Применение производной при нахождении экстремумом функции

Конспект урока 1.

Тема урока: Повторение: применение производной при нахождении экстремумом функции.

Тип урока: систематизация и обобщение знаний.

Цель: обобщив знания по теоретическим аспектам по теме «экстремумы функции», формировать умения у учащихся решать упражнения на нахождение экстремумом функции с применением производной.

План урока.

1). Организационный момент.

2). Актуализация опорных знаний.

3). Решение задач.

4). Подведение итогов урока.

5). Домашнее задание.

Ход урока.

1). Организационный момент.

Цель: приветствие учащихся.

Метод: беседа.

Приветствие учащихся, объявление темы урока «Применение производной при нахождении экстремумом функции». Запись учащимися темы урока в тетрадь.

2). Актуализация опорных знаний.

Цель: вспомнить и воспроизвести необходимые теоретические знания для решения задач; подготовить учащихся к продуктивной работе на уроке; составить алгоритмическое предписание по нахождению экстремумов функции.

Метод: вопрос – ответ, объяснение учителя.

- Тема урока «Применение производной при нахождении экстремумом функции», поэтому необходимо вспомнить основные понятия. Какие точки называются точками экстремума?

- Точки минимума и точки максимума называются точками экстремума.

- Какая точка называется точкой минимума?

- Точкой минимума называется такая точка, в окрестности которой значение функции больше значения функции в точке минимума.

- Как называется значение функции в точке минимума.

- Значение функции в точке минимума называется минимум функции.

- Какая точка называется точкой максимума?

- Точкой максимума называется такая точка, в окрестности которой значение функции меньше значения функции в точке максимума.

- Как называется значение функции в точке максимума.

- Значение функции в точке минимума называется максимум функции.

- Какое общее название имеют минимум и максимум функции?

- Общее название минимума и максимума функции – экстремумы функции.

- Назовите необходимое условие экстремума дифференцируемой функции.

- Если точка - точка экстремума дифференцируемой функции , то производная в этой точке равна нулю.

- Точки, в которых производная равна нулю называются стационарными. Все ли стационарные точки являются точками экстремума?

- Точками экстремума является те стационарные точки, при переходе через которые, производная меняет знак.

- Назовите достаточное условие для существования точки минимума.

- Пусть функция дифференцируема на интервале , , и . Тогда, если при переходе через стационарную точку функции её производная меняет знак с «-» на «+», то - точка минимума функции .

- Назовите достаточное условие для существования точки максимума.

- Пусть функция дифференцируема на интервале , , и . Тогда, если при переходе через стационарную точку функции её производная меняет знак с «+» на «-», то - точка максимума функции .

- Составим алгоритм нахождения экстремума функции.

а) Найти область определения  функции;

б) Найти стационарные точки функции по первой производной, принадлежащие области определения;

в) Исследовать знак производной в окрестности каждой стационарной точки;

г) Установить вид точки экстремума: если знак производной меняется с «+» на «-» это точка максимума, если знак меняется с «-» на «+» это точка минимума;

д) Найти значения функции в точках экстремума.

Если в задаче требуется найти и определить вид точки экстремума, то для этого достаточно выполнения пунктов а) - г).

3). Решение задач.

Цель: научить применять алгоритмическое предписание по нахождению экстремумов функции; тренировать учащихся решению задач В11 единого государственного экзамена, а именно по применению производной при нахождении экстремумом функции.

Метод: работа у доски; работа в тетради.

- Начнём решать упражнения. № 000, стр. 343. Найдите точку минимума функции .

Решение.

а) ;

б) Найдем такие точки , чтобы Нам дана функция произведения элементарных функций , поэтому необходимо вспомнить формулу нахождения производной произведения функций: если дана функция , то производная этой функции . Применим данную формулу к нашей функции: . Найдем стационарные точки, то есть это только те точки, в которых производная равна нулю . , . , .

в) Исследуем знак производной в окрестности стационарной точки.

г) Знак производной меняется с «-» на «+», значит точка минимума функции .

Ответ: -9.

№ 000, стр. 351. Найдите точку максимума функции .

Решение.

а) ;

б) Найдем такие точки , чтобы Нам дана функция суммы трёх элементарных функций , поэтому необходимо вспомнить формулу нахождения производной суммы функций: если дана функция , то производная этой функции . Применим данную формулу к нашей функции: . Найдем стационарные точки, то есть это только те точки, в которых производная равна нулю и согласуем их с областью определения . , . , .

в) Исследуем знак производной в окрестности стационарной точки.

г) Знак производной меняется с «+» на «-», значит точка максимума функции .

Ответ: -4,75.

4). Подведение итогов урока.

Цель: сделать выводы по проделанной работе на уроке.

Метод: монолог учителя.

- Сегодня мы вспомнили, как находить точки экстремумов функции  использованием производной функции. В том числе повторили правила нахождения производной произведения и суммы. Тренировались решать упражнения В 11 единого государственного экзамена. Урок подошёл к концу, осталось только записать домашнее задание.

5). Домашнее задание.

Цель: закрепить умения и навыки учащихся в решении задач по нахождению точек экстремума функции.

Метод: домашняя работа в тетради.

- Запишите домашнее задание: № 000 и № 000.

№ 000, стр. 343. Найдите точку максимума функции .

Решение.

а) ;

б) Найдем такие точки , чтобы Нам дана функция произведения элементарных функций , поэтому необходимо вспомнить формулу нахождения производной произведения функций: если дана функция , то производная этой функции . Применим данную формулу к нашей функции: . Найдем стационарные точки, то есть это только те точки, в которых производная равна нулю . , . , .

в) Исследуем знак производной в окрестности стационарной точки.

г) Знак производной меняется с «+» на «-», значит точка минимума функции

Ответ: 13.

№ 000, стр. 350. Найдите точку минимума функции .

Решение.

а) ;

б) Найдем такие точки , чтобы Нам дана функция суммы трёх элементарных функций , поэтому необходимо вспомнить формулу нахождения производной суммы функций: если дана функция , то производная этой функции . Применим данную формулу к нашей функции: . Найдем стационарные точки, то есть это только те точки, в которых производная равна нулю и согласуем их с областью определения . , . , .

в) Исследуем знак производной в окрестности стационарной точки.

г) Знак производной меняется с «-» на «+», значит точка максимума функции

Ответ: -3,5.