Тема: «Нестандартные тригонометрические уравнения»

Муниципальное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа № 16

Щелковского муниципального района

Московской области

Тема:

«Нестандартные тригонометрические уравнения»

  Разработчик:

учитель математики

2011 год

Тема: Нестандартные тригонометрические уравнения.

Цель урока: Развивать творческий подход к поиску решения тригонометрических уравнений, посредством логических рассуждений и умозаключений, а не только при помощи формул; развивать внимание, наблюдательность и трудолюбие.

План урока:

Объяснение нового материала на примерах. Закрепление. Домашнее задание.
Сегодня на уроке мы с вами рассмотрим примеры тригонометрических уравнений, которые предлагаются на вступительных экзаменах в ВУЗ, но которые стандартными приемами не решаются, а требуют от вас творческого подхода, анализа и владения всеми методами решения тригонометрических уравнений.

Итак, рассмотрим первый вид:

«Уравнения смешанного типа».

Решение уравнений смешанного типа, обычно находится путем перехода к совокупности уравнений. При этом, если найдена ОДЗ данного уравнения, то в этой ОДЗ совокупность уравнений равносильна данному уравнению, если ОДЗ не найдена, то совокупность является следствием данного уравнения и найденные корни следует обязательно проверить путем их подстановки в данные уравнения.

Пример №1  Решить уравнение

=0

Решение: Найдем ОДЗ данного уравнения.

ОДЗ 

 

Таким образом, в промежутке  данное уравнение равносильно совокупности уравнений:

Решим  (1) 

Из найденного множества корней выбираем корни, удовлетворяющие условию

Ответ:

Задача №2 Найти сумму всех различных корней уравнения

Решение: Найдем ОДЗ 

От данного уравнения перейдем к совокупности уравнений:

Найдем корни каждого уравнения совокупности:

1)

2)

Найдем корни, лежащие в промежутке

Итак, 

Ответ: .

Пример №3  Найти сумму всех различных корней уравнения

­­­­­­­­­­­­­­­­­­

Решение. Найдем ОДЗ данного уравнения:

ОДЗ: 

От данного уравнения перейдем к совокупности уравнений:

Найдем корни каждого уравнения системы

1.

2.

  не принадлежит ни один корень.

Итак:

Ответ:

Закрепление:

Найти сумму всех различных корней уравнения

Рассмотрим теперь нестандартные уравнения, т. е. те уравнения, которые приводятся к основным посредством логических рассуждений и умозаключений, а не только при помощи формул.

Пример №1  Решить уравнение:

Каждый множитель левой части уравнения по модулю не больше 1. Как только один из них станет по модулю меньше 1, уравнение не может превратиться в верное числовое равенство. Таким образом, данное уравнение равносильно совокупности двух систем:

1)

2)

Ответ:

Пример №2  Решить уравнение

Решение:

Правая часть уравнения положительна, поэтому для левой части имеем ограничение Здесь будем использовать неравенство, если ,  причем равенство может иметь место только в случае а = 1. Принимаем a=tgx, тогда Следовательно, в левой части имеем

Итак, левая часть не меньше 2, тогда как правая часть не больше чем 2.

Вывод: уравнение можно решить только при условиях:

Ответ: .

Закрепление:

а) Решить уравнение

б) 

в) 

Т. к.

Рассмотрим следующую систему упражнений, предназначенную для более точного осмысления свойств тригонометрических функций, алгоритмов решения простейших тригонометрических уравнений с отбором корней. 

1) 

Ответ:

Домашнее задание:

Из п.1 №5,6

  п.2 №2

  п.3 №5; 7; 9; 11.

Литература

«Математика. Типовые примеры на вступительных экзаменах».
«Нестандартные задания по математике».
Методички для поступающих в ВУЗы.