МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«БАШКИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
СТЕРЛИТАМАКСКИЙ ФИЛИАЛ
Факультет математики и информационных технологий
Кафедра математического моделирования
Курсовая работа на тему
Метод Канторовича для решения интегралов разрывных функций
Выполнил: студентка 4 курса факультета математики и информационных технологий
группы МИ-41
Научный руководитель:
к. ф.м. н., ст. преподаватель
Стерлитамак – 2017
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ 3
ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ОСНОВА ОБ ИНТЕГРАЛЕ ОТ РАЗРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ 4
1.1. Несобственный интеграл 4
1.2. Несобственные интегралы от разрывных функций 6
1.3. Признаки сходимости несобственных интегралов 7
1.4. Метод выделения особенностей 9
ГЛАВА 2. РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ ОТ РАЗРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ МЕТОДОМ Л. В. КАНТОРОВИЧА ВЫДЕЛЕНИЯ ОСОБЕННОСТЕЙ 11
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 13
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 14
ВВЕДЕНИЕ
Понятие интеграл является одним из важных в математическом анализе. Данное понятие появляется тогда, когда, например, необходимо найти площадь ограниченной кривой, массу какого-либо тела. Также интеграл применяется при решении задач, которые касаются восстановления функции по ее производной.
В зависимости от того пространства, на котором задается подынтегральная функция, интеграл бывает нескольких видов - поверхностный, двойной, тройной, криволинейный и др.
Интеграл выражается через элементарные функции, однако, существует большое количество функций, от которых это не может быть выполнено. Для решения таких случаев применяются разнообразные методы, суть которых заключается в том, чтобы подынтегральную функцию заменить "близкой" к ней функцией, интеграл от которой можно выразить через элементарные функции.
Целью данной курсовой работы является изучение интегралов от разрывных функций методом Канторовича. В рамках данной работы были поставлены следующие задачи:
1. изучение теории несобственных интегралов от разрывных функций;
2. изучение метода выделения особенностей;
3. применение изученной теории для решения интегралов от разрывных функций.
ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ОСНОВА ОБ ИНТЕГРАЛЕ ОТ РАЗРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ
1.1. Несобственный интеграл
При рассмотрении задач, связанных с определенным интегралом, делалось предположение, что область интегрирования конечна, а интегрируемая функция на нем непрерывна. Если же интервал интегрирования бесконечен или функция имеет точки разрыва в этом интервале, то предположение будет неприменимо, но, не смотря на это, существует целый ряд задач, когда возникает необходимость распространить понятие определенного интеграла на случаи разрывных функций и бесконечных интервалов интегрирования.
Рис. 1. График функции 
Рассмотрим случай интегралов с бесконечными пределами. Пусть функция 
, график которой изображен на рисунке 1, непрерывна на промежутке 
. Следовательно, можно вычислить любой определенный интеграл, у которого верхний предел 
. Вычисленное значение этого интеграла будет меняться в процессе изменения 
, но его можно будет вычислить до тех пор, пока 
конечное число. Когда верхний предел станет равным бесконечности – интегральная сумма, приводящая в пределе к определенному интегралу, потеряет смысл. Действительно, в таком случае уже нельзя будет ни задать 
, ни вычислить 
. В этом случае выход из положения заключается в том, что 
стремится к бесконечности.
Определение 1. Если существует конечный предел
то этот предел называется несобственным интегралом с бесконечным пределом от функции 
и обозначается
Итак, по определению
В этом и заключается метод вычисления таких интегралов.
Определение 2. Если в несобственном интеграле предел существует, то интеграл, называется сходящимся, если предел не существует или равен бесконечности, то интеграл называется расходящимся.
Очевидно, с геометрической точки зрения несобственный интеграл с бесконечными пределами равен площади неограниченной области лежащей между осью 
, кривой 
и прямой 
.
Аналогичным образом определяются несобственные интегралы и для других бесконечных интервалов:
Следует подчеркнуть, что интеграл
существует только тогда, когда существует каждый из интегралов
1.2. Несобственные интегралы от разрывных функций
Paccмoтpим cлyчай, когда функция 
непрерывна на промежутке 
, а в точке 
происходит разрыв второго рода. В этом случае введение определенного интеграла на отрезке 
, как предела интегральной суммы, невозможно. Дело в том, что отрезок 
разбить на 
частичных отрезков можно, но в этом случае первая частичная трапеция будет иметь бесконечную высоту и ее площадь вычислить не имеет возможности. Однако, как и в случае с бесконечным интервалом интегрирования здесь также существует выход. Необходимо искать площадь трапеции, левый конец основания которой приближается к точке 
.
Рис. 2. График функции 
Определение. Если существует конечный предел
то этот предел называется несобственным интегралом от разрывной функции 
и обозначается
Следовательно, вычисление несобственного интеграла от разрывной функции связано с нахождением предела:
Если этот предел существует, то интеграл называется сходящимся, если не существует или равен бесконечности, то – расходящимся.
С геометрической точки зрения несобственный интеграл от разрывной функции равен площади криволинейной трапеции, у которой в какой-то точке высота равна бесконечности.
Если функция 
терпит разрыв в точке 
то
Если же разрыв происходит в точке 
, то есть внутри 
, то в этом случае
В последнем случае несобственный интеграл существует (или сходится), если сходятся оба интеграла.
1.3. Признаки сходимости несобственных интегралов
Несобственные интегралы не всегда сходятся. Поэтому, если их решение трудоемко, то желательно заранее выяснить их существование. В этом случае применяются теоремы о сходимости несобственных интегралов, которые основываются на сравнении исследуемого несобственного интеграла с известными.
Теорема 1.
Пусть функции 
и 
непрерывны на промежутке 
и удовлетворяют неравенствам 
. Тогда
1) если интеграл
сходится, то сходится и интеграл
2) если интеграл
расходится, то расходится и интеграл
Для несобственных интегралов от разрывных функций существует аналогичная теорема.
Теорема 2.
Пусть функции 
и 
непрерывны на промежутке 
удовлетворяют неравенствам 
и в точке 
одновременно терпят разрыв второго рода. Тогда
1) если
сходится, то
сходится также;
2) если
расходится, то расходится и
Теорема 3.
Если на промежутке 
функция 
меняет свой знак то если
сходится, то сходится и
при этом второй интеграл называется абсолютно сходящимся.
Теорема 4.
Если положительные функции 
и 
непрерывны на промежутке 
и при этом
то оба несобственных интеграла
ведут себя одинаково.
1.4. Метод выделения особенностей
Часто при вычислении несобственных интегралов второго типа пользуются методом выделения особенностей, предложенным . Этот приём состоит в том, что если подынтегральная функция на рассматриваемом интервале ограничена
то несобственный интеграл существует и можно приступать к его вычислению. Сделать это можно с помощью аддитивного выделения особенностей. Для этого из подынтегральной функции 
в несобственном интеграле
выделяют в качестве слагаемого некоторую функцию 
, имеющую те же особенности, что и 
, легко интегрируемую и такую, чтобы разность 
была бы достаточно гладкой функцией.
Рассмотрим достаточно широкий класс функций, имеющих вид
где 
для 
разлагается в степенной ряд
Тогда полагаем
и
Функция 
интегрируется непосредственно, а 
имеет на отрезке 
непрерывных производных, а значит может быть вычислена обычными численными методами с оценкой погрешности.
Замечания:
1. Данный метод выделения особенностей может оказаться полезным при вычислении собственных интегралов, если подынтегральная функция не является достаточно гладкой.
ГЛАВА 2. РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ ОТ РАЗРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ МЕТОДОМ Л. В. КАНТОРОВИЧА ВЫДЕЛЕНИЯ ОСОБЕННОСТЕЙ
Пример 1. Вычислить приближенно интеграл
с точностью до 10-6.
Решение: Подынтегральная функция имеет разрыв при 
. Поэтому, выделяя из функции 
несколько первых членов разложения ее в ряд Маклорена, представим интеграл в виде суммы двух интегралов:
и
Вычислим первый интеграл
Вычислим второй интеграл
Теперь сложим получившееся результаты вычислений
Значение интеграла с 6 верными знаками после запятой
Пример 2. Вычислить приближенно интеграл
с точностью до 10-6.
Решение: Подынтегральная функция имеет разрыв при 
. Представим интеграл в виде суммы двух интегралов 
.
,
Тогда получим
Вычислим первый интеграл
Вычислим второй интеграл
Складываем полученные результаты
Значение интеграла с 6 верными знаками после запятой
Рассмотрите все 3 примера из учебника Копченова, Марон
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В данной курсовой работе были рассмотрены и изучены интегралы от разрывных функций, а также метод Канторовича выделения особенностей.
Уметь решать данные интегралы очень важно, т. к. это позволяет применять их в таких областях как физика (перемещение материальной точки, зависимость между работой и силой, количество теплоты за время, зависимость магнитного потока и ЭДС и т. п.) и математика (площадь криволинейной трапеции, вычисление длины дуги плоской кривой, вычисление объема тела вращения, вычисление площади поверхности вращения).
В курсовой работе изучена теория и решены соответствующие примеры.
