IX ЕЖЕГОДНЫЙ ВСЕРОССИЙСКИЙ КОНКУРС ДОСТИЖЕНИЙ ТАЛАНТЛИВОЙ МОЛОДЁЖИ
«НАЦИОНАЛЬНОЕ ДОСТОЯНИЕ РОССИИ»
___________________________________________________
Секция: информационные технологии, математика
Тема: О наиболее эффективном способе отбора корней тригонометрического уравнения.
Автор:
Научный руководитель:
Место выполнения работы: МБОУ «СОШ №25» п. Энем Республика Адыгея
2015
Введение
«Человеку, изучающему математику, часто полезнее решать одну и ту же задачу тремя различными способами, чем решать три-четыре различные задачи. Решая одну задачу различными способами, можно путём сравнения выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт решения задач.» ()
Однажды, написав пробный экзамен по математике на базовом уровне, я почувствовала, что могу решить, могу описать, но времени - то не хватает. И мне пришла в голову мысль, что необходимо не только правильно решить, но и найти кратчайший путь для реализации своих мыслей. Поэтому я начала заниматься исследованием методов решения заданий. Это один из проектов.
Актуальность: В школьном курсе " Тригонометрии" мы рассматриваем различные способы решения тригонометрических уравнений. Решение этих уравнений вызывает затруднения у школьников, особенно отбор корней на промежутке. А между тем, они встречаются на ЕГЭ и входят в один из номеров с полным оформлением ответа. На экзаменах дорога каждая минута, и четкость, и правильность, и затраченное время – все влияет на результат, поэтому эта проблема актуальна для всех учащихся. Для её решения я исследовала все способы на отбор корней тригонометрических уравнений, попыталась выбрать наиболее оптимальный и с наименьшей затратой времени.
Цель: научиться выбирать корни тригонометрических уравнений из заданного промежутка разными способами; определить наиболее оптимальный метод отбора корней с наименьшей затратой времени;
Задачи:
- создать базу данных; расширить кругозор учащихся; уметь выбирать необходимое, делать вывод и использовать полученные сведения и умения.
Гипотеза: Существует ли такой способ отбора корней тригонометрических уравнений, который с наименьшей затратой времени даст полное решение.
Методы и приемы, используемые для написания проекта: работа с научно-популярными изданиями, учебной литературой, проведение опроса и исследования работ одноклассников в применении различных методов.
Содержание:
1.Теоретическая часть
2. Исследовательская часть
3.База заданий
4. Вывод
5.Список используемой литературы
Основное содержание
1. Теоретическая часть.
Тригонометрические уравнения
Определение. Тригонометрическим уравнением называется уравнение, содержащее переменную под знаком тригонометрических функций.
Простейшими тригонометрическими уравнениями являются уравнения вида:
sin x=a,
cos x=a,
tg x=a,
ctg x=a.
Рассмотрим каждое значение уравнение подробнее.
Уравнение sin x=a
Множество значений функции принадлежит отрезку [-1;1], поэтому данное уравнение разрешимо тогда и только тогда, когда
Если 
, то уравнение не имеет корней.
Из-за периодичности функции, каждому значению соответствует бесконечное множество решений. Поэтому все решения описываются формулами:
или обобщенной формулой
x= (-1)karcsin a+ 
k, k 
Z.
Частные случаи
Важно отметить, что
Пример. Решить уравнение 
.
Решение:
Ответ: 
Уравнение cos x=a
Данное уравнение имеет смысл тогда и только тогда, когда
Множество решений записывается в виде
Частные случаи
Важно отметить, что
Пример. Решить уравнение 
Решение:
Ответ: 
Уравнения tga=x
Данное уравнение разрешимо при любом значение а. Все решения задаются формулой
Заметим, что
Пример. Решить уравнение 
Решение:
Ответ
Уравнение ctgx=a
Данное уравнение разрешимо при любом значении a. Все решения задаются формулой
Важно отметить, что
Пример. Решить уравнение 
Решение:
Ответ: 
При отборе корней в процессе решения тригонометрических уравнений
обычно используют один из следующих способов:
● Арифметический способ:
- непосредственная подстановка полученных корней в уравнение и имеющиеся ограничения; перебор значений целочисленного параметра и вычисление корней.
● Алгебраический способ:
- решение неравенства относительно неизвестного целочисленного параметра и вычисление корней; исследование уравнения с двумя целочисленными параметрами.
● Геометрический способ:
- изображение корней на тригонометрической окружности с последующим отбором и учетом имеющихся ограничений; изображение корней на числовой прямой с последующим отбором и учетом имеющихся ограничений.
● Функционально-графический способ
- выбор корней с помощью графика простейшей тригонометрической функции.
Способы отбора корней в тригонометрических уравнениях.
Для раскрытия способов отбора корней рассмотрим простейшие тригонометрические уравнения, содержащие простейшие тригонометрические уравнения и неравенства.
1. Арифметический способ
Непосредственная подстановка корней в уравнение и имеющиеся ограничения. В случае непосредственной подстановки серий полученных решений для удаления «посторонних» решений полезным оказывается использование формул приведения. В частности,
Пример. Найти корни уравнения 
, удовлетворяющие неравенству
sin x ≤0.
Решение. Из уравнения 
или 
,
.
Проверим для полученных значений х выполнение условия 
. Для первой серии получаем
.
Следовательно, первая серия является «посторонней», так как не подходит по условию. Для второй серии получаем 
что и требовалось найти.
Ответ: 
2. Алгебраический способ
Алгебраический способ отбора корней наиболее удобен в тех случаях, когда последовательный перебор значений параметров приводит к вычислительным трудностям, промежуток для отбора корней большой, значения обратных тригонометрических функций не являются табличными, и при решении задач с дополнительными условиями.
Пример. Найти все решения совокупности уравнений
принадлежащие промежутку 
Решение.
1. cos x=0, x = 
Так как решения должны удовлетворять неравенству -
то, сократив на 
получим -1
или -
. C учетом того что n
получаем два значения n=-1 и n=0 то х =
, если n=-1 то х =-
.
2. sin x=0,5
Так как должно выполняться условие 
, то для первой серии имеем 
Отсюда получаем 
.
Для второй серии имеем
Последнее неравенство не имеет целочисленных решений.
3. Геометрический способ
В учебниках используются несколько различных моделей к иллюстрации решения простейших тригонометрических уравнений или неравенств: с применением тригонометрического круга (числовая окружность) или графика простейшей тригонометрической функции (числовая прямая).
Тригонометрическую окружность удобно использовать при отборе корней на промежутке, длина которого не превосходит 2П, или, когда значения не являются табличными.
Пример. Решите уравнение cos 2x + 3sin2x = 1,25.
Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку. 
Решение.
по формуле 
Ответ: 
Ответ: 
4. Функционально-графический способ
При изображении решений простейших тригонометрических неравенств иногда используют графики простейших тригонометрических функций. Для нахождения решения тригонометрического неравенства при этом подходе требуется схематичное построение графика простейшей тригонометрической функции и применение формул корней соответствующих уравнений.
Пример. Решите неравенство:
а) sin x
б) sin x
Решение.
Схематично изобразим графики функций у=sin x и 
. Для уравнения 
запишем общее решение 
Найдем три корня этого уравнения, последовательно придавая переменной n значения -1, 0,1: 
. Полученные значения являются точками пересечения построенных графиков. Неравенство sin x
выполняется на промежутке (-
;
- график функции y=sin x расположен ниже прямой 
, а неравенство 
выполняется на промежутке 
-график функции у= sin x расположен выше прямой 
.
Добавляя слагаемое ( период синуса) к концам этих интервалов, получаем окончательное решение:
Для неравенства 
в виде
3.Исследовательская часть.
Рассмотри отбор корней уравнения 
принадлежащие промежутку 
разными способами.
1) Арифметический (не подходит по условию)
2) Алгебраический
Подставляем значения в формулы и получаем:
Решения должны удовлетворять неравенствам
-
Целочисленные значения: 0 Целочисленные значения: 0
Подставляем полученное значение
Это и есть корни.
Время, затраченное на решение уравнения: 5 минут.
3) Геометрический
Ответ:
Время, затраченное на выполнение: 3 минуты.
4) Функционально - графический.
Схематично изобразим графики функций у = sin x и 
.
Для уравнения 
запишем общее решение 
Найдем три корня этого уравнения, последовательно придавая переменной n значения -1, 0,1: 
. Полученные значения являются абсциссами трех последовательных точек пересечения построенных графиков. Промежутку
(отмечен красным цветом на графике) принадлежат точки 
; 
в промежуток не входит.
Время, затраченное на решение уравнения: 6 минут.
Решение уравнения с табличным значением | |||
Арифметический | Алгебраический | Геометрический | Функционально-графический |
- | решено | решено | решено |
- | 5 минут | 3 минут | 6 минут |
Рассмотрим уравнение с не табличным значением 
и найдем корни на промежутке 
аналогичными способами.
1) Арифметический (не подходит по условию)
2) Алгебраический:
Подставляем значения в формулы
Решения должны удовлетворять неравенствам
-
При дальнейшем рассмотрении возникают затруднения в решении неравенства.
3) Геометрический способ:
Искомые корни: 
4. Функционально-графический способ:
Схематично изобразим графики функций у = sin x и 
.
Точки пересечения прямой и синусоиды и есть, искомые корни уравнения.
Промежутку
(отмечен красным цветом на графике) принадлежат две точки arcsin 
и 
.
Решение уравнения с не табличными значениями | |||
Арифметический | Алгебраический | Геометрический | Функционально-графический |
- | затруднения в вычислениях | решено | решено |
- | - | 4 минуты | 6 минут |
Проанализировав результаты решения и затраченного времени можно сделать вывод, что геометрический метод наиболее оптимальный, с наименьшей затратой времени.
Как же в этом убедить ребят нашего класса? Я с разрешения учителя, на элективном курсе, предложила ребятам разделиться на 4 группы и решить уравнения с отбором корней на промежутке, но решать разными способами: две команды - алгебраическим способом, а две другие - геометрическим. Решали десять заданий из части С ( типовых экзаменационных вариантов).
3. Банк заданий.
1.Дано уравнение sin x=1/2
a) решите уравнение
б) укажите корни, принадлежащие отрезку
2. Найдите те решения уравнения cos x = -1/2, которые удовлетворяют
промежутку 
3. Решить систему
,
И найти корни на промежутке
4. Найдите наименьший положительный корень уравнения
sin (x - п/6)=-√3/2
5. Дано уравнение cos x=-
a) решите уравнение
б) укажите корни, принадлежащие отрезку 
в) Укажите корни, принадлежащие отрезку
6. Найдите наибольший отрицательный корень уравнения
cos ( x + 
)=
7. Найти корни уравнения tg x=
, удовлетворяющие промежутку 
.
8. Дано уравнение cos x=-
a) решите уравнение
б) укажите корни, принадлежащие отрезку 
в) Укажите корни, принадлежащие отрезку 
9. Дано уравнение cos x=-
a) решите уравнение
б) укажите корни, принадлежащие отрезку 
в) Укажите корни, принадлежащие отрезку 
10. Решите уравнение cos2x – sin2(
– x) = – 0,25.
Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
.
Результаты таковы, что те команды, которые решали геометрическим способом (команды № 1,2), закончили быстрее и решили правильно, а те которые алгебраическим способом (команды № 3, 4) решали уравнения и затруднились в вычислениях с не табличными значениями.
Команды | №1 | №2 | №3 | №4 | №5 | №6 | №7 | №8 | №9 | №10 |
1 | + | + | + | + | + | + | + | + | + | + |
2 | + | + | + | + | + | + | + | + | + | + |
3 | + | + | + | + | + | + | + | - | - | + |
4 | + | + | + | + | + | + | + | - | - | + |
4. Вывод
В проектной работе мы рассмотрели разные способы отбора корней тригонометрического уравнения. Практически проверили, что геометрический метод является наиболее оптимальным и наглядным для отбора корней в тригонометрических уравнениях, применение которого может сэкономить наше драгоценное время на экзамене.
5.Список используемой литературы
1. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. Профильный уровень.
2., Прокофьев уравнения: методы решения и отбор корней
3. ЕГЭ 2012. Математика. Типовые тестовые задания /под ред. - ва, . – М.: Издательство «Экзамен», 2012.
4. www. egemathem. ru – единый государственный экзамен (от А до Я).
