Метод R-аппроксимации для системы управления запасами с релейным управлением
,
Национальный исследовательский Томский государственный университет, *****@***ru
Строится и исследуется математическая модель системы управления запасами с релейным управлением объемом накопленных ресурсов.
Ключевые слова: математическое моделирование, управление запасами, релейное управление, R-аппроксимация.
Введение
С развитием средств связи и вычислительной техники появилось стремление к созданию методов оценки, оптимизации и управления запасами. В последние десятилетия особый интерес был проявлен к математическим моделям управления запасами.
Математическая модель
Рассмотрим систему управления запасами (рис. 1), на вход которой с постоянной скоростью н = 1 непрерывно поступают некоторые ресурсы.
Рис. 1. Система управления запасами
Обозначим объем, накопленных ресурсов в системе к моменту времени t через s(t). Будем полагать, что запросы на потребление ресурса будут поступать в случайные моменты времени, а величины запросов – партии случайного объема.
Пусть моменты потребления образуют пуассоновский поток с кусочно-постоянной интенсивностью л(s), зависящей от значений s(t) = s величин накопленных запасов к моменту времени t поступления заявки на расходование ресурса, здесь
(1)
где S – некоторое пороговое значение уровня запасов s(t).
Будем считать, что объемы потребления, то есть величины запроса на потребление ресурсов, имеют произвольную функцию распределения B(x).
Стоит отметить, что возможна ситуация, когда процесс s(t) принимает отрицательные значения, то есть s(t) < 0, система продолжает функционировать, откладывая исполнение заявки на потребление ресурсов.
Для данной системы условие существования стационарного режима имеет вид
, (2)
где b – среднее значение объема одной партии на потребление ресурсов.
Из описания математической модели следует, что случайный процесс s(t) является марковским с непрерывным временем t и непрерывным множеством значений −∞ < s < ∞.
Для стационарной плотности распределения 
получено уравнение
. (3)
Рассмотрим решение уравнения (3) методом R-аппроксимации, аналогичной гиперэкспоненциальной аппроксимации, предложенной в работе [1], которая реализуется следующим образом.
На первом этапе метода R-аппроксимации найдем решение уравнения (3) при гиперэкспоненциальном распределении объемов потребления
, (4)
где мk > 0 и 0 < q< 1, решение уравнения (3) имеет вид
(5)
где 
, 
, 
, причем z1 > 0, z2 > 0, г<0.
Константы C1, C2, C определяются равенствами
, 
, 
,
где 
, akн элементы матрицы 
.
Следующим этапом метода R-аппроксимации будет аппроксимация функции распределения B(x) функцией
, (6)
которая формально совпадает с гиперэкспоненциальным распределением (4), но значения её параметров могут не удовлетворять ограничениям на параметры гиперэкспоненциального распределения.
Значения параметров q, м1, м2, функции R(x) находятся методом моментов, путем приравнивания первых трех начальных моментов a1, a2, a3, функции распределения B(x) к соответствующим интегральным характеристикам функции R(x). Можно показать, что выполняются следующие равенства
,
где
Имитационное моделирование
В качестве распределения объемов потребления рассмотрим равномерную функцию распределения
для которой 
, 
, 
.
При a = 1, S = 10, н = 1, л1 = 0.8 и л2 = 0.8 получены значения параметров q = 0.5 ‑ 0.866i, м1 = 1.5 ‑ 0.866i, м2 = 1.5 + 0.866i аппроксимирующей функции R(x) и параметров определяющих выражение (5) для плотности распределения вероятностей значений процесса s(t) z1=1.881, z2=0.319, г= ‑0.287, C1= ‑0.019, C2= 0.163, C= 0.144. Для указанных значений параметров была построена имитационная модель функционирования системы управления запасами с равномерно распределенными объемами потребления и проведено сравнение эмпирической функции распределения F(x) значений процесса s(t) и функции распределения FR(x), полученной на основе R ‑ аппроксимации.
Рис. 2. Сравнение эмпирической функции F(x) и функции распределения FR(x), полученной на основе R – аппроксимации
Воспользуемся расстоянием Колмогорова 
для определения качества аппроксимации. Для заданных параметров оно составило Д = 0.0038, что говорит о высокой точности аппроксимации.
Выводы
В данной работе построена математическая модель системы управления запасами. Предложена R – аппроксимация распределения значений объема запасов в системе. На основе имитационного моделирования показано, что функция распределения FR(x) значений процесса s(t) объема ресурсов, полученная на основе R – аппроксимации достаточно точно описывает реальный процесс.
Литература
1. Рыжиков очередей и управление запасами // СПБ.: Питер, 2001. - 384 с.
Method of R-approximation for the INVENTORY CONTROL SYSTEM with on/off control
Nazarov А. А., Broner V. I.
Tomsk State University, *****@***ru
Consider a mathematical model of inventory management with on/off control.
Кеу words: mathematical modeling, inventory management, on/off control, R-approximation.
