Контрольные работы

Контрольная работа №4

1. Вычислить частные производные первого и второго порядков от заданных функций

.

Решение:

2. Исследовать заданную функцию на экстремум.

.

Решение:

Чтобы найти стационарную точку, решим систему уравнений:

                       

               

               

М(-1/7;5/7) – стационарная точка.

;        ;        ;

;        ;        ;

       

A > 0. Поэтому в точке М – минимум.

Ответ: в точке М(-1/7;5/7) – минимум

3. Требуется: 1) построить на плоскости xOy область интегрирования заданного интеграла; 2) изменить порядок интегрирования; 3) вычислить площадь области при заданном и изменённом порядках интегрирования

Решение:

Поменяем порядок интегрирования:

4. Вычислить объём тела, ограниченного указанными поверхностями. Данное тело и область интегрирования изобразить на чертеже.

.

Решение:

5. Дан криволинейный интеграл и две точки M и N плоскости хОу. Установить независимость криволинейного интеграла от пути интегрирования и вычислить его по контуру, связывающему точки M и N.

.

Решение:

;        

;                ⇒

Интеграл не зависит от пути интегрирования

Контрольная работа №5

1. Найти общее решение (общий интеграл) дифференциальных уравнений первого порядка.

Решение:

Решим однородное уравнение

                                               

       

Для однородного уравнения С – const, для неоднородного уравнения положим С = С(х).

       

       

       

               

               

С0 – const

2. Даны дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка. Найти частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.

,                ,                .

Решение:

Сделаем подстановку .

       

       

                       

       

       

Подставим начальные условия:

:                

:        , С = 0.

или

3. Найти частные решения дифференциальных уравнений, удовлетворяющие данным начальным условиям.

y"+3y′–4y=5ex–4x2+6x+18;                y(0)=-3;                y′(0)=-8.

Решение:

Характеристическое уравнение:

               

Решение однородного уравнения:

Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде:

               

Общее решение:

4. Даны числовые ряды.

а) Исследовать сходимость рядов с положительными членами;

б) Исследовать сходимость знакочередующегося ряда по признаку Лейбница, в случае сходимости исследовать на абсолютную и условную сходимость.

а)                б) .

Решение:

а)

Применим признак Даламбера.

;                

Ряд расходится

б)

Члены ряда убывают по абсолютному значению,

Согласно признаку Лейбница данный ряд сходится.

Исследуем ряд, составленный из абсолютных значений:

Ряд сходится, следовательно, по признаку сравнения сходится и исследуемый ряд.

Таким образом, исходный ряд сходится абсолютно.

5. Даны степенные ряды. Написать первые четыре члена ряда, найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать сходимость ряда на концах найденного интервала.

Решение:

;  ;  ; 

По признаку Даламбера:

Данный ряд сходится при

       , т. е. при 

На левой границе ряд сходится условно, на правой границе ряд расходится.

6. Требуется вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001 путем предварительного разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования этого ряда.

Решение:

Разложим подынтегральную функцию в ряд вблизи точки х = a.

Учитывая интервал интегрирования, выберем a = ј (нулевое значение взять нельзя, т. к. оно будет фигурировать в знаменателе производной)

7. При указанных начальных условиях найти три первых, отличных от нуля члена разложения в степенной ряд функции y=f(x), являющейся решением заданного дифференциального уравнения.

y′=exy+y;                y(0)=1.

Контрольная работа №6

1. В магазин завезли 3 ящика мясных и 5 ящиков рыбных консервов. Вероятность того, что поступившая продукция просрочена, составляет для мясных консервов 0,2, для рыбных-0,3. Найти вероятность того, что из двух наудачу проверенных ящиков продукция просрочена только в одном ящике.

Решение:

Выбрать 2 ящика из 8 можно способами. Это могут быть:

1) один ящик мясной и один рыбный – вероятность равна

       

2) два мясных:

;

3) два рыбных:

       .

Кроме того, необходимо, чтобы из двух выбранных ящиков один был нормальный (вероятность для мяса и для рыбы), а другой – просроченный (и ).

Тогда искомая вероятность находится по формуле полной вероятности:

2. Две независимые случайные дискретные величины X и Y заданы своими законами распределения. Построить ряд распределения для случайной величины Z. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Z и проверить вычисления по свойствам математического ожидания и дисперсии.

X	-2	0	1	4
P	0,2	0,2	0,3	0,3

Y	1	7	Z=3X+Y
P	0,5	0,5

Решение:

Ряд распределения для Z:

X	-2	0	1	4	-2	0	1	4
Px	0,2	0,2	0,3	0,3	0,2	0,2	0,3	0,3
Y	1	1	1	1	7	7	7	7
Py	0,5	0,5	0,5	0,5	0,5	0,5	0,5	0,5
Z	-5	1	4	13	1	7	10	19
Pz	0,1	0,1	0,15	0,15	0,1	0,1	0,15	0,15

В порядке возрастания значений:

Z	-5	1	4	7	10	13	19
Pz	0,1	0,2	0,15	0,1	0,15	0,15	0,15

Математическое ожидание:

Дисперсия:

Проверим по свойствам математического ожидания и дисперсии. Для этого найдем:

3. Задана плотность распределения непрерывной случайной величины f(x). Построить кривую распределения, найти функцию распределения F(x) и построить ее график. Найти числовые характеристики случайной величины: математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение. Найти вероятность попадания случайной величины на заданный интервал [б; в].

f(x)=                

Решение:

График плотности распределения:

Функцию распределения найдем интегрированием плотности распределения:

       

График функции распределения:

математическое ожидание:

Дисперсия:

Среднее квадратическое отклонение:

Вероятность попадания случайной величины на заданный интервал [-4; -3,5]:

4. Дано, что детали, выпускаемые цехом, распределены по размеру диаметра по нормальному закону. Стандартная длина диаметра детали (математическое ожидание) равна а мм, среднее квадратическое отклонение –у мм. Найти: 1) вероятность того, что диаметр наудачу взятой детали будет больше б мм и меньше в мм; 2) вероятность того, что диаметр детали отклониться от стандартного размера не более чем д мм. Значения а, у, б, в, д даны.

а= 50;у= 2;б= 46;в= 52;д= 1.

Решение:

1) вероятность того, что диаметр наудачу взятой детали будет больше 46 мм и меньше 52 мм:

2) вероятность того, что диаметр детали отклонится от стандартного размера не более чем на 1 мм:

5. Исследовать систему на совместность и решить ее, если она совместна.

Решение:

Видно, что ранг матрицы А равен 2

Ранг матрицы В тоже равен 2. Система совместна и имеет бесконечно много решений, т. к. ранг меньше числа неизвестных.

Положим х3 = 1. Тогда

Тогда решение системы имеет вид:

, где С – произвольная постоянная