УДК 537.84
1
Гидродинамика пленок намагничивающихся поверхностно-активных веществ
Рассматривается вывод систем уравнений движения пленок намагничивающихся поверхностно-активных веществ, находящихся на немагнитной жидкой подложке в неоднородном магнитном поле. Замыкание системы уравнений проведено методами термодинамики неравновесных процессов.
The system of surface motion equations of magnetic surface active films on liquid non-magnetic basis in magnetic field had been obtained. The methods of non-equilibrium thermodynamics had been used.
Магнитные пленки на жидкой подложке получаются нанесением небольшого количества магнитной жидкости на поверхность обычной немагнитной. Результаты экспериментального исследования магнитных пленок приведены в работе [1]. Показано, что магнитные пленки могут находиться в одном из состояний: двухмерном газообразном, жидком или твердом. Для твердых пленок обнаружен эффект гофрирования. Возникновение твердой фазы в пленках связано с магнитостатическим взаимодействием магнитных частиц, входящих в состав магнитной жидкости с достаточно большой намагниченностью, а следовательно, с достаточно большой концентрацией магнитных частиц.
Приведем здесь некоторые новые результаты простых экспериментов, проведенных с пленками магнитных поверхностно-активных веществ (ПАВ), наносившихся на поверхность воды.
Небольшие куски твердой магнитной пленки перемещаются по поверхности немагнитной жидкости под влиянием неоднородного магнитного поля, если до нанесения магнитной пленки на поверхности немагнитной жидкости не было обычного немагнитного ПАВ. Если же магнитная пленка нанесена на твердую немагнитную пленку ПАВ, то твердые куски магнитной пленки, как и следовало ожидать, не перемещаются в магнитном поле. Показано, что с увеличением толщины магнитной пленки размеры складок на краях пленки возрастают. Возникновение складок, а также растрескивание твердых пленок происходят через несколько минут после нанесения пленки. Поверхность пленки при этом заметно сокращается. Это сокращение связано с испарением керосина с поверхности пленки.
Если к поверхности магнитной пленки поднести достаточно близко каплю керосина, не прикасаясь к пленке, то поверхность пленки непосредственно под каплей покроется складками, которые исчезают при удалении капли. Аналогичное явление наблюдается и для других летучих жидкостей, являющихся растворителями для магнитной жидкости. Явление гофрирования пленки под каплей керосина объясняется поглощением пленкой паров керосина, что приводит к увеличению ее площади. Этому расширению пленки под каплей препятствует окружающая несжимаемая пленка, что приводит к ее выводу в окружающее пространство, т. е. к гофрированию пленки. Эти опыты позволяют интерпретировать твердые магнитные пленки как двухмерные гели, которые могут либо отдавать в окружающую среду, либо поглощать растворитель(в данном случае керосин), что приводит к изменению их площади. Возникновение крупных складок на краях пленки, а также растрескивание пленок объясняются неоднородным по поверхности пленки испарением керосина, приводящим к возникновению внутренних напряжений в пленке. Таким образом, при построении моделей магнитных пленок необходимо учитывать их массообмен с объемными фазами.
Если вокруг гофрированной магнитной пленки нанести немагнитное ПАВ, то размер складок на краях значительно увеличится. Это увеличение размеров складок связано с тем, что немагнитная пленка ПАВ, стремясь увеличить свою площадь, стягивает при этом магнитную пленку. Поскольку магнитная пленка слабосжимаемая, это приводит к увеличению размеров складок. Площадь, занимаемая магнитной пленкой на поверхности воды, при этом значительно сокращается.
Опыты показывают, что до затвердевания магнитная пленка обладает ярко выраженными поверхностно-активными свойствами, связанными с присутствием олеиновой кислоты.
Опыты по отражению света от пленки позволяют сделать вывод, что темные пятна [1], покрывающие пленку, являются линзочками сконденсированной магнитной жидкости.
Если нанести каплю керосина на магнитную пленку, капля не будет растекаться, а постепенно растворит пленку. Вокруг капли в пленке образуются радиальные складки, причем между каплей и поверхностью пленки, покрытой складками, возникает плоская (негофрированная) кольцеобразная зона.
Эффект гофрирования на поверхности немагнитных пленок ПАВ не обнаружен.
Для вывода граничных условий для электромагнитных величин на поверхности двухмерных намагничивающихся континуумов воспользуемся уравнениями Максвелла в так называемой форме уравнений атомных полей [2], усредненными по физически бесконечно малым площадям, параллельным поверхности двухмерного континуума:
(1)
=
, 
=
.
Здесь 
и 
– электрическое и магнитное микроскопические поля; 
и 
– микроскопическая плотность заряда и ток; 
и 
– векторы, характеризующие структуру микрочастиц.
Уравнения (1), записанные в неподвижной системе координат 
, применимы как к объемным фазам, так и к межфазному переходному слою. Будем полагать, что среднеповерхностные <
>
и среднеобъемные <
>
величины в объемных фазах (но не в межфазной области) равны между собой:
<
>
=<
>
. (2)
Предполагаем, что поверхностный континуум намагничивается, но не поляризуется (приближение феррогидродинамики). Приложенное электрическое поле отсутствует.
Интегрируя обе части первого уравнения (1) по сечению межфазного слоя, заменяя в объемных фазах среднеповерхностные значения среднеобъемными согласно (2), стягивая ток и магнитный момент, расположенные в межфазной зоне к геометрической поверхности двухмерного континуума, находим:
{
}={4
/c}[
+c(
)+c(
b
H
)]. (3)
Здесь {
}=
– скачок величины на поверхности двухмерного континуума; 
=
, 
- единичная нормаль, направленная из первой объемной фазы во вторую; 
– поверхностный ток проводимости; 
– поверхностная намагниченность; 
– поверхностный базис; 
– второй фундаментальный тензор поверхности. При выводе (3) учтено равенство 
=
-4
, где 
=<
>
, 
=<
>
.
Аналогично из третьего уравнения (1) следует граничное условие
{B
}=
Наконец, граничные условия для электрического поля, получаемые из второго и четвертого уравнений (1), имеют в приближении феррогидродинамики обычный вид [1].
Отметим, что в рассматриваемом здесь приближении магнитное поле при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой не изменяется.
Магнитное поле 
=
в объемных фазах находится при помощи выражения для микроскопического поля [2, c. 26]
(
,t)=
(
)
d
. (4)
Выражение для векторного потенциала имеет вид
Здесь 
– поверхностная ковариантная производная; 
; 
; 
; 
– первый фундаментальный тензор поверхности; 
– точка на поверхности двухмерного континуума 
; по повторяющимся индексам проводится суммирование.
Поверхностная индукция магнитного поля 
, определяемая соотношением
=
<
>
dn, (5)
Также находится при помощи выражения(4). Интеграл в правой части (5) берется по сечению пленки, толщина которой 
=const.
на единицу площади. Для простейшей модели газообразных и жидких пленок можно предположить, что 
зависит от энтропии S
, концентрации компонентов 
(k=1,…,n), плотности 
, поверхностной индукции 
. Тогда тождество Гиббса запишется в виде
d
=TdS
+
(6)
Здесь 
– температура; 
– химический потенциал; 
– коэффициент поверхностного натяжения.
Из тождества (6), в частности, следует,
(6)
Где 
– поверхностное натяжение без магнитного поля.
Для простейшей модели твердой пленки в случае малых деформаций можно предположить, что внутренняя энергия 
зависит от S
, 
, 
, 
, 
, где 
– поверхностный тензор деформаций.
В более сложных моделях пленок можно вводить и другие аргументы в выражение для энергии 
.
4. Рассмотрим подробно одну наиболее важную для практических приложений модель жидкой магнитной пленки. Предполагаем, что объемные фазы не намагничиваются. Пренебрегаем собственным магнитным полем пленки по сравнению с внешним приложенным полем 
, т. е. в тождестве (6) принимаем 
=
. Поскольку поле 
задано, отпадает необходимость в рассмотрении граничного условия (3). Как объемные, так и поверхностные фазы считаем неэлектропроводными.
Применяя метод виртуальных перемещений [1], находим силу, действующую на единицу площади магнитной пленки:
=2K
+
; 
=
(
/
n)+
( 
/
u
). (8)
Здесь u
– поверхностные координаты; n – нормальная к пленке координата; K=
– средняя кривизна поверхности 
.
Для изотропных пленок (
) (8) принимает вид
=2K
+
,
где 
=
– градиент приложенного поля.
Уравнение неразрывности для k-го компонента поверхностной смеси и уравнение импульса для намагничивающегося поверхностного континуума записываем в виде
Здесь 
– неравновесная часть поверхностного тензора напряжений; 
– объемное механическое напряжение на поверхности двухмерного континуума; 
– поверхностный вектор диффузии; 
- скорость возникновения компонента k за счет химических реакций. По повторяющимся латинским индексам (пространственные координаты) и греческим индексам (поверхностные координаты) проводится суммирование. Все частные производные по времени от поверхностных величин берутся при фиксированных поверхностных координатах 
.
Уравнение неразрывности поверхностной смеси суммированием первого уравнения (9) по всем компонентам:
(10)
Из уравнений (9), (10) следует уравнение баланса кинетической энергии.
Применяя известную процедуру [3], находим уравнения баланса энергии и энтропии
(11)
; 
=
+
; 
=
+
Здесь 
– поверхностное производство энтропии; 
– поверхностный тензор скоростей деформации; p – - давление; 
– неравновесная часть объемного тензора напряжений 
; 
– пространственный фундаментальный тензор, 
– поверхностный вектор потока тепла.
На основании выражения для производства энтропии (11) выпишем термодинамические потоки и силы:
термодинамические потоки
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
9) 
термодинамические силы
d, 2)
3) 
4) 
5) 
6) 
8) 
9) 
Индекс 
=1 относится к первой объемной фазе, 
=2 – ко второй.
В общем случае каждый из потоков является линейной функцией от всех сил.
Потоки 
характеризуют массообмен магнитной пленки с объемными фазами. Смысл остальных потоков ясен из их определений.
Для замыкания вышеприведенной системы уравнений необходимо задать явный вид внутренней энергии 
.
Если в уравнении импульсов (9) можно пренебречь поверхностным импульсом (при очень медленных движениях), а также предположить отсутствие скольжения между объемными и поверхностными фазами, т. е. принять 
на поверхности пленки то уравнение (9) переходит в условие баланса сил
При отсутствии движения предыдущее уравнение принимает вид
Отметим, что смещение магнитной пленки в нормальном направлении в неоднородном магнитном поле обнаруживается визуально в условиях эксперимента.
Все описанные выше эксперименты проводились с магнитной жидкостью, имеющей состав: керосин, олеиновая кислота, магнетит. Намагниченность насыщения жидкости составляла 100 кA/м.
Библиографический список
Тактаров в гидродинамику поверхностных явлений. – Саранск : Изд-во Мордов. ун-та, 1991. 164 с. Де , Сатторп . – М.: Наука, 1982. 560 с. Де , еравновесная термодинамика. – М. : Мир, 1964. 456 с.© , 2009.
1 Мордовский государственный педагогический институт, Саранск, Россия
