Лекция 18

Лекция 18

1. Дифференцирование сложной функции

Рассмотрим сложную функцию , где

, .  (1)

Теорема. Пусть функции (1) дифференцируемы в некоторой точке , а функция дифференцируема в соответствующей точке , где . Тогда сложная функция

дифференцируема в точке . При этом частные производные этой сложной функции в точке определяются формулами

, ,  (2)

где все частные производные берутся в точке , а все частные производные берутся в точке .

       В частном случае, если все переменные являются функциями только одной переменной , то функция также является сложной функцией одной переменной и имеет в точке обычную производную . Формула для вычисления этой производной получается заменой в формуле (10) частных производных на обычные производные

.  (3)

       Пример. Пусть , , . Найдем , используя формулу (3). Для функции двух переменных и это формула принимает вид

.  (4)

Для заданной функции

,  ,  ,  .

Подставляя найденные значения производных в (4) получим

.

2. Инвариантность формы первого дифференциала

Пусть аргументы дифференцируемой функции , сами являются дифференцируемыми функциями переменных . В этом случае для дифференциала справедлива та же формула, что и в случае независимых переменных :

.

Другими словами, выражение для дифференциала не зависит от того, являются переменные независимыми или они представляют собой функции других переменных. Это свойство первого дифференциала называют свойством инвариантности его формы.

Заметим, что если рассматривать функцию , где , () как сложную функцию аргументов , то ее дифференциал можно также представить в виде

.

Производная по направлению. Градиент

Пусть функция трех переменных определена в некоторой окрестности точки . Проведем через точку ось , составляющую с осями углы соответственно. Возьмем на этой оси произвольную точку и обозначим через величину направленного отрезка . Тогда

,

,

.

На указанной оси функция является сложной функцией переменной . Если эта функция имеет в точке производную по переменной , то эта производная называется производной по направлению и обозначается символом . Итак,

.

Применяя формулу для дифференцирования сложной функции, получим

.  (5)

Напомним, что являются координатами единичного вектора, сонаправленным с осью . Обозначим его . Итак, , .

Вектор с координатами, равными производным , вычисленными в точке , называется градиентом функции в точке и обозначается символом , то есть

.

Из формулы (5) следует, что производная по направлению и градиент связаны между собой соотношением

,  (6)

где — скалярное произведение векторов и .

Если функция является функцией двух переменных , то

,

а производная по направлению задается формулой

,

где — угол между вектором, задающим направление, и положительным направлением оси , — угол между вектором и положительным направлением оси .

В случае функции переменных соответствующие формулы имеют вид

,

,

где — координаты единичного вектора, задающего направление.

Свойства градиента

1. Градиент функции в точке характеризует направление и величину максимального роста этой функции в точке .

Действительно, согласно формуле (6) и определению скалярного произведения

,

где — угол между вектором и . Но принимает максимальное значение равное 1 при , а . Следовательно,

,

если , то есть, если направление вектора совпадает с направлением градиента. Итак, именно в направлении градиента функция растет наиболее быстро и скорость ее роста равна .

2. Градиент функции в точке ортогонален к той поверхности уровня, которая проходит через точку.

Докажем это утверждение для функции двух переменных . Уравнение линии уровня, проходящей через точку , имеет вид

,

где . Тогда

.

Разделив последнее равенство на , получим

.  (7)

Равенство (7) можно переписать в виде

,  (8)

где — направляющий вектор касательной, проведенной к линии уровня в точке . Из равенства (8) следует, что ортогонален касательной и, следовательно, линии уровня.

2. Неявная функция, задаваемая одним уравнением

Нередко приходится сталкиваться с задачами, когда переменная , являющаяся по смыслу задачи функцией своих аргументов , задана посредством функционального уравнения

.  (9)

В этом случае говорят, что как функция своих аргументов задана неявно. Эту функцию можно определить явно, решив уравнение (9) относительно переменной . Однако не всегда это решение можно выразить через элементарных функций.

Получим формулу для вычисления частных производных функции , заданной неявно уравнением (9), предполагая, что выполнены следующие условия:

функция дифференцируема в некоторой окрестности точки ; ; .

Известно, что при этих условиях в окрестности точки существует однозначная непрерывная и дифференцируемая функция , удовлетворяющая уравнению (9).

       Введем вначале понятие полной частной производной функции по аргументу , если функция сама является дифференцируемой функцией аргументов . Тогда функцию  можно рассматривать как сложную функцию аргументов. Частные производные этой сложной функции по будем называть полными частными производными и обозначать символами . По правилу дифференцирования сложной функции получим следующую формулу для полных частных производных:

, .  (10)

Если функция задана неявно уравнением (9), то , то есть

.

Отсюда следует формула

.  (11)

Пример 1. Найти частные производные функции , заданной неявно уравнением

.

Воспользовавшись формулой (7), где , получим

,

.

3. Неявные функции, определяемые системой функциональных уравнений

Рассмотрим систему функциональных уравнений

  (12)

При некоторых условиях эта система однозначно разрешима относительно переменных в окрестности точки , в которой (). Тогда говорят, что функции

  (13)

которые являются решением системы (12), заданы этой системой неявно.

Заметим, что совокупность функций (13) называется решением системы (12), если все уравнения системы (12) при подстановки в нее функций (13) превращаются в тождества. Это решение называется непрерывным и дифференцируемым в некоторой области изменения переменных , если каждая из функций (13) непрерывна и дифференцируема в области .

Пусть функции   имеют в некоторой точке все частные производные первого порядка по переменным . Определитель, составленный из частных производных этих функций,

называется определителем Якоби (или якобианом) функций по переменным и кратко обозначается символом

.

       Далее будем считать, что

функции дифференцируемы в некоторой окрестности точки ; , ; .

При этих условиях система (12) однозначно разрешима относительно переменных , причем полученное решение является в некоторой окрестности точки непрерывным и дифференцируемым.

Вычислим частные производные неявно заданных функций по переменной . Для этого продифференцируем уравнения системы (12) по этой переменной, используя правило дифференцирования сложной функции. В результате для определения частных производных получим систему линейных уравнений

  (14)

Определитель этой системы является определителем Якоби функций по переменным , который согласно сформулированным выше условиям отличен от нуля. Следовательно, система (14) имеет единственное решение, определяемое, например, по правилу Крамера.

       Пример 2. Функции и двух независимых переменных заданы системой уравнений

  (15)

Найти частные производные .

       В данном случае функции , дифференцируемы в любой точке , причем

, , , , , , , .

Якобиан отличен от нуля при . Следовательно, система (15) однозначно разрешима относительно и при .

Найдем при частные производные . Для частных производных по переменной система (14) принимает вид

  (16)

Подставляя в (16) , , , , , , получим

По правилу Крамера , , где — это определитель Якоби, , . Следовательно,

,  .

       Частные производные и по переменной удовлетворяют системе

которая после подстановки выражений , , , , , , принимает вид

Отсюда находим

,  .