О ДВИЖЕНИЯХ ГАМИЛЬТОНОВОЙ СИСТЕМЫ ПРИ НАЛИЧИИ СЛАБОГО ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО РЕЗОНАНСА И СИЛЬНЫХ РЕЗОНАНСОВ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА
Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет), *****@***ru
Исследуются движения периодической по времени гамильтоновой системы с двумя степенями свободы в окрестности положения равновесия при наличии слабого параметрического резонанса и сильных резонансов третьего порядка.
Ключевые слова: гамильтонова система, резонансы, устойчивость, функция Четаева, модельная система.
Введение
В докладе излагаются результаты очередного этапа исследования актуальной задачи об устойчивости и малых колебаниях неавтономных, периодических по времени гамильтоновых систем с двумя степенями свободы при наличии кратных резонансов. Рассматривается взаимодействие слабого параметрического резонанса (резонанса второго порядка) и одного или нескольких сильных резонансов третьего порядка.
Постановка задачи. Нормализованный гамильтониан
Рассматриваются движения неавтономной, 
-периодической по времени гамильтоновой системы с двумя степенями свободы. Пусть начало координат фазового пространства — положение равновесия системы. Предполагается, что имеет место слабый параметрический резонанс, при этом в окрестности равновесия функция Гамильтона системы может быть приведена к виду
(1)
где 
— «полярные» координаты и импульсы, 
или -1, величины 
и 
связаны между собой соотношением 
(n — целое число), a и 
— константы (a>0), 
— совокупность слагаемых, степень которых по 
не меньше, чем 3/2.
Пусть величины 
и 
представлены одним из следующих наборов:
1) при 
или 
(2)
2) при 
или 
(3)
где 
и 
— целые числа. Тогда, помимо параметрического резонанса, в системе имеется четыре сильных резонанса третьего порядка, так как величины 
— целые числа.
После проведения нормализации гамильтониана (1) в членах второй и третьей степеней по 
с учетом имеющихся резонансов преобразованный гамильтониан в новых переменных 
запишется в виде (
и 
— константы):
(4)
Полученные результаты
В докладе при помощи прямого метода Ляпунова исследуется вопрос об устойчивости тривиального положения равновесия системы с гамильтонианом (4). Изучаются также движения модельной системы с гамильтонианом, получающимся из (4) после отбрасывания слагаемого 
, в достаточно малой окрестности положения равновесия.
Основное внимание уделено двум частным модельным системам, когда слабый параметрический резонанс взаимодействует с одним основным резонансом третьего порядка (в первой системе) или с одним сильным комбинационным резонансом третьего порядка (во второй системе).
Подробно исследованы движения указанных систем на нулевом уровне энергии: найдены положения равновесия и проанализирована их устойчивость, для некоторых частных условий построены фазовые портреты, дана классификация характерных движений системы и их эволюция при изменении соотношения между резонансными коэффициентами. Описаны движения модельных систем на ненулевых уровнях энергии.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты 11-01-00322, 10-01-00381) и Программы поддержки ведущих научных школ (проект НШ-3797.2010.1).
Литература
1. Маркеев либрации в небесной механике и космодинамике. М.: Наука, 1978. 312 с.
ON MOTIONS OF A HAMILTONIAN SYSTEM IN THE PRESENCE OF A WEAK PARAMETRIC RESONANCE AND STRONG THIRD-ORDER RESONANCES
Kholostova O. V.
Moscow Aviation Institute (National Research University), *****@***ru
Motions of a time-periodic two-degree-of-freedom Hamiltonian system in the neighbourhood of equilibrium are investigated in the presence of a weak parametric resonance and strong third-order resonances. .
Кеу words: Hamiltonian system, resonances, stability, Chetaev function, model system.
