УДК  517.947

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА РАСПРОСТРАНЕНИЯ ВРЕДНЫХ ПРИМЕСЕЙ В РЕКЕ РЕКУРРЕНТНО-ОПЕРАТОРНЫМ МЕТОДОМ

                 

Аннотация

  В работе рассматривается решение одномерной задачи диффузии рекуррентно-операторным методом, который описывает процесс распространения вредных примесей вдоль течения реки.

  Приведены полученные численные результаты на ЭВМ, где можно определить за какое время происходит распространение и очищение реки. Полученные результаты проиллюстрированы на рисунках.

Введение

В республике имеется много промышленных предприятий, которые являются неблагоприятными очагами  загрязнения, и они ежедневно выбрасывают огромное количество примесей в воздух. По направлению ветра эти выбросы ложатся на почву водные ресурсы (реки, водохранилища и др.), на растения сельхозпродукты, фрукты и т. п. Кроме того,  с промышленными стоками  предприятий в реки поступает определенное количество  различных веществ, разнообразие которых увеличивается. В связи с этим наиболее рационально вести интегральную оценку загрязнений по обобщенным  гидрохимическим характеристикам качества водных ресурсов: взвешивание вещества, биохимическое потребление кислорода, токсическая метеорология  признака вредности (азот, медь, синтетические поверхности веществ, цинк и др.). Наряду с этим при равномерном росте производства истощение земли, неправильное использование химических удобрений, различные вредные выбросы существенно влияют на водные и земельные ресурсы.

  Эти вредные вещества, естественно, нарушают структуру земли, загрязняют водные ресурсы. Потому математическое моделирование процесса  распространения вредных примесей в реке, влияния экологически неблагоприятных очагов загрязнения на земельные и водные ресурсы имеют первостепенное значение, поскольку без земельных и водных ресурсов нельзя выращивать сельхозпродукты.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

  Математическая постановка задачи. Рассматривается решение дифференциального уравнения диффузии параболического типа, полученное как частный случай уравнения по [1,2], при , которое определяет  интересующие  нас физические процессы, в частности, распространения загрязнения по ширине водотока при бесконечной скорости распространения, а ряд других физических процессов определяется аналогичными уравнениями,  среди них  потенциальное течение, диффузионный перенос  массы, течение через пористую  среду  и некоторые полностью развитые течения  в каналах.

Решения этого дифференциального уравнения диффузии  были рассмотрены численными методами, методом конечных разностей  в монографии , также авторами , . Мы рассмотрим аналитическое решение этого дифференциального  уравнения  с постоянными коэффициентами  новым рекуррентно-операторным методом. [4-7].

  ,  (1)

 

где - концентрация выбросов; загрязняющее вещество - ион нитрата; - осредненная  по времени составляющая скорости по оси ; - коэффициент диффузии; - скорость разрушения субстанции; - функция источника.

Метод решения. Решение уравнения (1) ищется в виде

    (2)

Подставляя решение (2) в (1), получаем следующее рекуррентное уравнение:

    (3)

при  начальных  условиях , при   или   (4)

 

Выписывая несколько первых членов ряда (2), имеем

  (5)

Функция, удовлетворяющая начальным условиям при , следующая:

  .  (6)

Подставляя (6) в (5), имеем

Этот ряд сворачивается в функцию  .

Обсуждение результатов и выводы. Задаваясь в функции  значениями , строим совмещенный график функции 

В рекуррентно-операторном методе решение получается в виде (5), а у авторов , получено

  .

Если два решения разного вида, в данном случае (5), удовлетворяют одному и тому же дифференциальному уравнению (1) и одним и тем же начальным условиям , то по теореме Софьи Ковалевской о единственности решения задачи Коши эти оба решения совпадают ( т. е. графики этих функций одинаковы).

Подставляем значения коэффициентов по ,   , в уравнения (1). 

Результаты решения уравнений выброса вредных примесей в момент времени с использованием рекуррентно-операторного метода приведены в табл.1. 

  таблица №1

Результаты решения уравнения выброса вредных примесей 

n

  , с 

  , м

  г/м3c

1

  0.1

  0

0.03321674220

2

  1

  1

0.01107881961

3

  10

  1

0.00154548668

 

  Рис.1. Процесс распространения  Рис.2. Процесс распространения

  выброса вредных примесей во времени  вредных  примесей

Согласно рис. 1, с течением времени интенсивность выброса вредных примесей уменьшается, и по графику можно определить величину , означающую, что концентрация достигает предельно допустимой нормы выброса.

Полученные результаты показывают сходимость полученных решений.

  Литературы:

1. и др. Имитационные и самоорганизующиеся модели сложных систем// Сб. научн. трудов.-Киев, 1982.-106 с.

2. Ивахненко   сложных систем.// Сб. научн. трудов.- Киев,. 1985.-80с.

3. , , Меликджанян моделирование и компьютерные технологии для исследования и контроля качества  речной воды.- Тбилиси. ГТУ, 2007.-251с.

4. О решении задачи одномерной  диффузии// Узбекский журнал «Проблемы  информатики и  энергетики». –Ташкент, 2005. –  № 4.- С. 97-101.

5. Пирниязова общей задачи одномерной диффузии рекуррентно-операторным методом //Узбекский журнал «Проблемы информатики и  энергетики». –Ташкент, 2005.- № 5.-С. 89-94.

6. Спиваков классы решений линейных дифференциальных уравнений и их приложение в анизотропной и неоднородной  теории  упругости.- Ташкент:Фан,  1987.-296 с.

7. Фролов классы функций в анизотропной теории упругости.-Ташкент.: Фан, 1981.-221с.