Рекомендации к зачету в 7 в классе, ноябрь 2008 года
Подготовка по следующим вопросам:
Числовые и буквенные выражения. Решение простейших уравнений. Проценты. Признаки делимости.По темам проценты и признаки делимости предложены сказки, теоретический материал, практические задания трех уровней.
1. Проценты
Записки Васи Думалкина.
Однажды Вася Думалкин решил собрать цветы для своей бабушки. Он насобирал 58 цветов. Но дарить четное количество цветов не принято дарить. И Вася решил отдать маме 67% цветов. Сколько цветов Вася подарил бабушке и маме?
58 - 100%
х - 67%
х = 58 х 67 / 100 = 39 цветов (маме)
58 – 39 = 19 цветов (бабушке)
Ответ: 19 и 39 цветов.
Теоретический материал
Процент — одна сотая доля. Обозначается знаком «%». Используется для обозначения доли чего-либо по отношению к целому. Само слово «процент» происходит от лат. «pro centum», что означает в переводе «сотая доля».
Соотношение процентов и десятичных дробей
0 % = 0;
0,07 % = 0,0007;
45,1 % = 0,451;
100 % = 1;
200 % = 2.
Практические задания
1 уровень сложности
№ 1. Разложите 80 тетрадей на 2 стопки так, чтобы число тетрадей в одной из них составляло 60 % числа тетрадей другой.
Решение:
Если число тетрадей 1 стопки составляет 60 % числа тетрадей второй стопки, то, обозначив через x число тетрадей второй стопки, получим, что в первой стопки 3/5 x тетрадей, таким образом, в двух стопках весте x+3/5 x = 8/5 x тетрадей. Осталось решить уравнение 8/5 x =80 x=50. 3/5x =30.
Ответ: 50 и 30
2. Возраст брата составляет 40% от возраста сестры.
Сколько процентов составляет возраст сестры от возраста брата?
Решение: Примем возраст сестры за 100%.
Возраст брата составит 40%.
Процентное отношение возраста сестры к возрасту брата равно: (100/40) ·
40 % = 100% x=100%*100%/40%
100% = x; x=250%.
Ответ: 250%
3. В начале года число мужчин, работавших на заводе, составляло 40% от общей численности работников завода. После того, как были приняты на работу еще 6 мужчин, а 5 женщин уволилось, число мужчин и женщин на заводе сравнялось. Сколько человек работало на заводе в начале года?
Решение: Число мужчин, работавших на заводе в начале года, было на 11 меньше числа работавших там женщин Процентная разность между числом женщин и числом мужчин составляла в начале года 20%. Общая численность работавших на заводе в это время - 11:0,2 = 55 человек.
Ответ: 55 человек
2 уровень сложности
4. Влажность купленного арбуза составила 99%. В результате длительного хранения влажность снизилась до 98%.Как изменилась масса арбуза?
Решение: Свежий арбуз на 99% процентов состоит из жидкости и на 1% - из сухой массы. В результате усушки количество жидкости уменьшилось и составило 98% от новой, также уменьшившейся массы арбуза.
Количество же сухого вещества, оставаясь неизменным, составило 2% от новой массы арбуза. Процентное содержание в арбузе сухого вещества (при неизменной его массе) увеличилось вдвое. Следовательно, масса арбуза в результате усушки уменьшилась вдвое.
Ответ: уменьшилась в 2 раза
5. Двое путников одновременно вышли из пункта А по направлению к пункту В. Шаг второго был на 20 % короче, чем шаг первого, но зато второй успевал за то же время сделать на 20% шагов больше, чем первый. Сколько времени потребовалось второму путнику для достижения цели,
если первый прибыл в пункт В спустя 5 часов после выхода из пункта А?
Решение:
Шаг второго путника составлял 80% или 0,8 шага первого путника. На каждые 100 шагов первого путника второй успевал сделать 120 шагов, т. е. за то же время второй путник успевал сделать в 1,2 раза больше шагов, чем первый. Следовательно, расстояние, пройденное за некоторое время вторым путником, составляло 0,8 * 1,2 = 0,96 расстояния, пройденного за то же время первым.
Путь, пройденный телом за некоторое время, прямо пропорционален скорости движения. Поэтому, скорость второго путника составляла 0,96 скорости первого. Время, которое затрачивает тело на прохождение определенного пути, обратно пропорционально скорости движения. Поэтому, продолжительность движения первого путника из А в В составляет 0,96 продолжительности движения второго путника на этой дистанции.
Для перехода из А в В второму путнику потребовалось 5 : 0,96 = 5,2 часа = 5ч 12 мин.
Ответ: 5ч 12 мин.
№ 6. Из полного бака, содержащего 72 литров чистой кислоты, отлили a литров и долили бак водой. После полного перемешивания (до получения однородного раствора) из бака опять отлили a литров раствора, снова долили бак водой и тщательно перемешали. После того как такая операция была проведена 6 раз, жидкость в баке содержала 64 литра чистой кислоты. Определите величину a.
Решение:
После того как из бака в первый раз отлили a литров кислоты и долили его водой, в баке осталось (729-а) литров чистой кислоты. Теперь в одном литре раствора содержится (729-а)/729 литра кислоты. При втором выливании из бака удаляется а (729-а)/729 литров кислоты, и в баке остается уже только 729-а-а(729-а)/729 = (729-а)2/729 литров кислоты.
Третье выливание уменьшает количество кислоты в баке еще на а(729-а)2/7292 литров и остается (729-а)2/729-а(729-а)2/7292 = (729а) 3 /7292 литров кислоты.
Нетрудно догадаться, что в баке после 6 операции должно быть (729а) 6 /729 5 литров кислоты. Но эта догадка, конечно, не заменяет доказательства. Для полной строгости приведенное рассуждение следовало бы повторить 6 раз. Уравнение. (729- а)6 /7295 можно записать в виде (729-а) 6 /(36)5=26.
Мы воспользовались тем, что 2 6= 64 и 36=729.Следовательно (729-а) /(3)5=2. Откуда a =243
Ответ: a =243
3 уровень сложности
№7. В выборах в 100-местный парламент участвовали 12 партий. В парламент проходят партии, за которые проголосовало строго больше 5% избирателей. Между прошедшими в парламент партиями места распределяются пропорционально числу набранных ими голосов (т. е. если одна из партий набрала в x раз больше голосов, чем другая, то и мест в парламенте она получит в x раз больше). После выборов оказалось, что каждый избиратель проголосовал ровно за одну из партий (недействительных бюллетеней, голосов "против всех" и т. п. не было) и каждая партия получила целое число мест. При этом Партия любителей математики набрала 25% голосов. Какое наибольшее число мест в парламенте она могла получить? (Ответ объясните.)
Решение
Если 10 партий наберут ровно по 5% голосов, а две, включая Партию любителей математики (ПЛМ), - по 25%, то представители ПЛМ получат ровно 50 мест в парламенте. Докажем, что большее число мест ПЛМ получить не может. Действительно, количество мест, полученных ПЛМ в парламенте, равно
100*(количество голосов, набранных ПЛМ)/(количество голосов, набранных всеми партиями, прошедшими в парламент) = 100*(количество голосов, набранных ПЛМ)/((общее количество избирателей)-(количество голосов, набранных всеми партиями, не прошедшими в парламент))
Отсюда видно, что наибольшее число мест ПЛМ получит в том случае, если общее количество голосов, отданных за не прошедшие партии, максимально. Если бы в парламент не прошли 11 партий, они вместе набрали бы не более 55% голосов, но 55%+25% <100%. Значит не прошли в парламент максимум 10 партий, и они набрали в сумме не более 50% голосов. Поэтому ПЛМ получит в парламенте не более 50 мест.
Ответ: не более 50 мест
№8. Петя играет в игру-стрелялку. Если он наберет менее 1000 очков, то компьютер добавит ему 20 % от его результата. Если он наберет от 1000 до 2000 очков, то компьютер добавит ему 20 % от первой тысячи очков и 30 % от оставшегося количества очков. Если Петя наберет более 2000 очков, то компьютер добавит ему 20 % от первой тысячи очков, 30 % от второй тысячи и 50 % от оставшегося количества. Сколько призовых очков получил Петя, если по окончании игры у него было 2370 очков?
Решение
Если бы Петя набрал менее 1000 очков, то его результат был бы меньше, чем 1200 очков. Если бы Петя набрал 2000 или более очков, то количество призовых очков составило бы не менее, чем 0,2· 1000 + 0,3· 1000 = 500 . В этом случае его результат – не менее 2500 очков. Следовательно, Петя набрал 1000 + х очков, где х
(0;1000) . Компьютер добавил ему 200 очков за первую тысячу и 0,3х очков– за остальное. Таким образом, 1000 + х + 200 + 0,3х = 2370, х = 900 . Тогда количество призовых очков равно 470.
Ответ 470.
№ 9 . Автобус называется переполненным, если в нем более 50 пассажиров. По дороге едет колонна автобусов (среди которых есть переполненные). Что больше – процент переполненных автобусов или процент пассажиров, которые едут в переполненных автобусах?
Решение
Запомним, какие из автобусов переполненные, а какие – нет. Теперь в каждый не переполненный автобус добавим пассажиров, чтобы в каждом не переполненном автобусе их стало ровно 50. Далее, из каждого переполненного автобуса удалим некоторых пассажиров так, чтобы в каждом переполненном автобусе также осталось 50 пассажиров (при этом эти автобусы продолжаем называть переполненными). Теперь во всех автобусах поровну пассажиров, т. е. теперь процент переполненных автобусов равен проценту пассажиров в переполненных автобусах. Но так как из переполненных автобусов мы удаляли пассажиров, а в непереполненные – добавляли, то изначально в переполненных автобусах процент пассажиров был больше, чем процент переполненных автобусов.
Ответ: Процент пассажиров больше.
2. Признаки делимости
Деление имущества.
Жил был король деления. Когда он состарился. Он решил написать завещание своим двум детям на все королевство. В королевстве было всего 73 комнаты. Двое детей стали иметь по 36 комнат, а 1 комната досталась их дворецкому, которого король любил и уважал его за честный и добросовестный труд. Этот пример доказывает наличие деления с остатком т. к 73/2=36(ост 1) !!!
Теоретическая часть
Деление с остатком.
Деление c остатком — арифметическая операция, результатом которой является два целых числа: частное и остаток от деления целого числа на другое целое число. Также часто называется: «нахождение остатка от деления» или просто «остаток от деления».
Формула деления с остатком: n = mk + r, где n - делимое, m - делитель, k - частное, r - остаток, причем 0
r
m
Чтобы найти делимое при делении с остатком, надо неполное частное умножить на делитель и к полученному произведению прибавить остаток.
Признак делимости на 2
Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 2, то есть является чётной.
Признак делимости на 3
Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3 (так как все числа вида 10n при делении на 3 дают в остатке единицу).
Признак делимости на 4
Число делится на 4 тогда и только тогда, когда число из двух последних его цифр делится на 4.
Признак делимости на 5
Число делится на 5 тогда и только тогда, когда последняя цифра делится на 5 (то есть равна 0 или 5).
Признак делимости на 6
Число делится на 6 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 3.
Признак делимости на 7
Число делится на 7 тогда и только тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7 (например, 364 делится на 7, так как 36 — (2 Ч 4) = 28 делится на 7).
Признак делимости на 8
Число делится на 8 тогда и только тогда, когда число из трёх его последних цифр делится на 8.
Упрощенный признак делимости на 8
На 8 делится всякое трехзначное число, у которого двузначное число, образованное цифрами сотен и десятков, сложенное с половиной числа единиц, делится на 4.
Признак делимости на 9
Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.
Признак делимости на 11
Если сумма цифр данного числа через одну равна сумме остальных цифр через одну или разность этих сумм делится на 11, то и данное число делится на 11.
Признак делимости на 13
Число делится на 13 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с учетверённым числом единиц, кратно 13 (например, 845 делится на 13, так как 84 + (4 Ч 5) = 104 делится на 13).
Признак делимости на 17
Число делится на 17 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с увеличенным в 12 раз числом единиц, кратно 17. Признак не всегда удобен, но имеет определенное значение в математике. Есть способ немного попроще – Число делится на 17 тогда и только тогда, когда разность между числом его десятков и упятеренным числом единиц, кратно 17 (например, 32952→3295-10=3285→328-25=303→30-15=15. поскольку 15 не делится на 17, то и 32952 не делится на 17)
Признак делимости на 19
Число делится на 19 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, кратно 19 (например, 646 делится на 19, так как 64 + (6 Ч 2) = 76 делится на 19).
Делимость двучлена
Несколько предварительных замечаний.
1. Многочленом называется алгебраическое выражение
вида: anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0,
где п — число целое, положительное; коэффициенты a0, а1...,ап — любые действительные числа; под буквой х та к я подразумевается любое действительное число.
2. Если один многочлен (р) указанного вида равен произведению двух других (т1 и т2 ), р=m1, m2, то мы говорим, что многочлен р делится на многочлен т1 (или т2) и в частном получается многочлен т2 (или т1).
Например, х2—9 делится на Зх+9 и в частном получается 1/3х - 1. Действительно,
(3* + 9)(1/3х - 1)= x2 - 9 .
Заметим, между прочим, что часть коэффициентов частного — дробные числа, в то время как все коэффициенты делимого и делителя — целые.
3. Из факта делимости одного многочлена с целыми коэффициентами на другой многочлен также с целыми коэффициентами еще не следует, что делятся числа, в которые обращаются делимое и делитель при замене x любым целым числом, если, разумеется, делимость рассматривать с точки зрения арифметики целых чисел.
4. Если же все коэффициенты многочленов — делимо го, делителя и частного — целые числа, то число, в которое обращается многочлен—делимое, непременно делится на 1 число, в которое обращается многочлен-делитель при замене х любым целым числом, кроме тех, которые обращают делитель в нуль.
Для решения некоторых задач, в частности, для доказательства признаков делимости чисел, полезно знать, при [каких условиях сумма и разность степеней двух чисел (хт+ат и хт — ат, т — целое положительное число) делятся на сумму и разность их оснований (х+а и х—а).
Алгебраические выражения хт+ат и хт—ат — это частные виды многочлена
под всеми буквами многочлена будем здесь подразумевать только целые числа, включая нуль). Если, например, т =4, ат=1, ат-1= ат_2 = ... =а1 - 0; а0 - 16,
то) получается такой частный вид многочлена: х4=16, или x4+24.
Попробуем теперь разделить х4+24 на х+2:
х4+16 , х+2
х4+2х3 х3-2х2+4х-8
-2х3+16
-2х3-4х2
4х2+16
4х2+8х
-8х+ 16
- 8x – 16
32 (остаток)
Не делится х4+24 на x+2. Замечаем, что остаток не содержит х, а представляет собой некоторое число. Легко понять, что не только в этом примере, но и во всех случаях деления многочлена на двучлен вида x+a, то есть на двучлен, содержащий х не выше чем в первой степени, остатком будет некоторое число (либо совсем не будет остатка).
Чтобы деление совершилось без остатка, надо делимое уменьшить на величину остатка. Поэтому всегда справедливо такое утверждение: делимое минус остаток равно произведению делителя и частного.
Обобщенный признак делимости
Мысль о рассечении числа на грани с последующим их сложением для определения делимости данного числа оказалась очень плодотворной и привела к единообразному признаку делимости многозначных чисел на довольно обширную группу простых чисел. Одной из групп «счастливых» делителей являются все целые множители р числа d=10n+l9 где п = 1, 2, 3, 4, ... (при больших значениях п теряется практический смысл признака).
При п=1 d=11 р=11
» п=2 d=1019 р=102
» п=3 d=1001 р=7,11 и 13
» п=4 d=10001 р=73 и137.
Для определения делимости какого-либо числа на любое из этих чисел р надо:
1) рассечь данное число справа налево (от единиц) на грани по п цифр (каждому;? соответствует свое п; крайняя левая грань может иметь цифр меньше п);
сложить грани через одну, начиная с крайней правой; сложить остальные грани; из большей суммы вычесть меньшую.Если результат делится (не делится) на/?, то делится (не делится) и данное число.
Так, для определения делимости числа на 11(р=11) рассекаем число на грани по одной цифре (п=1). Поступая далее, как указано, приходим к известному признаку делимости на 11 (стр. 234). При определении делимости числа на 7, // или 13 (р=79 11, 13) отсекаем по 3 цифры (п=3). При определении делимости числа на 73 и 137 отсекаем по 4 цифры (п=4).
Курьез делимости
В заключение темы хочется представить вам четыре изумительных десятизначных числа:
438 195 760; 4 753 869 120; 785 942 160; 4 876 391 520.В каждом из них есть все цифры от 0 до 9, но каждая цифра только по одному разу и каждое из этих чисел делится на 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12,13, 14, 15, 16,17 и 18.
Практические задания
1 уровень сложности
№1.Может ли сумма трех последовательных натуральных чисел быть простым числом?
Решение
Сумма трех последовательных натуральных чисел будет кратна 3. Действительно, пусть первое число даёт при делении на 3 остаток a, второе — a + 1, третье — a + 2. Тогда их сумма будет при делении на 3 давать остаток 3a + 3, т. е. будет делиться на 3.
Ответ: Нет. Эта сумма всегда кратна 3.
№2. Докажите, что n3 + 2n делится на 3 для любого натурального n.
Решение
Рассмотрите все остатки, которые может давать n при делении на 3.
Число n может давать при делении на 3 один из трех остатков: 0, 1, 2. Рассмотрим три случая.
Если n дает остаток 0, то и n3 и 2n делятся на 3 и поэтому n3 + 2n также делится на 3.
Если n дает остаток 1, то n3 дает остаток 1, 2n - остаток 2, а 1 + 2 делится на 3.
Если n дает остаток 2, то n2 дает остаток 1, n3 дает остаток 2, 2n - остаток 1, а 2 + 1 делится на 3.
Требуемое доказано.
2 уровень сложности
№ 3. Найдите все такие трехзначные числа, которые в 12 раз больше суммы своих цифр. Решение Число получается из суммы своих цифр умножением на 12, значит, оно кратно 3. Согласно признаку делимости на 3, сумма цифр также делится на 3. Поэтому само число должно делится на 9. Кроме того оно делится на 4. Следовательно нужно искать среди чисел, которые делятся на 36. Поскольку сумма цифр трехзначного числа не превосходит 27, то само число может быть не больше 27 . 12 = 324. Перебор можно еще сократить, если заметить, что сумма цифр может быть не больше 18 (она делится на 9 и меньше 27). Поэтому само число не больше 18 . 12 = 216. Осталось перебрать числа 108, 144, 180, 216. Ответ: 108.
№ 4 . В банке 500 долларов. Разрешаются две операции: взять из банка 300 долларов или положить в него 198 долларов. Эти операции можно проводить много раз, при этом, однако, никаких денег, кроме тех, что первоначально лежат в банке, нет.
Какую максимальную сумму можно извлечь из банка и как это сделать?
Решение
Заметим сначала, что числа 300 и 198 делятся на 3, поэтому остаток от деления суммы денег, лежащей в банке, на 3 всегда будет равен 2. Поэтому не удастся взять из банка более 498 долларов. Будем обозначать допустимые операции + 198 и –300. Следующая последовательность операций позволит снять из банка 498 долларов:
–300 + 198 – 300 + (198 + 198 –300 + 198 –300) 16 раз.
Покажем, что эта последовательность операций осуществима. Непосредственно проверяется, что можно сделать первые восемь операций. При этом после каждой из этих операций в банке останется не менее 92 долларов. А после каждой следующей операции в банке остаётся ровно на 6 долларов меньше, чем было пять операций назад.
Ответ: 498 долларов.
3 уровень сложности
№5. При каких условиях двучлен хт+1 делится на х+1 (m целое положительное)?
Решение. Пусть частное В, а остаток С. Имеем:
хт+1=(х+1)В+С.
Положим х=—1, тогда (—1)т+1=С. Ясно, что если m четное (т=2п), то С =2; если же т нечетное (т=2п+1), то
с=о.
Следовательно, если т четное (т=2п), то хт+1, или х2п+1, не делится на х+1, если же т нечетное (т=2п+1), то хт+1, или х2п+1+1, делится на х+1, Частное, как нетрудно убедиться, будет состоять из убывающих степеней х с чередующимися знаками, так что имеем следующую общую формулу:
х2п-1+1=(х+1)(х2п-х2п~1+х2п-2-...-х+1).
Что касается двучлена хт—1, то на х—1 он делится при любом целом положительном т, а на х+1 делится только при т четном (т=2п).
Для выяснения величины остатка (С) от деления двучлена вида хт+ат на х+а следует в тождестве
хт+ат=(х+а)В+С положить х =—а.
№6. Женщина несла на рынок корзину яиц. Прохожий нечаянно толкнул женщину, корзина упала, яйца разбились. Виновник несчастья, желая возместить потерю, спросил:
- Сколько яиц было в корзине?
- Точно не помню, - ответила женщина, - но знаю, что когда я вынимала из корзины по 2, по 3, по 4, по 5 или по 6 яиц, в корзине оставалось одно яйцо, а когда я вынимала по 7, в корзине ничего не оставалось.
Сколько яиц было в корзине?
Решение:
Наименьшее кратное чисел 2, 3, 4, 5 и 6 равно 60. Надо найти кратное 7, на 1 большее кратного 60. Заметим, что
60n +1 =7*8n+4n+1
Число 60n +1 делится на 7, если 4n+1 делится на 7. Наименьшее из подходящих значений n –число 5.Значит, в корзине могло быть 301 яйцо. При следующем подходящем значении n=12 получаем 721 яйцо. Но этот случай (и все последующие) исключаются: такую тяжесть женщина не могла нести.
Ответ: 301 яйцо
№7. Найти число t и числовое значение буквы а, заменяющей потерянную цифру в следующем равенстве:
[3(230+t)] 2 = 492а 04.
Решение:
Решение основывается на том наблюдении, что левая сторона уравнения делится на 9, значит, и правая сторона должна делиться на 9. Следовательно, должна делиться на 9 и сумма цифр: 4+9+2+a+4. Но 4+9+2+4=19. Следовательно, а=8. Других значений, а иметь не может, так как заменяет цифру. Извлекая теперь корень квадратный из числа 492804, получим:
3(230+t) + 702. Оттуда t=4
Ответ: а=8, t=4
