Реализация сплайн-вэйвлетных разложений

Реализация сплайн-вэйвлетных разложений.

Отчет аспиранта 1 курса

2015 год

Научный руководитель:

заведующий кафедрой

параллельных алгоритмов

математико-механического

факультета СПбГУ

,

профессор, доктор физико-математических наук

Формулировка поставленной задачи:

Разработать программный пакет реализующий аппроксимацию потоков с помощью сплайн-вэйвлетных преобразований.

Краткий обзор предыдущих результатов:

Работа опирается на теорию, описанную в книге «Теория сплайн-всплесков» и в данный момент сосредоточена на простейших сплайн-всплесковых разложениях первого порядка на неравномерных сетках. В книге подробно описана теоритическая база для практической реализации алгоритмов аппроксимации.

Результат полученный в 2015 году:

Были изучены следующие публикации:

«Теория сплайн-всплесков» , «ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ВЭЙВЛЕТОВ» , «О вэйвлетном разложении на гребенчатой структуре»

Опираясь на источник [1] глава III параграф 3 и [3] был реализован алгоритм аппроксимации потока на гребенчатой структуре. Алгоритм позволяет разделять исходный поток на основной и вэйвлетный, используя тесное расположение узлов результирующей сетки. Программа позволяет рассчитать матрицы вложения, продолжения и другие описанные в параграфе. Наблюдается идентичность матриц, полученных в результате теоритического вывода и практического эксперимента. Был получен результат, соответствующий теоритическим выкладкам.

На рисунке выше, приведен результат разложения косинуса на промежутке [0,10] с шагом 0,1. Из исходного потока было удалено 50 узлов (через 1) и применен вариант вэ йвлетного разложения на гребенчатой структуре с функцией ϕ = (1, t). Как видно, исходный поток почти совпадает с основным потоком, но длина основного потока в два раза меньше. Вэйвлетный поток принимает близкие к нулю значения.

На изображении показано отличие основного потока от исходного.

В данный момент в программе существует ошибка при получении вэйвлетных коэффициентов, используя конечный вариант формул, приведенных в источнике. Однако, при восстановлении потока с помощью формул в матричной форме исходный поток восстанавливается безошибочно.

Так же в разработке находятся адаптивные алгоритмы исключения узлов из сетки, описанные в [3]. С помощью этих алгоритмов будет применяться метод аппроксимации не требующий тесного расположения удаляемых узлов описанный в [1] глава III параграф 2.

Результаты, предполагаемые в следующем году:

Планируется отладить уже реализованный алгоритм на гребенчатой структуре и исключить вышеупомянутую ошибку.

Планируется реализовать адаптивные алгоритмы исключения узлов.

Планируется реализовать алгоритм вэйвлетного разложения допускающий исключения нескольких узлов подряд.

Список литературы:

«Теория сплайн-всплесков» - СПб.: Изд-во С.-Петерб. Университета, 2013. , «ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ВЭЙВЛЕТОВ» Курс лекций – СПб 2007 год. , «О вэйвлетном разложении на гребенчатой структуре»