«Вычисление производной функции в точке»

«Вычисление производной функции в точке»

Если у нас есть функция у=f(х), непрерывная на каком-то промежутке и существующая там, то на этом промежутке у функции есть производная у' =f '(х), которая показывает мгновенную скорость изменения функции: предел отношения приращения функции к приращению аргумента:

у'= f '(х)= , где

Производная есть tg - угла предельного положения секущей – касательной к графику функции в точке х0. Если  касательная имеет уравнение у = кх+b, к - тоже значение производной в точке касания.

Можно сказать, что

f '(х)= tg =к=

Для нахождения производной используют следующие правила:

1.с'=0 (производная числа равна 0)

2.(f+ g) '= f '+ g ' (производная от суммы функций равна сумме производных этих функций)

3.(kf) '=kf ' (коэффициент можно выносить за знак производной)

4.(fg) ' = f 'g+fg' (производная от произведения двух функций равна сумме произведений производной первой функции на вторую и первой функции на производную второй)

5. ()' =(производная дроби равна частному от деления разности произведений производной первой функции на вторую и первой функции на производную второй на квадрат второй функции)

6. (аn) ' =nаn-1 (производная степени равна произведению показателя на степень с показателем на единицу меньшим)

7. f '(h(x))= f '(h) h'(x) –правило нахождения производной сложной функции.

Пример 1. (по формуле производной суммы и производной степени)

(5х5-2х4+3х) ' = 55х4 - 24xі+3 =25х4 - 8х3 + 3

Пример 2. (по формуле производной произведения)

[(7x-3) sin x] ' = (7x-3) ' sin x + (7x-3) (sin x) ' =7sin x + (7x-3) cos x=

=7sin x + 7xcos x - 3cosх

Часто используемые производные (лучше знать наизусть):

	(хn) ' = n xn-1	(sin x) ' = cos x	(cos x) ' = - sin x
(tg x) ' =	, где х>0		(ctg x ) ' = -
(cos x) ' = -sinx	(sinx) ' = cosx		(ax) ' = ax ln a
(loga x)'  =	(arcsin x) ' =	(ln u) ' ='