Тождественно истинные, тождественно ложные и эквивалентные высказывания
Если высказывание истинно при всех значениях входящих в него переменных, то такое высказывание называется тождественно истинным или тавтологией (обозначается константой 1).
Например, высказывание Демократ — это человек, исповедующий демократические убеждения всегда истинно, т. е. является тавтологией.
Прогноз погоды на завтра может быть, например, таким:
Дождь будет или дождя не будет.
Такое предсказание будет всегда истинным, хотя вряд ли кого устроит. Его математическая запись:
A v неА
Проверить, является ли сложное высказывание тождественно истинным, можно по таблице истинности.
Мы видим, что во многих случаях, когда трудно установить, верно ли мы рассуждаем, всегда ли будет истинно наше утверждение, удобно применять средства математической логики.
Если высказывание ложно при всех значениях входящих в него переменных, то такое высказывание называется тождественно ложным (обозначается константой 0).
Например, высказывание Сегодня среда, а это — второй день недели является тождественно ложным.
Тождественно ложным является и следующее высказывание: Компьютер включен, и компьютер не включен (выключен) Математическая запись его такова:
А & неА.
■
Если значения сложных высказываний совпадают на всех возможных наборах значений входящих в них переменных, то такие высказывания называют равносильными, или тождественными, или эквивалентн ым и.
Равносильность высказываний А и В записывается с помощью знака равенства (=):
А=В.
Высказывания А и В равносильны (А = В) тогда и только тогда, когда их эквивалентность А <=> В является тождественно истинным высказыванием.
В качестве примера рассмотрим два высказывания:
X= Не может быть, что Матроскин выиграл приз и отказался от него.
X = не(А & В)
Y = Или Матроскин не отказался от приза, или не выиграл его.
Y=неА v не В '
Чтобы доказать равносильность (эквивалентность) сложных высказываний Х и Y, достаточно построить их таблицы истинности. Объединим эти две таблицы в одну:
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
А | В | неА (1) | неВ (2) | А &В (1)&(2) | X=Не(А&В) (5) | Y= неA v неВ (3) v (4) | Х⬄ Y (6) ⬄ (7) |
0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
Существуют два варианта рассуждений:
Так как значения сложных высказываний X (5-й столбец) и 7 (6-й столбец) совпадают на всех возможных наборах значений входящих в них переменных, то по определению X равносильно Y. Так как 8-й столбец содержит одни единицы, то эквивалентность X и Y тождественно истинна, значит, Хи Y равносильны.Если высказывание истинно при всех значениях входящих в него переменных, то такое высказывание называется тождественно истинным или тавтологией.
Если высказывание ложно при всех значениях входящих в него переменных, то такое высказывание называется тождественно ложным.
Если значения сложных высказываний совпадают на всех возможных наборах значений входящих в них переменных, то такие высказывания называют равносильными, тождественными, эквивалентными.
■ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ
1. Определите формы следующих сложных высказываний, записав их на языке алгебры логики:
а) Чтобы погода была солнечной, достаточно, чтобы не было ни ветра, ни дождя.
б) Если у меня будет свободное время и не будет дождя, то я не буду писать сочинение, а пойду на дискотеку.
в) Лошадь погибает от одного грамма никотина, но я не лошадь, следовательно, курить вредно.
г) Без Вас хочу сказать Вам много, При Вас я слушать Вас хочу.
д) Люди получают высшее образование тогда, когда они заканчивают институт, университет или академию.
2. Постройте таблицы истинности следующих сложных высказываний и определите, являются ли эти высказывания тождественно истинными:
а) А → (В →А);
б) (А → (В →С) → ((А → В) → (А → С));
в) А&В→А;
г) А&В→В;
д) (А → В) → ((А → С) → (А → В & С));
е) А→ (В v А);
ж) В → (В v А);
з) (А → С) → ((В →С) → (A v В→ С);
и) ((А → В) & (В→C)) → (А→C);
k) A→(B→A&B);
л) не(A→B) →(A→неВ→неА)
3. Определите, какие из следующих пар высказываний являются эквивалентными, а какие нет:
A V B; B V A A V (B V C); (A V B) V C; A v (B & C); (A V B) & (A V C) A v A & B; A; A → B; неВ→ неА; А →В & A; A V B; A &B ; B & A; A & (B & C); (A &B) & C; A & (B V C); (A & B) V (A & C); A & (A V B); A; A↔B; (A→ B) & (неB→ неA); A→B; A V неB.