Расчетные задания
Задача 1. Написать разложение вектора 
по векторам 
.
1.18. 
Решение. Заметим, что 
. Спроектируем вектор 
параллельно вектору 
на плоскость векторов 
. Именно, найдем такое число a, что вектора 
компланарны:
.
Добавим второй столбец к третьему и первую строку к третьей, затем разложим определитель по третьему столбцу:
.
Таким образом, проекция вектора 
на вектор 
параллельно плоскости векторов 
равна 
, а проекция на плоскость 
вдоль вектора 
равна 
.
Осталось найти проекции вектора 
на взаимно перпендикулярные вектора 
:
.
Ответ: 
.
Задача 2. Коллинеарны ли векторы 
и 
, построенные по векторам 
и 
?
2.18. 
Решение. Коллинеарность двух векторов в трехмерном пространстве равносильна равенству нулю их векторного произведения:
.
Ответ: данные вектора коллинеарны.
Задача 3. Найти косинус угла между векторами 
и 
.
3.18. 
Решение. Найдем координаты векторов 
и 
:
.
Согласно формуле для скалярного произведения, получим
.
Ответ: искомый угол равен 
.
Задача 4. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах 
и 
.
4.18. 
Решение. Площадь параллелограмма, построенного на двух векторах, равна произведению их длин, умноженному на модуль синуса угла между ними. Воспользуемся следующим тождеством:
.
Таким образом, площадь равна
(здесь использовано то, что вектора 
и 
ортогональны, т. е. 
).
Задача 5. Компланарны ли векторы 
, 
и 
?
5.18. 
Решение. Компланарность векторов равносильна равенства нулю их смешанного произведения. Имеем
.
Ответ: вектора некомпланарны.
Задача 6. Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках 
и его высоту, опущенную из вершины 
на грань 
.
6.18. 
Решение. Объем тетраэдра равен 1/6 модуля смешанного произведения векторов, на которых он построен. Будем считать, что тетраэдр построен на векторах
.
Вычислим для начала векторное произведение
,
а затем смешанное:
.
Таким образом, объем равен 40/6=20/3.
Высоту тетраэдра h найдем из формулы 
, где S – площадь соответствующего основания:
.
Ответ: объем равен 20/3, высота равна 
.
Задача 7. Найти расстояние от точки 
до плоскости, проходящей через точки 
.
7.18. 
Решение. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки:
.
Таким образом, уравнение плоскости 
.
Расстояние от точки до плоскости:
.
Задача 8. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку 
перпендикулярно вектору 
.
8.18. 
Решение. Вектор 
является нормалью к искомой плоскости, поэтому ее уравнение 
.
Ответ: искомое уравнение 
.
Задача 9. Найти угол между плоскостями.
9.18. 
Решение. Угол между плоскостями – это угол между их нормалями. Нормали к данным плоскостям – это вектора 
и 
. Таким образом, косинус угла равен
.
Ответ: угол равен 
Задача 12. Написать канонические уравнения прямой.
12.18. 
Решение. Направляющий вектор 
прямой ортогонален нормалям 
и 
к данным плоскостям, поэтому
.
Произвольную точку на прямой найдем из уравнений плоскостей положив 
:
.
Таким образом, мы выбрали точку на прямой (0,-16,6).
Ответ: каноническое уравнение прямой 
.
