Задачи

38. Вагонетка в выработке движется со скоростью 26 км/ч. Сила        торможения составляет половину силы тяжести. Какой путь пройдет вагонетка от начала торможения до полной остановки?

Дано: =26 км/ч=7.22 м/с

Найти: S

Решение: условие «сила торможения составляет половину силы тяжести» математически можно записать как: , где a – ускорение тела

откуда   (1)

Время торможения: , где - скорость тела ; с учетом формулы (1) получаем:

Пройденное расстояние при равноускоренном прямолинейном движении:

Производим вычисления, приняв g=9.8 м/с2 (ускорение свободного падения):

Ответ:

48. Под действием вращающего момента 40 Н•м маховик из состояния покоя начал вращаться равноускоренно. Какую кинетическую энергию приобрел маховик, если его момент инерции 80 кг•м2, а равноускоренное вращение продолжалось 10 с?

Дано: М=40 Н•м, J=80 кг•м2, t=10 c

Найти: T

Решение: кинетическая энергия:

Ответ:

58. Шap и цилиндр имеют одинаковую массу 5 кг и катятся со скоростью 10 м/с по горизонтальной плоскости. Найти кинетическую энергию этих тел.

Дано: m1=m2=5 кг, v1=v2= 10 м/с

Найти: Еш, Ец

Решение: по условию задачи шар и цилиндр, катятся, т. е. происходит поступательное движение их центров масс и одновременно вращательное движение этих тел относительно собственных осей вращения. Кинетическая энергия катящегося шара равна: , а цилиндра   , где I1, I2 и щ1, щ2 – моменты инерции и угловые скорости соответственно шара и цилиндра.

Момент инерции шара: , а цилиндра   ,где R1 и R2 – радиусы шара и цилиндра.

Так как линейная и угловая скорость связаны соотношением , то выражение для Еш и Ец приобретет следующий вид:

Подставляем числа:

Ответ: ,

68. Точка совершает гармонические колебания по закону х = А sin щt. В некоторый момент времени ее смещение равно 5 см. При увеличении фазы вдвое смещение стало 8 см. Найти амплитуду колебаний.

Дано: х1=5 см=0.05 м, х2=8 см=0.08 м, ц2=2ц1

Найти: А

Решение: , где

Тогда ; Отсюда:

Ответ:

78. Точка одновременно совершает два гармонических колебания, происходящих по взаимно перпендикулярным направлениям и выражаемых уравнениями: x = 0.5sinщt, y = 2 cosщt. Найти уравнение траектории точки, построить график ее движения.

Дано: x = 0.5sinщt, y = 2 cosщt

Найти: y(x)

Решение: из начальных уравнений выпишем амплитуды: А1=0.5 см, А2=2 см

Тогда: ,

В силу основного тригонометрического тождества: , то есть или

Подставляем значения амплитуд:

Таким образом, уравнение траектории точки выглядит так:

Графиком будет являться эллипс с полуосями А1 и А2

Ответ:

88. Поперечная волна распространяется вдоль шнура со скоростью 15 м/с. Период колебаний точек шнура 1,2 с, амплитуда 2 см. Определить скорость и ускорение для точки, отстоящей от источника на 45 м, в момент        времени 4 с от начала колебаний.

Дано: v=15 м/с, T=1.2 с, A=2 см, x=45 м, t=4 с

Найти: ,

Решение: запишем уравнение волны: , где - смещение колеблющейся точки, х – расстояние точки от источника волн, - скорость распространения волн.

Фаза колебаний точки с координатой х в момент времени t определяется выражением, стоящим в уравнении волны под знаком косинуса:

Скорость точки найдем, взяв первую производную от смещения по времени:

Вычисляем:

Ускорение есть первая производная от скорости по времени:

Вычисляем:

Ответ: ,

98. Найти скорости распространения продольных и поперечных волн в стальном стержне, если модуль растяжения 2*1011 Н/м2, модуль сдвига 0,77•1011 Н/м2, а плотность стали 7,8•103 кг/м3.

Дано: Е=2*1011 Н/м2 , G=0,77•1011 Н/м2 , с=7,8•103 кг/м3

Найти: ,

Решение: Скорость распространения продольной волны в стержне: , где Е – модуль Юнга, или, в данном случае, модуль растяжения; с – плотность стали.

Скорость распространения поперечной волны в стержне: , где

G - модуль сдвига.

Вычисляем:

Ответ: ,

108. Баллон емкостью 15 л содержит 7 г азота и 4,5 г водорода при температуре 27°С. Определить давление смеси газов. Молярная масса азота 0,028 кг/моль, водорода 0,002 кг/моль.

Дано: V=15 л=0.015 м3, m1=7 г=0.007 кг, m2=4.5 г=0.0045 кг, Т=27+273=300 К,

М1=0,028 кг/моль, М2=0,002 кг/моль,

Найти: р

Решение: Согласно уравнению Менделеева-Клапейрона:

p1V=  , p1=

p2V=  ,  p2=

Тогда давление смеси газов будет равно: p=p1+p2=, где R=8.31 Дж/(моль*К) – газовая постоянная

Ответ:

118. В баллоне находится газ при температуре Т1 = 400 К. До какой температуры Т2 надо нагреть, чтобы его давление увеличилось в 1,5 раза?

Дано: Т1=400 К,

Найти: Т2

Решение: т. к. баллон несжимаемый, V1=V2 и процесс изохорный.

Уравнение Менделеева-Клапейрона: pV=

p1V1=  , p2V2=. Поделим первое на второе и получим:

, т. к. V1=V2 , то   =>

T2=К

Ответ: Т2=600 К

128. Во сколько раз средняя квадратичная скорость молекул кислорода больше средней квадратичной скорости пылинки массой 10-8 г, находящейся среди молекул кислорода? Пылинку рассматривать как крупную молекулу.

Дано: m=10-8 г=10-11 кг

Найти:

Решение: средняя квадратичная скорость молекул кислорода: ,

средняя квадратичная скорость пылинки:

R=k*NA, тогда: , где NA=6.02*1023 моль-1 – постоянная Авогадро, М=32*10-3 кг/моль – молярная масса кислорода

Ответ: в

138. Энергия поступательного движения молекул азота, находящегося в баллоне объемом 20 л, равна 5 кДж, а средняя квадратичная скорость 2 км/с. Найти массу азота в баллоне и давление, под которым он находится.

Дано: V=20 л=0.02 м3 , W=5 кДж=5*103 Дж,

Найти: m, p

Решение: энергия поступательного движения молекул азота , откуда

Согласно основному уравнению МКТ:   (1), где n – число молекул в единице объема, m0 – масса одной молекулы. Очевидно, что произведение nm0=с – плотность азота. Тогда nm0V= сV=m – масса всего азота, находящегося в баллоне. Умножив правую и левую части уравнения (1) на V, получим . Но , следовательно, , откуда

Вычисляем:

Ответ: ,

148. Вычислить удельные теплоемкости газа, зная, что его молярная масса 0,004 кг/моль, а отношение теплоемкостей при постоянном давлении и постоянном объеме 1,67.

Дано:  М=0,004 кг/моль,

Найти: ,

Решение: удельная теплоемкость газа при постоянном давлении: , а при постоянном объеме

Отношение теплоемкостей отсюда:   => i=3

Тогда:

Ответ: ,

158. Идеальный газ при температуре и давлении имеет плотность . Найти молярную массу М газа.

Дано: T=10+273=283 K, p=2*105 Па, с=0.34 кг/м3

Найти: М

Решение: уравнение Менделеева-Клапейрона:

pV=RT  =>

с=

Ответ: M=

168. Азот, расширяясь адиабатно, совершает работу, равную 400 кДж. Определить конечную температуру газа, если до расширения он имел температуру Т1=350 К. Масса газа m=12 кг.

Дано: m=12 кг, А=400 кДж=400*103 Дж, Т1=350 К, М=0.028 кг/моль

Найти: Т2

Решение: (для адиабатного процесса)

Ответ: Т2=395 К

178. Одноатомный газ совершает цикл Карно. Температура нагревателя в 8 раз больше температуры холодильника. Какую часть тепла, полученного от нагревателя, газ передает холодильнику?

Дано: Т1/Т2=8

Найти: Q2

Решение: отношение температур нагревателя и холодильника равно отношению количеств теплот, полученное от нагревателя(Q1) и полученное холодильником(Q2) соответственно:

  =>

8Q2=Q1

Q2=  => газ передает холодильнику тепла, полученного от нагревателя

Ответ:

188. Один конец цилиндрической трубки длиной l = 25 см и радиусом r = 1 см закрыт пробкой, а в другой вставлен поршень, который медленно вдвигают в трубку. Когда поршень подвинется на расстояние  Д l = 8 см, пробка вылетает. Считая температуру неизменной, найти силу трения F пробки о стенки трубки в момент вылета пробки. Атмосферное давление p0 = 0,1 МПа.

Дано: l = 25 см, Д l = 8 см, r = 1 см=10-2 м, p0 = 0,1 МПа=105 Па

Найти:

Решение: так как температура постоянна, то:

Ответ:

198. Определите силу давления воды, действующую на пробку с площадью поперечного сечения 1 см2 , вставленную в бочку с водой на 40 см ниже уровня воды в ней. Плотность воды 1000 кг/м3.

Дано:

=1000 кг/м3

=1 см2

Найти:

Решение:

– сила давления воды на пробку с площадью поперечного сечения S

, где  – плотность жидкости, - высота, – ускорение свободного падения

Ответ: