Задания

15Решите неравенство 3x + 8·3-x ≥ 9

Решение:

Преобразуем неравенство

Введем новую переменную, пусть

Получим неравенство

Приведем к общему знаменателю

Решим неравенство методом интервалов.

Нули числителя:

S a2 – 9a + 8 = 0

D = 49

a1 = 1, a2 = 8

Нули знаменателя: 0.

Получим: 0 < a ≤ 1; a ≥ 8

Рассмотрим 0 < a ≤ 1, вернемся к первоначальной переменной:

Рассмотрим a ≥ 8, вернемся к первоначальной переменной:

Ответ:

16В треугольнике АВС известно, что ∠ВАС = 60°, ∠АВС = 45°. Продолжения высот треугольника АВС пересекают описанную около него окружность в точках M, N, P.

а) Докажите, что треугольник MNP прямоугольный.

б) Найдите площадь треугольника MNP, если известно, что ВС = 6.

Решение:

а) Докажите, что треугольник MNP прямоугольный.

Так как ∠АВС = 45°, а СР – высота треугольника ∆АВС, тогда ∠ВСР = 45°. Угол ∠ВСР – вписанный в окружность угол, он равен половине дуги, на которую он опирается, следовательно, дуга ВР = 90°.

Так как ∠АВС = 45°, а АМ – высота треугольника ∆АВС, тогда ∠ВАМ = 45°. Угол ∠ВАМ – вписанный в окружность угол, он равен половине дуги, на которую он опирается, следовательно, дуга ВМ = 90°.

Дуга МР равна сумме дуг ВР и ВМ, т. е. дуга МР = 180°. Угол ∠МNP – вписанный в окружность угол, следовательно, ∠МNP = 90°. Тогда треугольник ∆MNP – прямоугольный.

б) Найдите площадь треугольника MNP, если известно, что ВС = 6.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ∆MNP. MP – гипотенуза вписанного в окружность прямоугольного треугольника ∆MNP, следовательно, МР – диаметр окружности, тогда МР = 2R.

Используя теорему синусов, имеем, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности, получим

Следовательно, МР = 2R = 4√3.

Рассмотрим треугольник ∆АВС. Угол ∠ВАС = 60°, СР – высота треугольника ∆АВС, тогда ∠АСР = 30°. Угол ∠АСР – вписанный в окружность угол, он равен половине дуги, на которую он опирается, следовательно, дуга АР = 60°.

Аналогично, угол ∠ВАС = 60°, BN – высота треугольника ∆АВС, тогда ∠АBN = 30°. Угол ∠АBN – вписанный в окружность угол, он равен половине дуги, на которую он опирается, следовательно, дуга АN = 60°.

Дуга PN равна сумме дуг АР и АN, т. е. дуга РN = 120°. Угол ∠NМP – вписанный в окружность угол, который опирается на дугу РN, тогда угол ∠NМP = 60°.

В прямоугольном треугольнике ∆MNP угол ∠NМP = 60°, значит, угол ∠МPN = 30°. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.

Тогда

Тогда площадь треугольника ∆MNP равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними, т. е.

Ответ: 6√3

17Задание 17. Предприниматель купил здание и собирается открыть в нём отель. В отеле могут быть стандартные номера площадью 27 квадратных метров и номера «люкс» площадью 45 квадратных метров. Общая площадь, которую можно отвести под номера, составляет 855 квадратных метров. Предприниматель может поделить эту площадь между номерами различных типов, как хочет. Обычный номер будет приносить орублей в сутки, а номер «люкс» — 3000 рублей в сутки. Какую наибольшую сумму денег сможет заработать в сутки на своём отеле предприниматель?

Решение.

Обозначим через число номеров «люкс», а через - число стандартных номеров, тогда должно соблюдаться неравенство:

.

Суммарный доход, который получит предприниматель от отеля, равен

,

и, учитывая, что

,

имеем (здесь 3000 – это 3 тыс. руб., а 2000 – это 2 тыс. руб.):

Из этого выражения следует, что число номеров «люкс» должно быть минимально.

Найдем минимальное число номеров «люкс», при котором получаем целое число стандартных номеров, т. е. выберем так, чтобы было целым числом, получим (при ):

,

то есть нужно разместить 1 номер «люкс» и 30 стандартных номеров. Доход составит

рублей.

Ответ: 63000.

19Задание 19. Все члены геометрической прогрессии — различные натуральные числа, заключённые между числами 210 и 350.

а) Может ли такая прогрессия состоять их четырёх членов?

б) Может ли такая прогрессия состоять их пяти членов?

Решение.

а) Допустим, что первый член геометрической прогрессии равен , а . Тогда следующие три члена геометрической последовательности будут равны

б) Предположим, что знаменатель геометрической прогрессии определяется как , где - взаимно простые натуральные числа, причем . Тогда для пяти членов прогрессии должно выполняться условие

.

Здесь величина (первый член прогрессии) выбрана так, чтобы она делилась на нацело (иначе не получим натуральное число с учетом того, что взаимно простые). Отсюда следует, что и так как , то . Учитывая, что , имеем , следовательно

и

,

то есть пять членов такой геометрической прогрессии быть не может.

Ответ: а) да; б) нет.