А (не забудьте про рисунок)

Найти вероятность события В Вычислить Р(В) при р=1/2

Решение

Цепь состоит из двух параллельных ветвей. Обозначим ветви 1 и 2. Каждая ветвь состоит из последовательно соединенных блоков, каждый блок из которых состоит из двух параллельно соединенных элементов. Цепь работает, когда работает одна из ветвей. Присвоим ветвям номера 1,2. Пусть - событие, означающее безотказную работу ветви с номером k (k=1.2)

Тогда

Ветвь будет безотказно работать, если работает блок 1 и 2: ,

Рассмотрим вторую ветвь. Так как ветви одинаковы, то можно записать 

Таким образом,

Так как элементы, а, следовательно, и блоки работают независимо, то можно применить теоремы сложения и умножения вероятностей1

Вычислим Р(В) при р=1/2

Ответ:

Прибор содержит два независимо работающих блока. Исправность каждого из них необходима для работы прибора. Вероятности отказа блоков за время T: для первого  - р1=0.1, для второго – р2=0,2. Прибор испытывался в течение времени Т и вышел из строя. Найти:

3.1. Вероятность Р(А) отказа прибора за время Т

3.2. Вероятность того, что при отказе прибора за время T отказал только первый блок (применяя формулу Байеса)

Решение

Введем полную группу гипотез

Н1- первый блок отказал, второй блок отказал

Н2 – первый блок не отказал, второй блок отказал

Н3 – первый блок отказал, второй блок не отказал

Н4 – первый блок не отказал, второй блок не отказал

Вероятности гипотез 

Введем событие А – прибор вышел из строя в течение времени Т

Условные вероятности

Найдем вероятность события А

Найдем апостериорную вероятность того, что отказал только первый прибор

Ответ: 1) , 2)

4. По каналу связи посылаются n сообщений. Помехами каждое сообщение может быть искажено с вероятностью р.

4.1 каким должно быть n, чтобы хотя бы одно сообщение дошло не искаженным до адреса с вероятностью не меньшей 0,99 при р=0,3?

4.2 С помощью приближенной формулы Пуассона найти вероятность искажения не более одного сообщения при n=100, p=0,02

Решение

4.1 Предположим отправлено n сообщений. С вероятностью ни одно сообщение не будет доставлено до адресата, получаем что с вероятностью хотя бы одно сообщение не дойдет до адресата.

Подставляем численные заданные значения, получаем

Необходимо отправить 3 сообщения

4.2 по формуле Пуассона (

Ответ: , 

5. Число неисправностей сложного устройства, обнаруживаемых при профилактическом осмотре, распределено по закону Пуассона с параметром а=2. Если неисправностей нет, то устройство запускается в работу немедленно. Если есть одна неисправность, то в течение времени Т она устраняется с вероятностью 0,9. Если неисправности более одной, то устройство ставится на ремонт на время, большее Т, до устранения всех неисправностей. Найти вероятность того, что после профилактического осмотра устройство простоит без работы время, большее Т.

Решение

Введем полную группу событий

Н0 – неисправностей нет

Н1 – одна неисправность

Н2 – есть более одной неисправности

Найдем вероятности гипотез по формуле Пуассона (по условию )

Введем событие А – после профилактического осмотра устройство простоит от работы время большее Т.

Известны условные вероятности

Вероятность события А  найдем по формуле полной вероятности

Ответ:

6. Плотность вероятности случайной величины X задана формулой

Найти: С, , , , , , проверить Ме=1,68, построить графики f(x), F(x)

Решение

Это равенство для нахождения С

Тогда

Находим

При ,

При ,

При ,

Находим

Предварительно найдем ,

Проверим, что Ме=1,68

Графики по возможности строить на одном листе друг за другом (масштаб не обязателен, главное форма графиков

График плотности вероятности

График функции распределения

Ответ: С=1, , , , , ,

7. Параметр X детали распределен нормально с mx=2, равным номиналу. Каким должно быть , чтобы с вероятностью 0,9 отклонение Х от номинала по модулю не превышало 1% номинала.

Дано: нормальное распределение

Найти

Решение

Используем формулу для нормально распределенной случайной величины Х

Так как , то получаем , Ф(х) – нормированная функция Лапласа

Подставим численное значение получим

По таблице Лапласа находим

Ответ:

8. X, Y – индикаторы событий А, В, обозначающих положительные ответы соответственно на вопросы социологической анкеты. По данным социологического опроса двумерная случайная величина (X, Y) имеет следующую таблицу распределения. Положительному ответу присвоен ранг 1, отрицательному 0. Найти коэффициент корреляции

x\y	0	1
0	0.2	0.1
1	0.1	0.6

Решение

Находим таблицы распределения компонент X, Y, используя формулы согласования. Для этого складываем вероятности таблицы по строкам и столбцам.

X	0	1
P	0.3	0.7

Y	0	1
P	0.3	0.7

Вычисляем ,

Находим

Находим

Находим

Находим

Находим

События А, В обнаруживают значительную положительную связь

Ответ:

9.  9.  Двумерная случайная величина (X, Y) распределена равномерно в области D. D –четверть эллипса

9.1. составить плотность вероятности f(x, y)

9.2. Найти f(x) , f(y)

Вычислить: 9.3. , 9.4. 9.5 , 9.6. Выяснить, зависимы или нет X, Y

Решение

Так как двумерная случайная величина (X, Y) распределена равномерно в области D, то плотность распределения имеет вид

В нашем случае , получаем плотность распределения

Так как , то СВ X, Y  зависимы

Находим

Находим . Предварительно найдем ,

;

Предварительно найдем ,

Находим

Предварительно найдем :

, события Х, Y  зависимы.

Ответ: ,  , события Х, Y  зависимы.